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La sezione aurea
A cura di Emanuela Ferlini ed Alessia
Lagomarsini classe 2a F
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Indice

• Introduzione
• Dimostrazione della sezione aurea
• La sezione aurea in alcune figure geometriche
• La sezione aurea nella natura
• La sezione aurea nelluomo
• La successione di Fibonacci
• La sezione aurea nella pittura
• La sezione aurea nella musica

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Introduzione

• La sezione aurea In arte e matematica, è
  una proporzione geometrica basata su un rapporto
  specifico nel quale la parte maggiore sta alla
  minore come lintero sta alla parte maggiore.
  Viene espressa più chiaramente in modo grafico
  come una linea intersecata in modo tale che il
  rapporto che lega AC e CB è lo stesso di quello
  tra AB e AC. Vedi figura.
  
• Questo rapporto ha il valore numerico di
  0.618. Riconosciuta come un rapporto
  esteticamente piacevole, la sezione aurea è stata
  utilizzata come base per la composizione di
  elementi pittorici o architettonici. In realtà,
  vari esperimenti suggeriscono che la percezione
  umana mostra una naturale preferenza per le
  proporzioni in accordo con la sezione aurea gli
  artisti tenderebbero dunque, quasi
  inconsciamente, a disporre gli elementi di una
  composizione in base a tali rapporti.
• Platone è generalmente considerato il
  padre degli studi sulla sezione aurea, la cui
  definizione è contenuta nel trattato sugli
  Elementi del matematico greco Euclide (attivo nel
  III secolo a.C.). La sezione aurea suscitò un
  profondo interesse tra gli artisti e i matematici
  del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci,
  Piero della Francesca, e Leon Battista Alberti
  era allora nota come divina proporzione e
  veniva considerata quasi la chiave mistica
  dellarmonia nelle arti e nelle scienze. De
  divina proportione è anche il titolo del trattato
  redatto dal matematico rinascimentale Luca
  Pacioli e illustrato da 60 disegni di Leonardo da
  Vinci, pubblicato nel 1509, che ebbe notevole
  influsso sugli artisti e gli architetti del
  tempo, ma anche nelle epoche successive. 1
• 1

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Dimostrazione

• Se AB è il segmento dato, si conduca la
  per perpendicolare ad AB nellestremo B e si
  prenda su di esso il segmento BO, metà di AB,
  indi col centro in O si descriva la circonferenza
  di raggio OB, che risulterà tangente in B alla
  retta AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D
  le intersezioni della retta AO con la
  circonferenza si porti infine su AB il segmento
  AE congruente ad AC. Proveremo che AE è il
  segmento cercato, cioè che sussiste la
  proporzione
• AB AE AE EB
• Infatti per il teorema della secante e
  della tangente (se da un punto si conducono ad
  una circonferenza una secante e una tangente, il
  segmento determinato dalla circonferenza sulla
  tangente è medio proporzionale fra i segmenti
  determinati sulla secante e aventi un estremo in
  quel punto) si ha
• AD AB AB AC
• Da cui scomponendo si ottiene(AD AB)
  AB (AB AC) ACMa siccome AB è congruente
  a CD e AC è congruente ad AE si ha pure
  AD AB AD CD AC AE
  B AC AB AE EBPerciò lultima proporzione
  diventa AE AB EB
  AEDa cui invertendo
  AB AE AE EB

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La sezione aurea nella natura

•  
• Troviamo la sezione aurea nelle dimensioni
  di molte foglie, ad esempio in quella di rosa la
  larghezza della foglia è sezione aurea della
  lunghezza.
• Tornando poi alla sequenza di Fibonacci
  possiamo dire che due scienziati Von
  Ettingshausen e Prokorni, hanno trasferito questo
  metodo in natura e precisamente in botanica.
  Questi scienziati sono arrivati alla conclusione
  che, poiché la crescita delle piante avviene
  mediante la divisione delle cellule, le
  dimensioni fondamentali delle piante delle
  diverse età, negli stessi periodi dell'anno,
  devono per forza presentarsi come
• la successione di Fibonacci.In effetti,
  se misuriamo lo stelo di una pianta da un
  germoglio all'altro, troviamo i rapporti AB BC,
  BC CD, CD DE, che rimandano al tasso di
  crescita della successione di Fibonacci.Inoltre
  possiamo osservare che le foglie crescono
  seguendo una spirale nella quale il rapporto tra
  il passo e la curvatura è pari a 1,618.

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La sezione aurea nelluomo

• Già Vitruvio indicava la regola che
  l'uomo, se in piedi con le gambe chiuse e le
  braccia distese in orizzontale, può essere
  inscritto in un cerchio (si veda l'immagine di
  Leonardo), di cui il centro cade sulle parti
  genitali la lunghezza globale del corpo viene
  tagliata dalla vita in due segmenti di cui il più
  lungo è una sezione aurea.
• L'uomo se in piedi con gambe divaricate e
  braccia leggermente inclinate verso il basso, può
  essere contenuto entro un pentagono regolare, il
  cui centro coincide nuovamente con le parti
  genitali. Lo scultore greco Policleto (ca. 420
  a.C.) affermava che nell'uomo perfetto la
  lunghezza complessiva del corpo viene suddivisa
  dai fianchi secondo la sezione aurea (canone). La
  distanza tra i genitali e la laringe viene
  tagliata dall'ombelico in un rapporto aureo,
  mentre quella tra la testa e l'ombelico è
  analogamente tagliata dalla laringe.

