Presentaci

1
Tópicos de Astronomía Simulando la distribución
de galaxias
Gaspar Galaz ggalaz_at_astro.puc.cl
2
Formato del curso

• Habrá pocas clases y bastante trabajo personal.
• La nota de esta parte del curso será sólo la
  evaluación de un trabajo personal o grupal,
• dependiendo del número de computadores
  disponibles.
• La duración será entre 3 y 4 semanas.

3
Introducción

• En este curso estudiaremos las herramientas
  fundamentales para describir la
• distribución de galaxias en el espacio.
• Estas herramientas nos permiten medir la
  distribución de las galaxias, corregiendo
• las distribuciones observadas de varios
  efectos indeseables, entre los cuales los más
• importantes son
• Bias de Malmquist.
• Efectos de selección cosmológicos.
• Efectos de selección evolutivos.
• Efectos de selección instrumentales.
• Las herramientas fundamentales son la Función de
  Luminosidad y la Función de
• Correlación.

4
Pregunta Cómo difiere la distribución espacial
de galaxias de la distribución observada
de ellas ?
1986 Se descubre el gran muro de galaxias. de
Lapparent, Geller Huchra 1986, ApJ 302, 1
5
Cuáles estructuras son reales y cuáles son
efecto de las velocidades peculiares de las
galaxias?
Es necesario ir lejos en el flijo de Hubble para
despreciar las velocidades peculiares Consideremo
s una galaxia a un redshift z pequeño. Entonces
su magnitud absoluta Se puede escribir como
Supongamos que existe una velocidad peculiar que
puede ser expresada en redshift
Entonces la magnitud absoluta medida será
Resulta
Entonces sólo tendrá sentido relacionar las
magnitudes absolutas y el redshift cuando
se conozca Vpec ó cuando se tenga que
ltlt errores fotométricos.
6
Por lo tanto para trazar la distribución real de
galaxias debemos salir del Grupo Local y En
particular del flujo de Virgo del orden de 600
km/seg. Ejemplo Las Campanas Redshift Survey
(LCRS) 22,000 galaxias.
Notar Bias de Malmquist en el número de
galaxias como función del redshift.
Notar las estructuras
Shectman et al. 1996, ApJ, 470, 172
7
Veamos una representación tridimensional...
8
Bias de Malmquist
Dada una distribución de magnitudes absolutas, la
magnitud absoluta promedio observada será más
brillante a medida que las galaxias están más
distantes.
80,000 galaxias
9
En el espacio de magnitudes absolutas se observa
lo siguiente
80,000 galaxias
10
La Función de Luminosidad

• Permite modelar la distribución observada de
  galaxias, y por lo tanto corregir el Bias de
• Malmquist.
• Entrega el número de galaxias por unidad de
  volúmen comovil y por unidad de magnitud
• absoluta o luminosidad.
• La comparación de FL obtenidas para diferentes
  muestras permite estudiar la evolución de
• galaxias suponiendo que las diferentes muestras
  han sido obtenidas de manera similar.

El número de galaxias por unidad de volúmen
comóvil y por unidad de luminosidad
Notar que se ha asumido separabilidad!
Schechter 1976
Constante de normalización, expesada en
Luminosidad caracaterística, típicamente
expresada en Lsolar.
11
Ejemplo ESS survey.
12
La función de Schechter se puede escribir en
términos de la magnitud absoluta usando
Resulta
La tarea es encontrar los parámetros f y M.
Notar que la cosmología entra en el cálculo de
las magnitudes absolutas
Corrección k y corrección por evolución.
Con
La distancia de luminosidad medida en Mpc.
13
Correcciones K para el survey anterior presentan
este aspecto
80,000 galaxias
14
Y las correcciones por evolución?
E(z) depende fuertemente de la época de formación
de las galaxias, de la tasa de formación
estelar, y nada de la cosmología.
15

• Existen una serie de métodos para calcular
  numéricamente la FL. Todos ellos arrojan
• valores que en general difieren un poco. Por lo
  tanto los métodos son llamados
• estimadores. El hecho de que exista el bias de
  Malmquist dado por el límite en magnitud
• aparente (y el deseo de tomarlo en cuenta), nos
  fuerza a pensar que el sólo cálculo
• del número de galaxias por unidad de volúmen y
  por unidad de magnitud absoluta no sirve.
• Los estimadores más conocidos y usados son los
  siguientes
• El estimador tradicional de Felten (1977).
• Estimador de Davis Huchra (1982).
• Estimador de Sandage, Tammann Yahil (1979)
  (STY). Estimadores de
• Estimador de Efstathiou, Ellis Peterson (1988)
  (EEP). máxima probabilidad

