A tapasztalat

1
A tapasztalat és a matematika 1A világ mértéke
2
A matematika a természetben

• A matematika (geometria) a természet egyes
  területeinek leírására megfelelo
• Ilyen területek a kevert matematikai
  tudományok, ahol az örök, de nem létezo dolgok
  (matematikai objektumok) találkoznak a mulandó de
  létezo dolgokkal (tárgyak)
• Geometriai optika, arányelmélet (harmóniatan),
  csillagászat,

3
A püthagoreánus hatás

• Szekta/iskola
• A számok, mint a világ gyökerei
• Szabályos testek (i.e. 450 Hippaszosz szabályos
  ötszög szerkesztése), zenei összhang, négyzet- és
  háromszögszámok, püthagoraszi számhármasok
  generálása, stb.

4
A geometriai optika az ókorban

• Az egyik legsikeresebb alkalmazása a
  matematikának a Hold-alatti világra
• Platón Timaiosz-ában már sík és homorú tükrök
  képalkotása

5
Eukleidész (?325-?265)
Egy oldal az 1557-es kiadásból
6
(No Transcript)
7
(No Transcript)
8

• Nincs közvetlen távolságpercepció (vs.
  atomisták), de méretkülönbségeket magyarázni
  tudja
• Sugarak nyalábja
• Pontosan mik a definíciók? Igaz kijelentések
  (mint a matematikában a kor szerint) Vagy csak
  valószínu jelenségek
• A sugárkúp középpontja a szemben itt történik a
  látás?
• Propozíció 5., 6. perspektíva alapjai
• (Miért nem látunk éjszaka? Hány sugár van?)

9
Dioklész

• 240 Kr.e. - Káristos, Evvoia (Görögország) - 180
  Kr.e.
• A tükröket a korai antikvitás óta használták
• Gyakorlati kérdés mi a görbülete annak a
  tükörnek, amelyik a legnagyobb meleget hozza
  létre?
• Püthian a téziai geométer levelet írt Kononnak,
  amelyben megkérdezte, hogyan található meg az a
  tükörfelület, amelybol, ha a Nap feléé fordítjuk,
  a visszavert sugarak egy kör kerületére esnek.
  Amikor pedig Zenodorusz a csillagász eljött
  Arkádiába, megkérdezett minket, hogy található
  meg az a tükörfelület, amely a Nap felé fordítva
  egy pontba veri vissza a sugarakat és így éego
  hatást vált ki. (G J Toomer, Diocles On Burning
  Mirrors, Sources in the History of Mathematics
  and the Physical Sciences 1 (New York, 1976).

10
(No Transcript)
11
(No Transcript)
12
Héron (10-75) Katoptrika
On the dioptra The pneumatica The automaton
theatre Belopoeica (The cheirobalistra)
Mechanica Metrica Catoprica
13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
15
A sugarak mozgása a legrövidebb úton

• A természet gazdaságossága alapveto (és nem
  alátámasztott) elv.
• Egyenes vonalak a tükrözés esetén egyenlo
  szögek.
• Látás- és tükrözéselmélet

16
Ptolemaiosz (85-165)
17

• Igen, tudom, hogy
• Halandó vagyok, egy nap szülötte
• De ha elmém a csillagok
• Kanyargó utjait követi
• Akkor lábam már többé nem
• A Földön áll, hanem
• Maga Zeusz mellett
• Ahol ambróziával,
• Az isteni eledellel
• Tömöm meg magam
• (Almageszt, I. könyv ZG (félre)ford.)

18
Fo munkák

• Almageszt bolygómozgások számítása
• Tetrabiblosz bólygóegyüttállások, amelyek a
  földi eseményekre hatással vannak
• Optika (12-13. sz. újrafelfedezés)
• Geográfia (1300 után arab közvetítéssel
  kéziratok, 1482? Nyomtatvány)

19
Optika

• Látókúp nem egyedi látósugarak
• Alaptételek a tudás keresésénél
• Vagy meghatározó és magától értetodo a gyakorlati
  hatástól
• Vagy a belso konzisztenciutól
• Kísérletileg igazolja a fényvisszaverés
  törvényeit
• Fénytörés, mint tükrözés a kép a látósugár
  meghosszabításaként jelenik meg
• Egy henger aljára helyezett pénz megjelenése
• Apparátus készítése a pontos mérésekhez
• Matematikai törvény felállítása

20
Arányelmélet

• Zenei összhangok és a matematika kapcsolatának
  felismerése
• Húr hosszának felére csökkentése oktáv
• 21 oktáv 32 nagy kvint 43 kvart és egyéb
  arányok 31, 41
• Az egész világban (ahol harmónia van) ott vannak
  a számok?
• A 18. századig fennmaradó hagyomány (nyomaiban ma
  is!)

