7. GERIBILDIRIMLI SISTEMLERDE KARARLILIK KAVRAMI

1
7. GERIBILDIRIMLI SISTEMLERDE KARARLILIK KAVRAMI
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik
Fakültesi
Elektronik ve Haberlesme Bölümü
2

• Bir sistemin kararli olmasi, sinirli girisler
  karsisinda yine sinirli çikislar vermesi olarak
  tanimlanir. Örnegin sinirli bir giris olan
  birim basamak girisi karsisinda asagidaki
  sistemin yanitinin sürekli biçimde büyüyerek
  sistemi nasil kararsizliga ittigini görebiliriz.

3
Buradan sistem kararliliginin, sistemin çikis
yanitiyla, dolayisiyla sistemin karakteristik
denkleminin köklerinin s düzlemindeki yeri ile
yakindan iliskili oldugu açiktir. Karakteristik
denklemin transfer fonksiyonunun payda kismi
oldugu, köklerinin de bu nedenle transfer
fonksiyonun kutuplari oldugunu biliyoruz (Dorf ve
Bishop,2005).
4

• Öncelikle kökler sag yari düzlemde ise (sk)
  yanit (..ekt) zamanla sonsuza gideceginden
  sistem kararsizdir.
• Sol yari düzlemdelerse (..e-kt) sinirli bir
  degerde kalacagindan sistem mutlak
  kararlidir.Belirtilmedikçe mutlak kararli
  yerine sadece kararli diyecegiz.
• Kökler imajiner eksen üzerindeyse sistemimiz
  sinirda kararlidir. En azindan kararsiz degildir.

5

• Yine olaya geribildirim açisindan bakalim.
  Normalde açik çevrim cevabi kararsiz olan
  sistemleri geri bildirim yardimiyla kararli hale
  getirebiliriz. Örnegin uçaklarin manevra
  yapabilmeleri için kullanilan (kanatçik, motor
  vs.den olusuyordu) açik çevrim sistemler
  normalde kararsiz sistemlerdir. Pusula ve
  denetleyiciden (Pilot veya otopilot) olusan bir
  geribildirimli sistem yardimiyla sistemi kararli
  hale getiririz aksi halde uçak kontrolden çikar.

6
7.1. Routh-Hurwitz Kararlilik Kriteri (Dorf ve
Bishop,2005)

• Günümüzde çesitli programlar veya hesap
  makineleri araciligiyla yüksek dereceli
  sistemlerin karakteristik denklem köklerini
  bulmak ve buradan kararlilik tahmininde bulunmak
  oldukça kolaylasti. Bu kökleri bulmadan da
  sistemin köklerinin en azindan hangi bölgede
  oldugunu bulmak için gelistirilmis bir yöntemimiz
  daha var. Routh kararlilik tablosu veya
  Routh-Hurwitz Kararlilik Kriteri adini verdigimiz
  tablo bize özetle sunlari söyler.

7

• Tablonun birinci sütunundaki katsayilar boyunca
  hiçbir isaret degisikligi olmuyorsa bütün kökler
  sol yari düzlemdedir ve bu nedenle sistemimiz
  kararlidir.
• Yukaridan asagiya dogru ilk sütundaki katsayilar
  kaç kere isaret degistirmis ise sag yari düzlemde
  o kadar sayida kök vardir. Dolayisiyla sistem
  kararsizdir.
• Isaret degistirmenin sinirina kadar gelinmis ise
  yani ilk sütundaki katsayilardan biri sifir olmus
  ama daha ileri gidilmemis yani hiç isaret
  degisikligi olmamissa sistem sinirda kararlidir.
• Ancak ilk sütunda birden fazla sifir var ise bu
  durumda sistem yine kararsizdir.