Nosotros nos vamos a concentrar en los
estimadores STY y EEP....Por qué?
STY y EEP se basan en estimadores de máxima
probabilidad, los cuales permiten corregir De las
inhomogeneidades en la distribución espacial de
galaxias.
Sin embargo, un primer estimador que vale la pena
ver es el llamado estimador 1/Vmax. Este
estimador fue creado por Schmidt en 1968 para
estudiar la distribución de cuasares. Un estudio
posterior de Felten (1976) mostró que éste es un
estimador de máxima probabilidad.
16
EL método asume que para una magnitud absoluta
dada la función de luminosidad integrada en el
espacio de volúmen se puede escribir como
Donde Vmax(j) es el volúmen correpondiente a la
distancia máxima hasta la cual es
posible detectar la galaxia j y todavía ser
incluída en el catálogo considerando el límite en
magnitud aparente de éste. La FL diferencial
(es decir la FL por unidad de magnitud y de
volúmen) se puede calcular sumando las galaxias
por intervalo de magnitud y de volúmen, es decir
Ng es el número total de galaxias. La ventaja del
método es que entrega simultáneamente la forma y
la normalización para la FL. Sin embargo es
fuertemente afectado por las fluctuaciones de
densidad.
17
El método de máxima probabilidad (en inglés
maximum likelihood).
Idea las galaxias dejan de pertenecer al espacio
de posiciones y magnitudes determinadas.
En vez de eso, se asigna una probabilidad a cada
galaxia de que ésta pueda ser detectada
tomando en cuenta el límite de detección de mi
muestra.
La probabilidad que una galaxia cualquiera i
tenga una magnitud absoluta Mi está dada por
Donde los límites en magnitud absoluta a zi son
Magnitud aparente límite del survey
Entonces la probabilidad se escribe como
18
O equivalentemente
En la ecuación anterior, f(M) puede ser la FL de
Schechter. Entonces el problema se reduce a
encontrar el mínimo de L. Notar que a partir de
la ecuación para f(M) se ha eliminado la
normalización de la Fl, en caso de que ésta esté
representada por f. Esta normalización debe ser
determinada de manera independiente.
También es posible demostrar que los parámetros
M y a describen una elipse en dicho plano. Esta
elipse está dada por
Donde
apropiado para el error tolerado en la
distribución de
es el cambio en
con 2 grados de libertad.
19
Pero es posible usar también un estimador de
máxima probabilidad que no sea parametrizado. En
ese caso se usa el llamado estimador de
Efstathiou, Ellis Peterson (1988), también
Llamado EEP o Stepwise Maximum Likelihood
(SWML). En este método se considera que la FL se
puede escribir como la composición de varias FL
pequeñitas que llamamos fi
Entonces se puede escribir
Donde W y H son funciones definidas como
20
Tanto aquí como con el método STY, la
normalización de los fk se esfuma de las
ecuaciones. Usamos entonces una normalización
ad-hoc
Donde V(M) es el volúmen relativista en el cual
una galaxia de magnitud M puede ser detectada en
el survey dada la magnitud límite. Mf es una
magnitud absoluta fiducial (que se puede
aproximar a un valor estimativo), siendo similar
a M.
Es posible encontrar una expresión para los
errores asociados a las funciones fk con el
método de la máxima probabilidad. La demostración
es complicada, pero después de mucho sufrimiento
que ustedes se ahorrarán, se muestra que éstos
están dados por la matriz de covariancia
21
Donde la matriz
se puede escribir como
Es posible recuperar la distribución en redshift
de las galaxias para las cuales se calculó la FL.
Esto permite, además de reproducir la
distribución espacial, verificar que los
parámetros Obtenidos para la FL son los
correctos. La distribución esperada está dada por
Donde V es el volúmen considerando efectos
relativistas.
22
Otro útil estadístico que permite verificar la
validez de la FL estimada es la recuperación del
número de galaxias por grado cuadrado en el cielo
y por unidad de magnitud
23
Estimación de la normalización Como se vio
anteriormente, los métodos de máxima probabilidad
no permiten determinar la normalización para la
FL. En el caso del método de STY, podemos
encontrar el valor de f usando
El número promedio
está dado por la estimación de la densidad
promedio.
Podemos usar, por ejemplo, el estimador de Davis
Huchra (1982)
Con NT el número total de galaxias en el survey.
24
s(z) es la función de selección definida como
También es posible usar otro estimador propuesto
por Davis Huchra
En la última ecuación N(z) es el número de
galaxias observadas. El problema de este
método es que entrega mayor peso a las galaxias
lejanas, que es donde s(z) es más incierta.
25
Notar que los valores que se obtienen para M y
para a usando distintos métodos varian.
Willmer (1997)
26

• En la primera parte de este curso se obtendrá la
  FL de un catálogo galaxias. Este
• católogo consiste en un gran número de galaxias
  para las cuales se conoce el redshift, la
• magnitud aparente y la corrección K asociada a
  cada galaxia. El catalogo es accesible
• desde mi página web.
• En esta primera parte se pide
• Elegir la cosmología más apropiada y determinar
  la magnitud absoluta para cada galaxia.
• Estimar la FL usando el método de 1/Vmax.
• Estimar la FL usando el método STY y EEP.
• Encontrar la distribución esperada N(z) y
  compararla con la distribución observada Nobs(z).
• Calcular la FL usando el método EEP.
• Calcular el número esperado de galaxias por
  unidad de grado cuadrado. Asuma que el ángulo
• sólido del survey es 0.008275 strad. Comparar
  este resultado con el número observado de
• galaxias por grado cuadrado.