21
(No Transcript)
22
A reneszánsz szimmetria-fogalma

• Szün metria együtt-mérhetoség, összemérhetoség
• A korai görög matematika egyik legfontosabb
  fogalma
• mennyiségek (szakaszok) összemérhetok, ha van
  hozzájuk közös mérték (azaz viszonyuk felírható
  (egész) számok arányaként), pl. a négyzet oldala
  nem összemérheto az átlóval
• tágabb értelemben egy ábra (rendszer)
  szimmetrikus, ha részei matematikai arányban
  állnak egymással, vagyis az elrendezését
  matematikai harmónia vezérli

23

• Marcus Vitruvius Pollio (római építész, i.e. 1.
  sz.)
• A szimmetria egy mu részeinek megfelelo
  elrendezése, valamint a részeknek és általában az
  egésznek a viszonya, egy bizonyos részhez mint
  mércéhez képest. Így például az emberi testben
  egyfajta szimmetrikus harmónia áll fenn az alkar,
  a láb, a tenyér, az ujj és egyéb kis részek
  között és ugyanez a helyzet a tökéletes
  épületekkel is.
• (Vitruvius Tíz könyv az építészetrol)
• Az arány a teljes mu részeinek mértékei közti,
  illetve az egész és egy mércéül szolgáló része
  közti megfelelés. Ebbol származnak a szimmetria
  elvei.
• (Ugyanott, a templomépítés alapelveirol)

24

• Leonardo (1452-1519) illusztrációja Vitruvius
  könyvéhez A vitruviánus ember (1492)
• örömömre szolgálna, ha tartózkodna a monstrózus
  (szörnyszeru) dolgoktól, mint amilyen a hosszú
  lábak és a rövid törzs kombinációja, vagy hosszú
  karok a keskeny mellkas mellett
• (Leonardo)

25
Szörnyek Hieronymus Boschnál (1450-1516)
26

• Albrecht Dürer (1471-1528)Mindenek felett meg
  kell találnunk a részek legbiztosabb és
  legmegfelelobb közös mértékét. Ha ez sikerült,
  akkor kitartóan és állhatatosan követve ennek
  rendjét megformálhatjuk az egyes részeket,
  kicsiket és nagyokat, a szépség megragadásával
  közeledve a tökéletességhez.
• (Dürer Négy könyv az emberi arányokról)
• Ez a könyv forgóajtó a matematika temploma és a
  piactér között (Panofsky) megismerteti a
  kádárokat és asztalosokat Eukleidésszel és
  Ptolemaiosszal, a matematikusokat pedig a
  muhelygeometriával

27

• Dürer ábrái (1528) az emberi test matematikai
  harmóniája (Oszintén óhajtjuk, hogy a részek
  arányosak legyenek egymással, nem pedig rosszul
  és esztelenül összedobálva.)

28
A kopernikuszi rendszer legfobb elonye

• Kopernikusz a De revolutionibus eloszavában (III.
  Pál pápának ajánlva), a ptolemaioszi csillagászat
  muveloirol
• Arra sem voltak képesek, hogy felfedezzék vagy
  levezessék a legfontosabb belátást, vagyis az
  univerzum szerkezetét és részeinek valódi
  szimmetriáját. Ellenben pontosan úgy jártak el,
  mint aki különbözo helyekrol vesz kezeket,
  lábakat, fejet és más részeket, melyek gyönyöruen
  vannak ugyan megformálva, de nem ugyanahhoz a
  testhez tartoznak és így nem felelnek meg
  egymásnak az ilyenekbol inkább egy szörnyet,
  semmint embert lehet összeállítani.

