Slide sem t

1
Sistemas de Numeração
Profª. Lizlane Aparecida Trevelin Disciplina
MatemáticaE. E. Jesuíno de ArrudaSão Carlos/SP
2
Introdução sobre a origem dos números
Na pré história, será que o homem já contava?
3
Para descobrir sobre a origem dos números,
precisamos estudar um pouco da história humana.

• Os historiadores são auxiliados por diversas
  descobertas
• o estudo das ruínas de antigas civilizações
• estudos de fósseis,
• o estudo da linguagem escrita
• e a avaliação do comportamento de diversos
  grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

4
O Início do processo de contagem
Os homens primitivos não tinham necessidade de
contar, pois o que necessitavam para a sua
sobrevivência era retirado da própria natureza.
5
A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das atividades humanas, quando o
homem foi deixando de ser pescador e coletor de
alimentos para fixar-se no solo
6
O homem começou a produzir alimentos, construir
casas e domesticar animais, aproveitando-se dos
mesmos através do uso da lã e do leite,
tornando-se criador e desenvolvendo o pastoreio,
o que trouxe profundas modificações na vida
humana.
7
(No Transcript)
8
Olhando ao redor, podemos observar como é grande
a presença dos números.
As primeiras formas de agricultura de que se tem
notícia, desenvolveram-se há cerca de dez mil
anos na região hoje denominada Oriente Médio.
9
A agricultura passou a exigir o conhecimento do
tempo, das estações do ano e das fases da Lua e
assim começaram a surgir as primeiras formas de
calendário.
10
No pastoreio, o pastor usava várias formas para
controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava
os seus carneiros e analisava ao final da tarde,
se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido
do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo
carneiro ao rebanho.
Assim eles tinham a correspondência um a um, onde
cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era
armazenada em um saco.
11
No caso das pedrinhas, cada animal que saía para
o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era
guardada em um saco de couro. No final do dia,
quando os animais voltavam do pasto, era feita a
correspondência inversa, onde, para cada animal
que retornava, era retirada uma pedra do saco.
12
Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é
porque faltava algum dos animais e se algum fosse
acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais
uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é
derivada da palavra latina calculus, que
significa pedrinha.
13
A correspondência unidade a unidade não era feita
somente com pedras, mas eram usados também nós em
cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos,
desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados
para marcar quantidades, continuaram a ser usados
até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe
significa corte.
14
Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades foram
representadas por expressões, gestos, palavras e
símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira
de representação.
15
A faculdade humana natural de reconhecimento
imediato de quantidades se resume a, no máximo,
quatro elementos. O senso numérico não pode ser
confundido com contagem, que é um atributo
exclusivamente humano que necessita de um
processo mental.
16
Os egípcios usavam um sistema de agrupamento
simples, com base 10.
17
Numeração Egípcia
18
Numeração Maia
19
Este senso numérico que é a faculdade que permite
reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena
coleção quando, sem seu conhecimento direto, um
objeto foi tirado ou adicionado, à coleção. O
senso numérico não pode ser confundido com
contagem, que é um atributo exclusivamente humano
que necessita de um processo mental.
20
"Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um,
dois, três e mesmo quatro elementos. Mas aí para
nosso poder de identificação dos números."
História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.
21
(No Transcript)
22
Temos também alguns animais, ditos irracionais,
como os rouxinóis e os corvos, que possuem este
senso numérico onde reconhecem quantidades
concretas que vão de um até três ou quatro
unidades. Existe um exemplo célebre sobre um
corvo que tinha capacidade de reconhecer
quantidade
23
Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo
que fez seu ninho na torre de observação de sua
mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o
pássaro, mas em vão à aproximação do homem, o
corvo saía do ninho.
24
Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro,
mas em vão à aproximação do homem, o corvo saía
do ninho. De uma árvore distante, ele esperava
atentamente até que o homem saísse da torre e só
então voltava ao ninho. De uma árvore distante,
ele esperava atentamente até que o homem saísse
da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o
fazendeiro tentou um ardil dois homens entraram
na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se
afastou. Mas o pássaro não foi enganado
manteve-se afastado até que o outro homem saísse
da torre. A experiência foi repetida nos dias
subseqüentes com dois, três e quatro homens,
ainda sem sucesso.
25
Manteve-se afastado até que o outro homem saísse
da torre. A experiência foi repetida nos dias
subsequentes com dois, três e quatro homens,
ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados
cinco homens como antes, todos entraram na torre
e um permaneceu lá dentro enquanto os outros
quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo
perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre
quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho.
26
(No Transcript)
27
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se
tem notícia é o egípcio. É um sistema de
numeração de base dez e era composto pelos
seguintes símbolos numéricos Outro sistema de
numeração muito importante foi o da Babilônia,
criado a aproximadamente 4 mil anos. Algumas das
primeiras formas de contagem foram utilizadas com
as partes do corpo humano, sendo que em algumas
aldeias os indivíduos chegavam a contar até o
número 33.
28
O Ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura
retangular com fileiras de arame, cada fileira
representando uma classe decimal diferente, nas
quais correm pequenas bolas.
29
No princípio, os sistemas de numeração não
facilitavam os cálculos, logo, um dos
instrumentos utilizados para facilitar os
cálculos foi o ábaco muito usado por diversas
civilizações orientais e ocidentais. No Japão, o
ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan,
que significa bandeja de calcular.
30
O Sistema de numeração Indo-Arábico Nosso
sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos
séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o
Paquistão. O primeiro número inventado foi o 1 e
ele significava o homem e sua unicidade, o
segundo número 2, significava a mulher da
família, a dualidade e o número 3 significava
muitos, multidão. Observemos uma curiosidade que
não pode ter ocorrida por acaso
31
Português Inglês Francês Latim Grego
Italiano Três three trois ter
treis ter Espanhol Sueco Alemão
Russo Polonês Hindu tres tre drei
tri trzy tri
32
Notas históricas sobre a atual notação
posicional Foi no Norte da Índia, por volta do
século V da era cristã, que nasceu o mais antigo
sistema de notação próximo do atual, o que é
comprovado por vários documentos, além de ser
citado por árabes (a quem esta descoberta foi
atribuída por muitos anos).
33
Antes de produzir tal sistema, os habitantes da
Índia setentrional usaram por muito tempo uma
numeração rudimentar que aparece em muitas
inscrições do século III antes de Cristo. Esta
numeração tinha uma característica do sistema
moderno. Seus nove primeiros algarismos eram
sinais independentes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
O que significava que um número como o 5 não era
entendido como 5 unidades mas como um símbolo
independente.
34
Estes algarismos por muito tempo, foram
denominados de uma forma errada, algarismos
arábicos. Ainda existia nesta época a
dificuldade posicional e os hindus passaram a
usar a notação por extenso para os números, pois
não podiam exprimir grandes números por
algarismos. Sem saber, estavam criando a notação
posicional e também o zero. Cada algarismo tinha
um nome 1 eka 2 dvi 3 tri 4 catur 5
pañca 6sat 7 sapta 8 asta 9 nava
35
Quando foi criada a base 10, cada dezena recebia
um nome assim como cada centena e milhar, mas ao
invés de fazer como hoje, de acordo com as
potências decrescentes de 10, os hindus escreviam
os números em ordem crescente das potências de 10
por volta do século IV depois de Cristo. Eles
começavam pelas unidades, depois pelas dezenas,
pelas centenas e assim por diante. O número 3.709
ficava nove sete centos três mil
36