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La successione di Fibonacci

•  Nel diciannovesimo secolo, Eduard Lucas
  (studioso francese di teoria dei numeri) chiamò
  con il nome di Fibonacci una successione che si
  presenta in un facile problema del Liber Abaci.
  Supponiamo che una coppia di conigli adulti sia
  allevata in una conigliera. Ammettiamo che i
  conigli comincino a prolificare all'età di due
  mesi, generando una coppia maschio-femmina alla
  fine di ogni mese. Se nessuno dei conigli muore,
  quanti conigli si troveranno nella conigliera in
  capo a un anno? Un grafo ad albero mostra ciò che
  avviene. Il numero di coppie all'inizio di ogni
  mese è successivamente 1, 1, 2, 3, 5, 8,
  13,...... Ogni numero che compare in questa
  successione è la somma dei due numeri che lo
  precedono. Alla fine dei dodici mesi le coppie di
  conigli saranno 377. La proprietà più importante
  della successione di Fibonacci è costituita dal
  fatto che il rapporto tra due numeri consecutivi
  di essa è alternativamente maggiore e minore del
  rapporto aureo e che, al procedere della
  successione, la differenza va diminuendo sempre
  più, sicché la successione di questi rapporti
  ammette come limite il rapporto aureo.

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La sezione aurea nella pittura

• Utilizzando la sezione aurea nei suoi
  dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le
  opere, si poteva creare un sentimento di ordine.
• In particolare Leonardo incorporò il
  rapporto aureo in tre dei suoi capolavori La
  Gioconda, Lultima cena e L'Uomo di Vitruvio.
• Nella Gioconda il rapporto aureo è stato
  individuato
• nella disposizione del quadro
• nelle dimensioni del viso
• nellarea che va dal collo a sopra le mani
• in quella che va dalla scollatura dellabito fino
  a sotto le mani.
•   Ne LUltima cena, Gesù, il solo personaggio
  veramente divino, è dipinto con le proporzioni
  divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo.

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La sezione aurea nella musica(Introduzione)

• Il suono viene captato dal nostro organo
  dell'udito, ossia vengono sottoposti a vibrazioni
  gli organi di Corti, che possiamo paragonare alle
  asticciole di un carillon. Siamo abituati a sud- 
  dividere in sette note (do,re,mi,fa,sol,la,si). I
  suoni sono in successione e la distanza tra un do
  e il do successivo viene definita ottava. Un
  gruppo di otto note successive si chiama "scala"
  e la sua ultima nota è la prima di un' eventuale
  ottava più alta. La scala può cominciare con
  qualsiasi nota, ma quella che comincia con do,
  per ragioni varie, è la più "naturale". Quando
  costruiamo la scala di do, per esempio, sentiamo
  che le distanze tra i diversi suoni non sono
  sempre uguali. Le distanze do-re, re-mi, fa-sol,
  sol-la, la-si sono ognuna un tono, mentre le
  distanze mi-fa e si-do sono un semitono.
  Raggruppando il numero di vibrazioni dei dodici
  semitoni che si susseguono ricaviamo una
  proporzione continua.
•         Il numero delle variazioni che si
  differenziano per otto semitoni si comporta
  quindi come la sezione aurea
•                 T1T9T9T1711,618

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La sezione aurea nella musica

• Negli organi di corti dell'apparato
  uditivo umano, cui compete la selezione dei
  suoni, si deve poter riscontrare il principio
  della sezione aurea non solo, ma essa è anche
  punto di riferimento nella costruzione di canne
  di organo e altri strumenti musicali.
                                 
• Possiamo anche ipotizzare che negli
  organi di Corti dell'apparato uditivo umano, che
  reagiscono alle tonalità pure, operi il principio
  dei numeri della seccessione di Fibonacci.
                                                
• In un violino, il cui timbro dipende
  dalle dalle possibilità di vibrazione di tutte le
  parti, la sezione aurea gioca sicuramente un
  ruolo in effetti se misuriamo uno Stradivari
  vediamo che esso è contenibile entro quattro
  pentagoni regolari i cui lati fungono da
  tangenti, determinando una linea estremamente
  armoniosa

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Sezione aurea nelle opere

• Beethoven, Ludwing van , compositore
  tedesco (Bonn 1770 -Vienna 1827). La sua vita,
  trascorsa quasi per intera a Vienna, fu
  travagliata da infelici esperienze sentimentali e
  da ristrettezze economiche. A dodici anni già
  componeva divenne sordo a trentadue anni, e ciò
  contribuì a imprimere nel suo animo una visione
  drammatica della vita. Compositore fecondissimo,
  fu con Haydn e Mozart il più grande esponente
  del classicismo viennese, in una delle sue
  opere33 variazioni sopra un valzer di
  Diabelli, Beethoven suddivide la sua
  composizione in parti corrispondenti ai numeri di
  Fibonacci. Limpulso a comporre questopera venne
  dallinvito che nel 1821 Anton Diabelli rivolse a
  quasi tutti i compositori di Vienna,
  sollecitandoli a scrivere una variazione su un
  Valzer da lui stesso composto. Beethoven ha posto
  alla base della sue variazioni non la melodia e
  le successioni armoniche, quanto piuttosto la
  struttura formale e ritmica del tema, cosicché W.
  Riezler parla di variazione di struttura. E
  quanta esperienza personale entri in tutto ciò lo
  rivela la 22 variazione.

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S.A. nelle altre figure geometriche
Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni
corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è
rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo
aureo si disegni un quadrato di lato a i cui
vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto
a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD.
Quindi dividere il segmento AE in due chiamando
il punto medio A'. Utilizzando il compasso e
puntando in A' disegnare un arco che da F
intersechi il prolungamento del segmento AE in B.
Con una squadra disegnare il segmento BC
perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un
rettangolo aureo nel quale Ab è diviso dal punto
E esattamente nella sezione aurea AEABEBAE
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La Sezione Aurea nelle altre figure geometriche
PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI Allinterno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72, 72, 36, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto dincontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36, 36, 108, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.