GEOMETRIA DE FIGURAS

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GEOMETRIA DE FIGURAS
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ÍNDICE

• Geometría de Interacción con Figuras.
• 1.1 Análisis de Conversión
• 1.2 Distancia de un punto a un objeto
• 1.3 Límites de un objeto
• 1.4 punto más cercano a un objeto.
• 1.5 Intersecciones
• 1.6 Interior/Exterior.
• 2. Ecuaciones geométricas
• 2.1 Implícitas.
• 2.2 Paramétricas
• 3. Figuras de Trayectorias Definidas
• 3.1 Líneas.
• 3.2 Círculos
• 3.3 Arcos
• 3.4 Elipses y Arcos Elípticos.
• 3.5 Curvas
• 3.6 Figuras de trayectorias troceadas
• 4. Figuras Rellenas.
• 4.1. Rectángulos.

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1.Geometría de Figuras.Introducción

• La parte central de la mayoría de las
  aplicaciones consiste en el despliegue de objetos
  que el usuario está intentando manipular.
• Necesitamos entender la geometría de esos
  objetos, para escribir código que interactúe con
  esas figuras
• Hablaremos sobre las ecuaciones geométricas para
  figuras primitivas.
• Veremos los tipos de problemas geométricos a los
  que nos enfrentaremos cuando interactuamos con
  estas figuras.

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1. Geometría de Interacción con Figuras

• La geometría de casi todos los objetos está
  basada en un conjunto de puntos de control.
• Puntos de control son puntos en el plano 2D que
  pueden usarse para definir la geometría deseada.
• No son la única forma en la que la geometría
  puede ser definida.
• La razón de su uso es la naturaleza interactiva
  de estos modelos.
• Expresaremos la geometría por medio de puntos de
  control y resolveremos las ecuaciones para
  propósitos interactivos.

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1.1 Análisis de conversión

• Es un problema importante en gráficos de
  computadora.
• Consiste en tomar la especificación geométrica de
  un objeto y derivar el conjunto de pixeles a
  algún buffer que corresponda a ese objeto.
• Es esencial para el proceso de dibujo por lo que
  debe ser rápido.
• Todos las de herramientas interactivas
  proporcionan rutinas que realizan estas tareas.

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1.2 Distancia de un punto a un objeto.

• Se trata de ser capaces de seleccionar un objeto
  con el ratón.
• Interactivamente es difícil posicionar el ratón
  exactamente sobre una línea
• La geometría elemental que se requiere para este
  problema es el cálculo de la distancia
  perpendicular entre un punto y una línea u otra
  figura.
• Conocida la distancia se prueba si está lo
  suficientemente cerca para la selección.

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1.3Límites de un objeto

• Selección de un objeto
• Cuando ocurre un evento de ratón debemos ser
  capaces de determinar cuál objeto de un conjunto
  de objetos está siendo referenciado.
• El cálculo de la distancia perpendicular a cada
  objeto es bastante costoso.
• Cálculo del rectángulo limitado para un objeto.
• Dando los puntos de control, su cálculo es fácil.
• Primero calculamos el rectángulo limitado de cada
  objeto, y realizamos entonces la geometría más
  costosa sólo si el ratón está realmente en el
  interior de rectángulo limitado.

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1.4 Punto más cercano a un objeto.

• Necesitamos determinar el punto de la figura que
  está más próximo a la posición del ratón.
• 1.5 Intersecciones.
• Cálculo de intersecciones de dos objetos
• Métodos algebraicos
• Líneas dos ecuaciones lineales.
• Círculos , arcos y elipses ecuaciones
  cuadráticas.
• Métodos numéricos
• Elipses rotadas polinomios de grado 4.
• Splines y curvas ecuaciones cúbicas.
• 1.6 Interior/Exterior
• La selección de figuras rellenas (círculos,
  rectángulos, polígonos) se realiza haciendo la
  prueba del rectángulo limitado y después se
  realiza la prueba más costosa.

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2. Ecuaciones geométricas.