8
Örnek7.1. q(s) -s5 -2s4 2s3 4s2 11s
10
9
Ilk sütun, 3. satirda bir tane 0 var.
Devamindaki satirlarin birinin ilk sütununda bir
tane dahasifir varsa, hatta daha da ötesi isaret
degisimi varsa sistem kesinlikle kararsiz idi.
Ama tek 0 bu ise sinirda kararlidir. Hangisi
oldugunu ögrenebilmek için islemlere devam
edebilmemiz gerekir. Fakat
deger alacagindan bundan sonraki
degerleri hesaplayamayiz.Bunun önüne geçebilmek
için bir kabullenme yapalim.a0 yerine 0a çok
yakin küçük bir e degeri oldugunu kabul
edelim.Isaret degisikligi olmamasi için (asil
degeri 0)isareti negatif olsun a - e ( egt0 ? -
elt0)
10
(No Transcript)
11
son satirda isaret degismistir. Sistem
kararsizdir. Sinirda kararli degildir. Yine de
diger degerleri de bularak tabloyu tamamlayalim.
Gerçekten de basamak yaniti üstteki gibi
artmaktadir.
Bir kere isaret degistirdiginden sag yari
düzlemde bir tane kök oldugu anlasilmaktadir.
12
Örnek7.2.
q(s) s3 2s2 4s K
13
Sistemin kararsiz olmamasi için ya veya olmali.
i)Sistemin mutlak kararli olmasi için
olmaliii)Sistemin en azindan sinirda (marjinal)
kararli olabilmesi için K8 veya K0 olmali.
Tablolar
veya K8 için
K0 için
Örnegin K8 için olan dogruluk tablosundan
yararlanarak karakteristik denklemin köklerini
de hesaplayabiliriz
14
Kökleri Tablodan Yararlanarak Hesaplama Yöntemi
Yardimci Polinom Olusturma

• Yukaridaki örnek gibi tüm satirin sifir oldugu
  özel durumlarda yardimci polinomdan yararlanarak
  yüksek dereceli karakteristik denklemlerin
  köklerini de dogrudan bulabiliriz.
• Örnegin yukaridaki sistemde K8 için 3. satirin
  tamami sifir çikiyor. Bir an için Klari unutalim
  ve bu tablonun bu sayilardan olustugunu
  düsünelim. Önceden hesaplamis olmasaydik devamini
  hesaplayabilmek için 0lar yerine lar koyardik.
  Son satir 8 degil de ona yine biraz hatali da
  olsa ona yakin ve pozitif bir deger olan 6
  çikacakti. Sonuç yine ilk satirdaki tek sifirdan
  ve baska sifir olmamasi ya da isaret degisikligi
  olmamasindan dolayi sinirda kararli çikacakti.

15

• Buna neden olan kökleri bulalim Bunun için
  önceki satirin (s2 ve s0li terimlerin oldugu
  satir) katsayilarini yardimci polinom olarak
  seçebiliriz.y(s) 2s2 8. Bu polinom bizim
  karakteristik denklemimizin çarpanlarindan
  biridir. Bu nedenle kökleri, denklemin de
  kökleridir 2j . Imajiner eksen üzerindeki
  eslenik kökler, sinirda kararliligi açikliyor

16
Özetle (bir alt satiri sifir yapan) yardimci
polinomun kökleri sistemi sinirda (marjinal)
kararli yapan köklerdir. Fakat sistem 3.
dereceden yani bir kök daha olmali. Onu bulmak
için karakteristik polinomu, bir çarpani olan
yardimci polinoma bölelim.
Köklerin konumu sistemin sinirda kararli oldugunu
dogruluyor.
17
Örnek.7.3 Kaynak robotunun denetimi Kaynak
robotlari otomotiv sektöründe gövde parçalarini
birlestirmek için puntalama amaciyla kullanilir.
Kaynak basligi hedef noktalara hizla ve hata
yapmadan ulasmak zorundadir. Denetim sisteminin
blok semasi asagida verilmistir. Kapali çevrim
sistemin kararli oldugu bölgeyi saglayan K
kazanç araligini bulun.
18
Payda
yani karakterisik denklem
19
(No Transcript)
20
Sistemin kararli olabilmesi için a, ve dnin
olmasi gerektiginden
i) a
Kgt-6
ii) d
gt0 , payda kisminin kosulunu ide belirtmistik
geriye pay kismi kaliyor.
iii) c
gt0 ,
gt0 iki çarpan da ayni isaretli olmali
ya iv) Kgt56.2 ve Kgt-22.95 veya v)
Klt56.2 ve Klt-22.95
V nin Kgt-22.95 ve ii nin Kgt-6 kosulu
örtüsmüyor.Bu nedenle iki çarpan da pozitif
olmali Kgt56.2 ve Kgt-22.95
Robotun sorunsuz çalisabilmesini saglayan aralik
56.2 lt K lt 77.76 olarak belirlenir
21
7.2. Geribildirimli Sistemlerde Bagil Kararlilik
Bazen sistemlerin sinirda kararli olmasini
isteriz. Osilatörler bu sekilde çalisir.
Salinimlari azaltmak için ise karakteristik
denklem köklerini gerçel eksene ve mümkün oldugu
kadar sola yerlestirmeye çalisiriz. Bir yolcu
uçaginin kararliliginin
yüksek olmasi istenen bir durumdur. Bir rotayi
kararli bir sekilde izlediginden, yolcular için
oldukça konforlu bir uçus saglar. Bu kararlilik
degisim komutlarindan yavas etkilenmesine,
manevra kabiliyetinin düsük olmasina yol açar.
Savas uçaklarinda da bu istenmeyen bir durumdur.
Istenen manevralari ne kadar konforsuz da olsa
hizli ve ani bir sekilde gerçeklestirmesi
gerekir.
22