29

• A rendezettség mögött tehát a kozmosz csodálatos
  szimmetriája rejtozik. Tiszta harmónia uralkodik
  a szférák mozgásában és méretében, mely másképpen
  fel sem fogható. Így ugyanis érthetjük, miért
  nagyobb a Jupiter progressziója és
  retrogressziója, mint a Szaturnuszé, ám kisebb,
  mint a Marsé () valamint azt is látjuk, hogy az
  ilyen oszcillációk miért gyakoribbak a
  Szaturnusznál, mint a Jupiternél () () Mindezen
  jelenségek ugyanazon okból következnek, vagyis a
  Föld mozgásából.
• (De revolutionibus, I/10)
• A Föld mozgása az a mérték, amivel a kozmosz
  harmonikus rendszerének többi része mérheto és
  egyáltalán felfogható. (Organisztikus felfogás)?
  A matematikai elrendezés mindent magyaráz

30
Kepler és a matematika

• Tole várnánk, hogy megváltoztatja a képet.
  Kepler-törvények az empirikus adatok matematikai
  kezelése nyomán
• Valójában az alapkérdés a kozmosz szimmetriája
  (vagyis matematikai harmóniája)
• Pl. miért pont akkora a szférák közti távolság,
  mint amekkora
• Négyzetes, köbös, stb. sorozatokat keres
  (Timaiosz)
• Ugyanez, csak feltéve láthatatlan bolygók létét
  (ld. Ellenföld)
• Egyéb numerikus összefüggések (pl. szinuszos ?
  erok)
• Felfedezés a Jupiter és Szaturnusz szférája közé
  szabályos háromszög szerkesztheto ? próba
  Mars-Jupiter közé négyzet, Föld-Mars közé ötszög,
  stb. ? a vitruviusi hagyomány (geometriai
  emberértelmezés) a makrokozmoszra alkalmazva!

31
5. Szabályos testek a szférák között

• Platón, Timaiosz ezek az anyagi világ végso
  építokövei(az öt elem ezekbol épül fel)
• Eukleidész, Elemek a 13. könyv ezekrol szól ( a
  14-16. is, de azok nem eredetiek), a geometria
  koronája (ráadásul gömbbe és gömb köré
  szerkesztések)
• Nyilván a reneszánsz imádja oket, pl. Leonardo
  ábrái Luca Pacioli Divina proportione (1509) címu
  könyvéhez

32

• Kepler ábrái a világ harmóniájáról(Eloször
  Mysterium Cosmographicum, 1597)

33

• Feltett szándékom, Olvasó, hogy ebben a
  könyvecskében bebizonyítsam amikor Isten, a Nagy
  Teremto megteremtette a mozgó kozmoszt és
  elrendezte az egeket, akkor arra az öt szabályos
  testre gondolt, melyeknek olyan nagy a híre
  Püthagorasz és Platón óta napjainkig, és úgy
  választotta meg az egek számát, arányait és
  mozgásrendszerét, hogy azok megfeleljenek e
  testek mozgásának.
• (Mysterium Cosmographicum, 1597)
• szinte minden azóta megjelent asztronómiai
  munkám e könyvecske egyik vagy másik fobb
  fejezetéhez kötheto, akár úgy, mint illusztráció,
  akár úgy, mint továbbgondolás
• (második kiadás, 1621)

34
Kepler ezenkívül lekottázza a szférák zenéjét

• Harmonices Mundi, 1619
• Miközben itt olvasható eloször Kepler 3. törvénye
• Ami persze válasz az eredeti felvetésre
  matematikai harmónia uralkodik a szférák
  távolságában

35
A 17. század

• A matematika alkalmazhatósága vitatott
• Csak a hagyományos területeken (csillagászat,
  optika, zene) és a hagyományos módon (geometria?)
• Vagy a földi fizikában is (Galilei, Newton),
  egyre nagyobb jelentoséget tulajdonítva a
  mérésnek (a geometrián kívül megjelenik az
  algebra és az analízis is) ? Descartes
  analitikus geometria
• Vagy általánosan használható ugyan, de nem mérés,
  hanem metafizikai feltevések alapján
  (aritmológia, hermetikus, kabbalista felfogás)

36
Irodalom

• F. Hallyn The Poetic Structure of the World.
  Zone Books, NY, 1990.
• Szabó Á. A görög matematika kibontakozása.
  Magveto, 1978.
• ?