GEOMETRIA -10

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GEOMETRIA -10º ANO

• Vectores
• Definição
• Operações
• Propriedades
• Exemplos

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Noções básicas

• Segmentos orientados equipolentes são segmentos
  com a mesma direcção, o mesmo comprimento e o
  mesmo sentido.
• Nota A,B é o segmento orientado de origem em
  A e extremidade em B, o que é diferente de B,A.
• Exemplo A,B e T,U ou B,M e D,O
• Não são exemplos válidos L,M e O,N

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Vector (ou vector livre)

• Um vector livre é um ente matemático
  caracterizado por uma direcção um sentido e um
  comprimento.

Carimbamos esta colecção com o nome de vector
Todos estes segmentos orientados representam o
mesmo vector
Colecção de segmentos equipolentes
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EXEMPLO

• Os segmentos orientados Q,R, S,T, A,B,
  I,J, etc,
• representam o mesmo vector que podemos
  representar
• por qualquer um dos seus representantes do
  seguinte
• modo ou ou por uma
• letra minúscula como por exemplo

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RESUMINDO

• Para ter definido um vector interessa saber
• DIRECÇÃO
• SENTIDO
• COMPRIMENTO
• Não te esqueças não interessa o ponto de
  aplicação, o vector só depende daquelas três
  variáveis.

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Termos Básicos

• e são vectores colineares se
• Exemplos

Vectores simétricos
Se klt0 então os vectores têm sentidos
diferentes. Se kgt0 então os vectores têm o mesmo
sentido. Se -1ltklt1 então o comprimento (norma)
de é superior ao de . Se klt-1 ou kgt1
então a norma de é menor que a de . Se
k-1 os vectores são simétricos. Se k1 os
vectores são o mesmo.
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Adição de vectores colineares

• Quando os vectores têm o mesmo sentido é só
  adicionar os seus comprimentos e manter o
  sentido.
• Se os sentidos forem diferentes o vector soma
  fica com um comprimento igual à diferença do
  comprimento dos dois vectores e o sentido é o do
  vector de maior norma.

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Adição de vectores Regra do paralelogramo
Atenção!!! É necessário que os vectores estejam
aplicados no mesmo ponto
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Regra do triângulo

• Cuidado, para aplicar esta regra é que
  necessário que a extremidade de um dos vectores
  coincida com a origem do outro
• A regra a utilizar depende do problema em causa,
  mas podes quase sempre aplicar as duas regras
  cabe-te a ti escolheres a mais adequada.

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Exemplo de aplicação

• E agora que fazer para adicionar estes dois
  vectores???

Como nos vectores não interessa o ponto de
aplicação consideramos outro representante
aplicado ou na mesma origem do outro vector ou na
extremidade conforme a regra que se queira
aplicar!!
Regra do paralelogramo
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Exemplo de aplicação
O mesmo exemplo mas com a aplicação da regra
do triângulo
Regra do triângulo
Como nos vectores não interessa o ponto de
aplicação consideramos outro representante
aplicado na extremidade do outro vector!!
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Subtracção de vectores

• Subtrair é o mesmo que adicionar com o
  simétrico, ou seja,

Regra do paralelogramo
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Soma de um ponto com um vector
Transladaram a estátua do pirata do ponto A para
o ponto B, ou seja, associado ao vector
Então
Ponto B
ou seja
Ponto A
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Vectores dos eixos coordenados

• No plano
• O eixo Ox tem a direcção do vector
• O eixo Oy tem a direcção do vector
• No espaço ocorre o mesmo com os três eixos Ox, Oy
  e Oz
• O eixo Ox tem a direcção do vector
• O eixo Oy tem a direcção do vector
• O eixo Oz tem a direcção do vector

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Componentes de um vector
y
2
1
1 2 3
x
Como o referencial em causa é ortonormado, assim
neste referencial pode-se escrever
O mesmo se pode fazer com referenciais o.n. no
espaço.
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EXERCÍCIO
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Exercício