• 2.1Ecuaciones Implícitas
• Son de la forma F(x,y) 0
• Ventajas
• Dividen el plano 2D en dos semiespacios, esto
  sirve para calcular si un punto está dentro o
  fuera de alguna región.
• Podemos normalizar la ecuación para que nos de la
  distancia real a un objeto , multiplicando los
  coeficientes por alguna constante.(No funciona
  para todas las figuras.)
• 2.2 Ecuaciones Paramétricas
• Descripción de figuras 1D usan un solo
  parámetro
• xG(t) yH(t)
• Descripción de figuras 2D usan dos parámetros.
• xK(s,t) y(s,t)

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3. Figuras de Trayectorias definidas

• Definición Son objetos 1D dibujados en 2D. No
  tienen exterior ni interior.
• La geometría de una figura se determina por la
  geometría de la trayectoria que es fronteriza.
• Tipos de Trayectorias
• Líneas.
• Círculos.
• Arcos.
• Elipses y arcos elípticos
• Curvas.

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3.1 Líneas

• Ecuación implícita
• AxByC0
• El vector A,B se calcula a partir de los puntos
  de control
• AY1-Y2
• BX2-X1
• Se sustituye un punto de la línea y se calcula
  para C
• C -AX1- BY1
• Sustituyendo cualquier punto (x,y) en la
  siguiente ecuación, nos dará
• la distancia de la línea en múltiplos de la
  longitud de A,B
• línea(x,y)AXBYC
• Línea(x,y) resuelve varios problemas geométrico
• Si línea(x,y)0 , entonces el punto (x,y) reside
  en la línea
• Probar si un punto está próximo a la línea

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• Ecuación Paramétrica
• Usamos un vector con inicio en (X1,Y1) y fin en
  (X2,Y2).
• t Fracción de distancia que queremos mover a lo
  largo del vector.
• x (X2X1)t X1 si t0 gt (X1,Y1)
• y (Y2Y1)t Y1 si t1gt (X2,Y2)
• si 0 lt t lt
  1gtpuntos intermedios
• Rectángulo Limitado
• Propiedad de Cubierta-Convexa
• Es el polígono más pequeño que contiene a todos
  los puntos..
• Si un objeto cumple esta propiedad , el cálculo
  del rectángulo-limitado es fácil.
• Cálculo del rectángulo limitado para una línea
  por sus puntos de control
• IzquierdaMin(coordenadas X de todos los puntos
  de control)
• TopeMin(coordenadas y de todos los puntos de
  control)
• DerechaMax(coordenadas X de todos los puntos de
  control)
• FondoMax(coordenadas y de todos los puntos de
  control)

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3.2 círculos

• Modelo de centro y radio
• Cálculo del radio a partir de los puntos de
  control
• Ecuación Implícita
• Círculo conjunto de puntos a una distancia fija
  del punto central.
• Ecuación para un círculo de R1 y centro en el
  origen (x2y2)-10
• (x2y2) cuadrado de la distancia entre (x,y) y
  el origen.
• Se puede describir un círculo con centro (Xc,Yc)
  y radio R con la ecuación

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• Ecuación Paramétrica
• Basada en trigonometría
• Dado el ángulo a , las ecuaciones son
• x Xc Rcos(a)
• y Yc Rsen(a)
• El ángulo a varía de 0 a 2?
• Reformulamos las ecuaciones en función del
  parámetro t
• x Xc Rcos(2?t)
• x Xc Rcos(2?t)
• El parámetro t varía de 0 a 1.
• Distancia de un punto a un círculo
• Se deriva a partir de la ecuación implícita del
  círculo
• Los puntos con distancias negativas están dentro
• Los puntos con distancias positivas permanecen
  dentro del círculo.

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• Punto más cercano a un círculo
• Usaremos un modelo de vector
• (Xn,Yn) distancia R desde (Xc,Yc) a lo largo de
  un vector en dirección (x,y).
• 1º construimos un vector de longitud 1 desde el
  centro a (x,y)
• 2º obtenemos un vector en la misma dirección
  con longitud R, multiplicando por R

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• Límites de un círculo.
• Cálculo del rectángulo limitado
• Se usan las ecuaciones paramétricas calculando
  los puntos para t0.0,
• t0.25, t0.5 y t0.75

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3.3 Arcos

• Arco fragmento de un círculo. Podemos definir un
  arco usando las mismas ecuaciones paramétricas
  que un círculo.
• Hay que definir la parte restringida del círculo
  que forma el arco
• 2 parámetros
• Parámetro inicio 0.3
• Parámetro fin 0.5
• Reformulamos las ecuaciones
• x Xc Rcos(2?(b 0.2 0.3))
• y Yc Rcos(2?(b 0.2 0.3))
• b 0 a b1 es igual que t0.3 a t0.5
• .

