Fisica IV

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Fisica IV

• Anno Accademico 2005-06
• 1Parte -

• Definizione di campo elettrico. Campo
  vettoriale. Linee di flusso.
• Teorema di Gauss. Superfici gaussiane e
  applicazioni del teorema di Gauss
• Lavoro della Forza elettrica. Potenziale
  elettrostatico. Circuitazione del campo
  elettrico.
• Campo generato da un dipolo elettrico. Forze
  esercitate dal campo elettrico su un dipolo.
  Energia di un dipolo in campo.
• Molecole polari. Comportamento della materia in
  presenza di un campo. Polarizzazione per
  deformazione. Polarizzazione per orientamento
• Vettore polarizzazione. Suscettività
  dielettrica, costante dielettrica.
• Dielettrici densi. Legge di Clausius-Mossotti
• Cristalli ferroelettrici.

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Campo Elettrico
Definizione operativa di campo elettrico Il
vettore campo elettrico E associato ad una
determinata distribuzione di cariche in un punto
P è dato dalla forza F esercitata su una carica
di prova q0 posta nel punto P divisa per la
carica q0.
Tale definizione di campo elettrico è
indipendente dalla carica di prova (purchè sia
piccola e/o molto lontana dalle cariche che
generano E) e prescinde dal manifestarsi di una
forza misurabile. Proprio in virtù dellequazione
(1) il campo elettrico potrà essere valutato
misurando la forza esercitata su una carica di
prova
Il campo elettrico è diretto radialmente rispetto
alla carica che lo ha generato ed è proporzionale
alla carica che lo ha generato.
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Campo vettoriale

• Che cosa è un campo vettoriale ?
• Una grandezza che varia nello spazio e ha un
  modulo una direzione ed un verso, che possono
  essere individuati da un vettore.
• Alcuni esempi a noi noti sono
• un fiume che scorre (un liquido che scorre),
• il vento che soffia (una massa di gas che si
  sposta),
• la densità di corrente elettrica che scorre in
  un conduttore (cariche elettriche che si
  muovono),
• il flusso di calore che fluisce da un corpo ad
  un altro (energia che viene trasferita),
• I campi elettrico e magnetico nello spazio.

Con trasferimento di massa
senza trasferimento di massa
Un campo può essere rappresentato tramite linee
di flusso
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Operazioni con i vettori
Prodotto scalare
v2
q
v1
v2cosq
Prodotto vettoriale
v1
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Proprietà delle linee di forza del campo elettrico
In ogni punto le linee di forza del campo
elettrico hanno direzione tangente al campo in
quel punto e verso concorde con la direzione del
campo
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Utilizzando le tre proprietà delle linee di forza
calcolare lintensità del campo I a distanza R1
ed R2 da una carica puntiforme Q , da una carica
puntiforme Q e da una carica puntiforme 2Q
La definizione del campo tramite linee di flusso
ne permette una immediata visualizzazione, ma ha
il un limite legato al fatto che le linee di
forza sono discrete.
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Alcuni esempi di linee di forza
8
(No Transcript)
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Flusso di un campo vettoriale
Un modo per valutare lintensità del campo
vettoriale è quello di valutare quante linee di
flusso fluiscono attraverso una superficie ben
definita nello spazio. Questo dipende dalla
estensione della superficie e anche da come la
superficie è orientata rispetto alla direzione
del campo.
Campo vettoriale v
Superficie A
Flusso nullo
Flusso proporzionale alla proiezione della
superficie A nella direzione del campo
Flusso massimo
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Larea di una spira può essere rappresentata da
un vettore A che ha come modulo la superficie
della spira ed è orientato perpendicolarmente al
piano della spira. Langolo tra il campo v e A è
q. Una superficie chiusa per convenzione viene
rappresentata con le normali alla superficie
orientate verso lesterno
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Calcolare il flusso del campo elettrico F(E)
attraverso una superficie cilindrica chiusa di
raggio R e lunghezza L immersa in un campo E
costante diretto parallelamente allasse del
cilindro.
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Flusso attraverso una superficie chiusa in una
regione di campo senza cariche
Nel caso di una superficie arbitraria immersa in
un campo elettrico E non uniforme la superficie
può essere suddivisa in piccoli elementi di
superficie DA. Gli elementi di flusso DF(E)E?DA
vanno sommati su tutta la superficie A
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Calcolare il flusso del campo elettrico F(E)
attraverso una superficie sferica A chiusa di
raggio R che contiene una carica Q posta al centro
Questo vale per qualunque superficie chiusa che
contiene la carica Q perché intercetta tutte le
linee di flusso uscenti da Q, indipendentemente
dalla forma della superficie
Per N cariche Q1, Q2, ..QN contenute allinterno
di una superficie chiusa possiamo applicare il
principio di sovrapposizione
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(No Transcript)
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Superfici Gaussiane
Utilizzando il teorema di Gauss calcolare il
campo elettrico in prossimità delle seguenti
distribuzioni di carica
Carica puntifome
Guscio sferico uniformemente carico
Piano uniformemente carico
Filo uniformemente carico
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Distribuzione di carica a simmetria sferica
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In una regione dello spazio il campo elettrico è
dato da