• Bu yüzden uçak tasarimcilari, savas uçaklarinin
  kararliliginin yolcu uçagina göre görece daha
  düsük olmasi isterler. Daha az, ya da daha çok
  kararli olmak, kontrol sisteminin karakteristik
  denklem köklerinin gerçel kisimlarinin sol yari
  düzlemde daha sagda veya daha solda olmasina
  karsilik gelir. Asagidaki sekilde r3, eslenik
  köklerine sahip olan sistem, r2 gerçel köküne
  sahip olan sistem ya da daha sagda olan r1,
  eslenik köklerine sahip olan sisteme göre daha
  kararlidir. Tabii görece r2 olan sistem görece
  r1 olana göre daha kararlidir.
•  

23
Örnek.7.4 Paletli Aracin Dönüs Kontrolü
Paletli bir aracin dönüs kontrol sisteminin
tasarlanmasi iki parametrenin seçimine bagli
olarak yapilir (Sekilde görülen a ve K
parametreleri, a0.1- 4 ve K1-10 000 arasinda
ayarlanabilen fiziksel elemanlardir). Araci
döndürmek için iki palet birbirlerinden farkli
hizlarda çalistirilir (Dorf ve Bishop,2005).
24
Istenenler Birim rampa seklinde zamanla degisen
bir girise sistemin yanitinda olusabilecek
kalici durum hatasi en fazla 0.24 olmalidir.
Ayni zamanda sistem kararli olmalidir. Bunun için
uygun K ve a degerleri seçin.

a) ess
, Khiz

ess
lt 0.24, Ka gt 41.67, Ka için sinir
degeri 41.67 dir.
b) Kararlilik kosulunu da Routh-Hurwitz
tablosundan bulalim.
25
(No Transcript)
26
Sistemin kararli olabilmesi için isaret
degisikliginin olmamasi gerekir.
i)
? Klt126 , ii)
?
(K, a ,126-K ve 10 hep pozitif sayilar,
dolayisiyla
kesinlikle negatif bir sayi , biz zaten K 1
oldugunu biliyoruz. Kgtnegatif bir sayi
esitsizligine ihtiyacimiz yok) iii) K.a gt 0
(zaten K ve anin pozitif oldugunu biliyorduk).
Elimizde ise yarar üç bilgi var 1 K lt 126 ,
0.1 a 4 ve Ka 41.67. Bu üç kosulu
saglayan kararli bölgeyi program yardimiyla
çizdirelim. Tarali bölgenin disindaki her hangi
bir (K,a) noktasi kararlilik ve kalici durum
kosulunu saglar.
27
Örnegin sinirdaki bir nokta olan (0.6, 70) tüm
kosullari saglar. Bunu hemen sistemin birim rampa
yanitinda görelim.
28
(No Transcript)
29
Örnek.7.5 Sekildeki sistemin kararli olabilmesi
için K hangi aralikta olmalidir?
Denklemin Routh-Hurtwitz tablosu
30
Sag tarafta kök olmamasi için
Bu aralikta karakteristik denklemde Kya çesitli
degerler vererek farkli karakteristik denklemler
ve bunlara ait farkli kökler bulabiliriz. Her bir
karakteristik denklemin 3 kökü olacaktir. Bunlari
Knin 0dan 20ye kadar degisiminde karmasik
düzlem üzerinde x simgesiyle çizdirirsek
31
Knin belirli bir degerinden sonra (8 den büyük
degerleri) q(s) karateristik denkleminin
köklerinin sistemi kararsizliga götüren sag yari
düzleme geçtikleri görülmektedir.
Kaynaklar 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern
Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice
Hall, 2005