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• Selección de un punto en un arco.
• (X1,Y1) punto de selección introducido por el
  usuario. Si está bastante cercano,
  consideraríamos el arco como seleccionado
• 1º calculamos (Xn,Yn), punto más cercano al
  círculo.
• 2º calculamos el parámetro t para este punto más
  cercano
• 3º Comprobar que t se encuentra entre 0.3 y 0.5.
• Límites de un arco.
• Los puntos de control de un arco no cumplen la
  propiedad de cubierta convexa.
• Por simplicidad, se usa el rectángulo limitado
  del círculo del arco en lugar de un rectángulo
  más pequeño para el propio arco.

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3.4 Elipses y Arcos Elípticos

• Elipses cuyos ejes mayor y menor son paralelos
  a los ejes x e y.
• Elipse círculo de radio 1 que ha sido estirado
  en x por una distancia W, y estirado en y por una
  distancia H.
• (L,T) Y (R,B) puntos de control del rectángulo
  limitado.
• (Xc,Yc),W y H son calculados a partir de los
  puntos de control.

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• Ecuación Implícita y Paramétrica de una Elipse
• Estas ecuaciones se crean a partir de las
  ecuaciones para un círculo.
• Ecuación Implícita para una Elipse
• Ecuación Paramétrica para una Elipse
• Sustituimos W y H, por el radio en cada
  dimensión
• x Xc Wcos (2?t)
• y Xc Hsen (2?t)
• las ecuaciones para un círculo son un caso
  especial de las ecuaciones para una elipse.

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3.5 Curvas

• Spline curva que se descompone en varias curvas
  cúbicas que son fácilmente conectadas.
• Tipos de spline curvas Bezier, curvas B-Spline,
  curvas Catmull-Rom.
• Hay una curva entre cada par de puntos de control
  adyacentes.
• Motivos
• una única curva de alto grado polinomial es
  difícil de manejar interactivamente.
• Se trata de
• Definir la geometría de una única curva cúbica.
• Definir el modo en el que se unen las curvas

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• Ecuación cúbica
• Forma matricial
• Cmatriz de coeficientes.
• 1ºDefinición de la matriz de coeficientes a
  partir de los puntos de control
• S, matriz de coeficientes constantes,
  característica para cada tipo de curva.
• Definición completa
• Requisitos de continuidad .
• C(0) propiedad por la que dos curvas adyacentes
  comparten el mismo punto en el lugar en donde se
  unen. Fácil de garantizar.
• C(1)Las derivadas son iguales en el punto de
  unión. Requisito más común para unir curvas
  suaves.
• C(2)Las curvaturas son las mismas en el punto de
  unión. Requisito bastante especializado.

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Curvas Bézier

• Definidas por dos puntos de control intermedios y
  por dos puntos finales.
• Proporciona a los usuarios un modelo interactivo
  para la manipulación de la curvatura a través de
  los puntos de control.
• Conexión de dos curvas Bezier
• C(0) es fácil haciendo P4 de la 1ªcurva P1 de
  la 2ª curva.
• C(1) se obtiene haciendo colineal P3 y P4 de la
  1ª curva con P1 y P2 de la 2ª.
• C(2) no ocurre de un modo fácil.
• Característica los puntos de control cumplen la
  propiedad cubierta convexa. Si tomamos el
  máximo y el mínimo para los cuatro puntos de
  control se obtiene el rectángulo limitado para la
  curva.

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Curvas B-Spline

• Número arbitrario de puntos de control P0 a Pn.
• Esta curva está formada por tres curvas cúbicas.
• Cada una tiene 4 puntos de control de P(i-1)
  a P(i2).
• Cada par de curvas adyacentes comparten tres
  puntos de control.Esto garantiza que se cumple
  la continuidad C(2).
• Tiene la propiedad cubierta convexa, entonces
  podemos calcular el rectángulo limitado tomando
  el máximo y el mínimo de los puntos de control.