1. Nel caso in cui a1 V/m2 , calcolare il valore di
   E nei punti P1? (0,0,0), P2 ? (1,0,0), P3 ?
   (2,0,0), P4? (1,1,0), P5? (2,2,0), e riportarlo
   in un grafico.
2. Calcolare il flusso di E attraverso un cubo di
   lato L1 m posizionato con un angolo nellorigine
   delle coordinate.
3. Quanta carica è contenuta nel cubo ?

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Lavoro della forza elettrica
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Energia potenziale elettrica
Il lavoro per portare una carica esploratrice q0
da una distanza ri ad una distanza rf rispetto ad
una carica Q
Se il lavoro, e quindi la variazione di energia
potenziale, dipende solo dalla posizione del
punto di partenza e del punto di arrivo la forza
è detta conservativa. Infatti si possono fare
cammini chiusi (trasformazioni cicliche) senza
variare lenergia potenziale del sistema.
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Anche se solo le variazioni di energia hanno
significato fisico si può definire uno zero per
lenergia. Per molte applicazione si pone uguale
a zero lenergia quando le due cariche sono a
distanza infinita U(?)0 Questo permette di
definire lenergia potenziale di due cariche a
distanza r come
Esercizi 1) Due protoni del nucleo dell 238U si
trovano ad una distanza di 6 fm (1fm10-15m).
Calcolare lenergia potenziale associata alla
forza elettrica tra i due protoni. 2)
Consideriamo latomo di idrogeno. Calcolare il
lavoro necessario a ionizzare latomo di
idrogeno.
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Potenziale del campo elettrico
Il lavoro per spostare una carica esploratrice q0
allinterno di un campo elettrico per la
definizione stessa di campo è proporzionale a q0
U potenziale della forza F
V potenziale del campo E
Nel caso del campo generato da una carica
puntiforme
Potenziale generato da una carica puntiforme Q. A
differenza del campo E, V non è un vettore ma è
una funzione scalare
E(x,y,z) ? un campo vettoriale V(x,y,z) ? un
campo scalare
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Definizione di differenza di potenziale
La differenza di potenziale è la grandezza
direttamente misurabile. La sua Unità di misura
nel Sistema Internazionale (S.I.) è il Volt
Di conseguenza lunità di misura del campo
elettrico nel S.I. è il Volt/m
Nella fisica atomica le cariche di maggior
interesse sono le cariche elementari (elettroni e
protoni) . È quindi conveniente definire una
nuova unità di misura per lenergia data dal
lavoro per portare una carica elementare (e1.6
?10-19 C) tra due punti la cui differenza di
potenziale è 1 V è dato da e DV 1.6 ?10-19 ?
1 1.6 ?10-19 Joule ? 1 eV
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Circuitazione del campo elettrico
La circuitazione del campo elettrostatico è nulla
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Il campo elettrico in un conduttore carico
Allequilibrio E0
F(E)Q/e0?0
cè carica
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(No Transcript)
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Calcolare la differenza di potenziale noto il
campo
DVcbVb-Vc? DVbaVa-Vb? DVacVc-Va?
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Superficii equipotenziali
Sono dette superfici equipotenziali quelle per
cui DV0
Le superfici equipotenziali sono in ogni punto
perpendicolari alle linee di flusso
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La relazione tra potenziale e campo elettrico
Supponiamo di voler calcolare la differenza di
potenziale tra due punti vicini a?(x,y,z) e
b?(xDx,y,z). Tali due ponti sono connessi da un
vettore
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Calcolare il campo elettrico noto il potenziale

• Esercizi
• Dato il potenziale associato ad una carica
  puntiforme Q calcolare il campo elettrico
• Dato il potenziale Vxy2y calcolare il campo E
  nellorigine delle coordinate O?(0,0,0) e nel
  punto P?(1,1,0)

