Tratabilidad y NP-Completitud

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Tratabilidad y NP-Completitud
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Clases de problemas

• Muchos problemas se resuelven con algoritmos
  polinómicos (O(nk)) problemas tratables
• Hay problemas que no se pueden resolver problema
  de la parada.
• Hay problemas que no se pueden resolver en tiempo
  polinónico (?(nk)) problemas intratables

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Problema de la parada

• No existe ningún algoritmo que diga si un
  programa va a parar en tiempo finito con una
  entrada dada
• Supongamos que hay una función H(P,I) que lo
  resuelve.
• Construimos D(P)
• If H(P,P) then loop forever
• else stop
• Qué debe hacer D(D)?

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Problemas NP-completos

• Hay una clase de problemas que no se sabe si son
  tratables problemas NP-completos
• Nadie ha encontrado algoritmos polinómicos para
  ninguno de ellos.
• Algunos muy parecidos a problemas tratables
• Ciclos eulerianos y hamiltonianos.
• Satisfabilidad de 2-FNC y 3-FNC

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Clases P, NP y NPC

• La clase P contiene todos los problemas
  tratables.
• La clase NP contiene todos los problemas que se
  pueden verificar en tiempo polinómico.
  Claramente P?NP.
• La clase NPC contiene todos los problemas
  NP-completos

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Definicion NPC

• Un problema es NP-Completo si
• Pertenece a NP.
• Es tan duro como cualquier otro problema en NP
  (es NP-duro).
• Un problema es NP-duro si el que haya un
  algoritmo polimómico para él implica que lo hay
  para todos los problemas en NP.

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PNP?

• Observa que si hubiera un algoritmo polinómico
  para cualquier problema en NPC entonces PNP.
• La hipótesis más aceptada es que P?NP.
• En general, si os encontráis un problema NPC
  mejor buscáis alternativas (simplificaciones,
  aproximaciones, etc.).

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Demostraciones de NPC

• Se suelen usar problemas de decisión, cuya
  respuesta en SI o NO.
• Se demuestra que el problema están en NP.
• Se reduce un problema que se sabe está en NPC a
  este problema.

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Reducción polinómica

• Demuestra que un problema en NP-duro.
• Se parte de un problema p conocido en NPC.
• Se construye un algoritmo polinómico que
  transforma p en nuestro problema.
• Se concluye que si podemos resolver el nuestro en
  tiempo polinómico, p se resuelve en tiempo
  polinómico.

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Consejo

• Si te encuentras con un problema que no eres
  capaz de resolver de manera eficiente, sospecha
  que puede ser NP-duro.
• Intenta demostrar que lo es.
• Si lo es, busca alternativas, porque mucha gente
  inteligente ha intentado diseñar algoritmos
  eficientes y no lo ha logrado.