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Curvas Catmull-Rom

• La curva pasa por unos puntos específicos
• La formulación para una Catmull-Rom es la misma
  que para una B-spline
• No tiene la propiedad cubierta convexa. Se
  resuelve convirtiendo la geometría Catmull-Rom en
  una geometría de Bézier

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3.6 Figuras de trayectorias troceadas

• Figuras creadas con la conexión de objetos
  primitivos.
• La geometría está determinada por la geometría de
  las figuras que la componen.
• El rectángulo redondeado se compone de 4 líneas y
  4 arcos elípticos.
• la otra figura es una concatenación de líneas
  rectas y curvas cúbicas.

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4. Figuras Rellenas

• Figuras 2D con interior
• Rectángulos
• Círculos y elipses.
• Pie Shapes.
• Figuras de límite definido.
• Determinar si un punto específico está dentro de
  la figura o fuera
• Si el ratón está dentro de la figura cuando se
  presiona el botón entonces la figura será
  seleccionada. Si el ratón está fuera entonces no
  será seleccionada.

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4.1 Rectángulos

• La más simple de todas las figuras rellenas.
• Dando sus coordenadas podemos determinar
  fácilmente si está dentro, con las ecuaciones
• Izquierda ? X ? Derecha
• Tope ? Y ? Fondo
• Ecuación paramétrica para puntos interiores y
  exteriores
• Se define un eje para cada uno de los dos
  parámetros s y t, con origen en la esquina
  superior-izquierda.
• XIzquierda s(Derecha Izquierda)
• YTopet(Fondo-Tope)
• Para determinar si un punto (x,y) está dentro del
  rectángulo, se resuelve para los parámetros s y t
  y se determina si permanecen dentro del rango de
  0 a 1.

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4.2 Círculos y Elipses.

• Ecuaciones paramétricas para el interior de un
  círculo
• xXcs R cos(2?t)
• yXcsRsen(2?t)
• S es un parámetro radial.
• si s0 entonces (x,y) está en el centro del
  círculo.
• si s1 entonces las ecuaciones son las mismas que
  para una circunferencia.
• t rodea a la circunferencia.
• Ecuaciones paramétricas para el interior de un
  Elipse
• xXcs W cos(2?t) W radio en el eje x
• yXcsHsen(2?t) H radio en el eje y
• Si conocemos x e y, resolvemos las ecuaciones
  para s y t. Si están dentro del rango de 0 a 1,
  entonces el punto (x,y) está dentro de la elipse.

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4.3 Pie Shapes

• Para determinar si un punto (x,y) está dentro de
  esta Pie shape elíptica se resuelven las
  ecuaciones para s y t

• xXcs W cos(2?(t(end-start)start))
• yXcsHsen (2?(t(end-start)start))

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4.4 Figuras de límite definido

• Figuras sin geometría regular, compuestas por un
  número de piezas, cada una de las cuales es una
  figura de trayectoria definida. Pueden estar
  formadas por
• Líneas rectas y curva cúbicas.
• Polígonos de líneas rectas.
• Curvas cúbicas.
• Curvas cúbicas y líneas rectas.
• Determinar si un punto de selección (x,y) está
  dentro o fuera de la figura
• 1º Prueba de la caja limitada
• Fácil y rápida, que descartará un gran número de
  figuras.
• Se construye tomando la unión de las cajas
  limitadas para cada objeto.
• 2º Si el punto de selección está dentro de la
  caja limitada se aplica la prueba Par/Impar
  Interior/Exterior.

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• Construimos una línea horizontal a través del
  punto.
• Realizamos las intersecciones de la línea
  horizontal con los bordes de la figura.
• Contamos el número de intersecciones a la derecha
  del punto de selección. Si es un número impar, el
  punto está dentro de la figura de otro modo está
  fuera.
• Excepción Cuando un punto de intersección forma
  parte de dos bordes.
• Bordes lineales Se calcula la tangencia, si el
  borde es tangente a la línea horizontal se cuenta
  dos veces(x2,y2), y si el borde atraviesa la
  línea se cuenta una(x3,y3).
• Bordes curvados.(x4,y4) se calcula el punto de
  tangencia con la curva, si dY/dX0 se cuenta dos
  veces en vez de una.