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Calcolare il campo elettrico generato da un
dipolo a grande distanza (rgtgtd)
per r gtgt d
z
y
x
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Sistema di coordinate sferiche
Un altro sistema che si può usare per orientarsi
nello spazio è il sistema sferico. È formato da
tre coordinate ?, ? e f. Si considera sempre un
generico punto P e la sua proiezione sul piano XY
chiamata Q. Con ? questa volta si indica la
distanza di P dall'origine e ? è l'angolo che ?
     forma con l'asse Z. Indichiamo invece con ?
       il vettore che collega l'origine con il
punto Q, f individua l'angolo che quest'ultimo
vettore forma con l'asse X. Per passare da un
sistema sferico ad uno rettangolare si usano le
seguenti uguaglianze
Per passare da coordinate sferiche a cartesiane
                                              
                                         
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Campo del dipolo in coordinate sferiche
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Distribuzione di cariche
di ltlt r
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Calcolare la carica risultante, il momento di
dipolo risultante e il potenziale in un punto P a
distanza r dallorigine delle coordinate.
Qq1q2q3q40
Qq1q2q3q40
0
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Molecola dellacqua (H2O)
Calcolare il momento di dipolo in modulo e
direzione
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q1q
q2q
120
q3-3q
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Dipolo in un campo elettrico
Momento torcente indotto da un campo elettrico E
su un dipolo p
Equivale ad aver fissato lo zero dellenergia a
q90
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Esercizio 1
A, B, C, D sono quattro dipoli elettrici. Orientar
e i momenti di dipolo corrispondente Valutare
lenergia potenziale. Calcolare il momento
torcente in modulo e direzione
Esercizio 2
Calcolare il campo elettrico generato dal dipolo
p1 nella posizione in cui si trovano il dipolo
p2 ed il dipolo p3. Calcolare lenergia dei
dipoli p2 e p3 nel campo generato da p1
Calcolare il momento torcente sui dipoli p2 e p3
dovuto al campo generato da p1
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Molecole polari
p 3.4?10-30 C m
p 6.4?10-30 C m
p 4.5?10-30 C m
p 0.3?10-30 C m
40
(No Transcript)
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CONDENSATORE IN PRESENZA DI UN DIELETTRICO
d
d
Q
Q
-Q
E
E
-Q
DV
DV
Sperimentalmente si trova che DV lt DV
DV DV /er er gt1 costante dielettrica
relativa
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• er dipende da
• Tipo di materiale
• Stato di aggregazione
• Temperatura
• Orientazione del cristallo

Problema Come è legata la costante dielettrica
(grandezza microscopica) ai momenti di dipolo
degli atomi e delle molecole (grandezze
microscopiche).
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Come si comporta la materia in presenza di un
campo E
Come dipende p da E ?
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Polarizzazione per deformazione
Il campo elettrico a cui è sottoposto il nucleo
quando si trova ad una distanza d rispetto al
baricentro della carica negativa è dato da
Densità di carica elettronica
Campo di richiamo allinterno dellatomo
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Polarizzabilità atomiche (10-40 farad m2)
H He Li Be C Ne Na Ar K
aD 0.66 0.21 12 9.3 1.5 0.4 27 1.6 34
R(Å) 1.55 1.12 0.94 1.9 2.35

1. Perché aD è più grande per il potassio che per il
   litio
2. Calcolare aD per il berillio ed il potassio
3. Confrontare la polarzzabilità del Li con quella
   del Li e con quella del He

Esercizi
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Polarizazione per orientamento
Temperatura T
lt gt media statistica
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U
T ?? 0 kBTltltDU
T ?? 0 kBTgtgtDU
T 0
DU
U
T ?? 0 kBTltltDU
T ?? 0 kBTgtgtDU
T 0
DUpE
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Per un sistema di dipoli p in campo E posto a
temperatura T
Nel limite di piccoli campi e grandi temperature
pE/kBT ltlt1
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ltpzgtltp cosqgt pltcosqgt
50
Una molecola dotata di dipolo permanente p in
presenza di un campo elettrico E presenterà un
momento di dipolo medio ltpgt dato da

• proporzionale al campo applicato E
• orientato in direzione e verso di E

Prossimo obbiettivo connettere il punto di
vista MICROSCOPICO
? MACROSCOPICO
(momenti di dipolo di atomi e molecole)
(costante
dielettrica)
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• Esercizi
• Calcolare la polarizzabilità dellacqua a
  temperatura di 20 C e a temperatura di 110 C.
• È più importante il contributo per deformazione o
  per orientamento ?
• In che modo è possibile distinguere fra i due
  contributi ?
• Quale dei composti in figura è costituito di
  molecole polari ?