• nava sapta sata ca trisahasra
• Os hindus tinham nomes individuais para
• 10 dasa
• 100 sata
• 1.000 sahasra
• 10.000 ayuta
• 100.000 laksa
• 1.000.000 prayuta
• 10.000.000 koti
• 100.000.000 vyarbuda
• 1.000.000.000 padma
• Poderiamos escrever o número 12.345 como
• pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

37

• pois
• 12.345 5 40 300 2.000 10.000
• logo
• 5 pañca
• 40 catur dasa
• 300 tri sata
• 2.000 dvi sahasra
• 10.000 ayuta

38
Esta já era uma forma especial. Em virtude da
grande repetição que ocorria com as potências de
10, por volta do século V depois de Cristo, os
matemáticos e astrônomos hindus resolveram
abreviar a notação retirando os múltiplos de 10
que apareciam nos números grandes, assim o número
12.345 que era escrito como
39
Notas históricas sobre a criação do zero Tendo
em vista o problema na construção dos números
como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para
representar algo vazio (ausência de tudo) que foi
denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e
a letra u tem um traço horizontal sobre ela).
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência
de um algarismo para representar as dezenas no
número 301 e assim passaram a escrever 301 1
? x 10 3 x 100 301 dasa sunya tri Os
hindus tinham acabado de descobrir o zero.
40
Porém estas notações só serviam para as palavras
e não para os números, mas reunindo essas idéias
apareceram juntos o zero bem como o atual sistema
de notação posicional. Um dos primeiros locais
onde aparece a notação posicional é um tratado de
cosmologia denominado Lokavibhaga, publicado na
data de 25 de agosto de 458 do calendário
juliano, por um movimento religioso hindú para
enaltecer as suas qualidades científicas e
religiosas. Neste texto, aparece o número
14.236.713 escrito claramente
41
O Sistema Romano de Numeração O sistema de
numeração Romano é um sistema decimal, ou seja,
sua base é dez. Este sistema é utilizado até
hoje em representações de séculos, capítulos de
livros, mostradores de relógios antigos, nomes de
reis e papas e outros tipos de representações
oficiais em documentos. Estas eram as primeiras
formas da grafia dos algarismos romanos. Este
sistema não permite que sejam feitos cálculos,
não se destinavam a fazer operações aritméticas
mas apenas representar quantidades. Com o passar
do tempo, os símbolos utilizados pelos romanos
eram sete letras, cada uma com um valor numérico
42
Letra I V X L C D M Valor 1 5 10 50 100 500 10
00 Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem
Quinhentos Mil
43

• Estas letras obedeciam aos seguintes três
  princípios
• Todo símbolo numérico que possui valor menor do
  que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao
  maior.
• VI 5 1 6
• XII 10 1 1 12
• CLIII 100 50 3 153

44
(No Transcript)
45

• Essa idéia de agrupar marcas foi utilizada nos
  sistemas mais antigos de numeração.
• Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema
  muito interessante para escrever números, baseado
  em agrupamentos.
• 1 era representado por uma marca que se parec ia
  com um bastão
• 2 por duas marcas E assim por diante
• Trocavam esse agrupamento por um símbolo novo,
  que parecia um pedaço de corda enrolada
• Juntando vários símbolos de 100, escreviam o 200,
  o 300,... etc, até o 900.
• Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo
  símbolo, que era a figura da flor de lótus

46
Um grande avanço o valor posicional No ábaco,
as bolinhas são todas iguais, mas o valor de cada
bolinha depende do arame em que ela está.
Certamente, foi esta característica do ábaco que
fez surgir a idéia de dar valores diferentes a um
mesmo algarismo, dependendo do lugar em que ele
está escrito. Por exemplo, em 3333, o algarismo
3 assume diferentes valores
47
(No Transcript)