Polarizzabilità (10-40 farad m2)
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Definizione del vettore polarizzazione P

• abbastanza grande da contenere molti momenti di
  dipolo p
• sufficientemente piccolo in modo che E non vari
  troppo al suo interno

DV
Vettore Polarizzazione
Come dipende P da E ?
Se abbiamo un sistema contenente molti dipoli in
presenza di un campo elettrico E il vettore
polarizzazione P sarà dato da
N numero di molecole contenute nel volume DV
nN/DV densità delle molecole per unità di
volume
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Come si comporta un dielettrico nel suo complesso?
P
P
E e P costanti
E e P variabili
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Come si calcola la carica di polarizzazione ?
QP carica distribuita sulla superficie S dovuta
alla polarizzazione della materia
volume in cui è contenuta
densità di carica
55
Q carica vera sulle armature del condensatore QP
carica di polarizzazione alla superficie del
dielettrico
s carica superficiale vera sulle armature del
condensatore sP carica superficiale di
polarizzazione alla superficie del dielettrico
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Campo nel dielettrico
Campo nel vuoto
Il campo allinterno del dielettrico (E) è
minore del campo che ci sarebbe in assenza di
dielettrico (E).
Dal confronto delle capacità di un condensatore
in vuoto (C) ed un condensatore riempito di
dielettrico (CCer) avevamo trovato la seguente
relazione tra il campo E ed E
Da cui segue che
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• Esercizi
• Data la costante dielettrica del H2O in forma
  gassosa a T110C e pressione di 1 Atmosfera,
  er1.0126, calcolare la polarizzabilità della
  molecola di H2O
• Data la costante dielettrica del H2O in forma
  liquida a T20C e, er80, calcolare la
  polarizzabilità della molecola di H2O
• Confrontare i valori di polarizzabilità a trovati
  nei due casi precedenti con il valore di
  polarizzabilità per orientamento aD, prevista
  alle due diverse temperature. Discutere.
• NA 6.02?1023 mol-1 kB 1.38 ?10-23 Joule/K 1
  Atmosfera 1.05?105 N/m2

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Dielettrici densi
Fino ad ora abbiamo trascurato linterazione tra
i momenti di dipolo che diventa rilevante in un
materiale denso come un liquido o un solido. In
questo caso il momendo di dipolo sarà
proporzionale non al campo esterno, ma al campo
locale agente nella posizione in cui si trova la
molecola.
Il campo locale Eloc in generale dipende dal
contributo dei dipoli vicini. In un liquido o in
un solido ad alta simmetria (cubico) si ha che
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Dielettrici diluiti Gas
Dielettrici densi liquidi o solidi isotropi
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Cristalli ferroelettrici
Un cristallo ferroelettrico presenta un momento
di dipolo elettrico anche in assenza di un campo
elettrico applicato. La ferroelettricità scompare
al di sopra di una certa temperatura detta
temperatura di transizione o temperatura di Curie
(Tc) . Si definisce polarizzazione di
saturazione Psn p, dove n è il numero di celle
cristalline per unità di volume e p è il momento
di dipolo associato a ciacuna cella. La
polarizzazione di saturazione è quella che si ha
quando tutti I dipoli sono orientati
parallelamente.
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Il titanato di bario (BaTiO3) è un cristallo
ionico in cui la valenza dei singoli elementi è
la seguente Ba , Ti4 e O--. Se la cella è
perfettamente cubica il momento di dipolo risulta
nullo. Al di sotto della temperatura di Curie la
cella si deforma e si genera un momento di
dipolo.
Esercizio Si calcoli la polarizzazione di
saturazione del titanato di bario assumendo che
gli ioni positivi Ba e Ti4 siano spostati di
d0.1 Å rispetto agli ioni negativi O e che la
cella sia cubica di lato a4 Å. Si calcoli quindi
lenergia di interazione tra due dipoli primi
vicini posti sullo stesso asse e si confronti il
valore trovato con lenergia termica a T ambiente
p 6ed 9.6? 10-30 Cm n 1/a3 1.6 ? 1028
m-3 Ps n p 0.15 C m-2 Up2/(2pe0a3)p2n ? 18
?1092.6 ?10-20 J UTkT 1.38?10-23 ?3004 ?10-21J
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Costante dielettrica dei materiali ferroelettrici