Analyse Num

1
Analyse NumériqueProblèmes Pratiques

• DérivationIntégration

2
Introduction

• f connue
• sur un certain nb de points
• ou analytiquement
• besoin de connaître f'
• sur ces points
• sans faire le calcul analytique.
• besoin de calculer l'intégrale
• sans calculer la primitive
• (quadrature)

3
Dérivation numérique 1/5

• Méthode "naïve"
• en théorie, la formule est vraie pour h ? 0
• en pratique, attention au choix de h !
• h trop grand calcul trop approximatif
• h trop petit problèmes d'arrondis

4
Dérivation numérique 2/5

• Méthode des différences centrales
• Taylor
• On connaît f sur un ensemble de points xi,yi
• h xi1 - xi
• f(xh) ?
• f(x-h) ?

5
Dérivation numérique 3/5

• Méthode des différences centrales (suite)
• f(xh) - f(x-h) ?
• en négligeant les termes en h3
• meilleure approximation que la méthode "naïve"
  (h3/h2)

6
Dérivation numérique 4/5

• Méthode des différences centrales (suite)
• calcul des dérivées d'ordre supérieur
• f"(xi) ?

7
Dérivation numérique 5/5

• Méthode des différences centrales (fin)
• calcul des dérivées d'ordre supérieur
• en négligeant les termes en h4
• et pour les autres dérivées ?

8
Intégration numérique 1/

• Plusieurs méthodes
• a et b finis
• On connaît f sur un ensemble de points xi,yi
• polynôme d'interpolation sur n1
  pointsNewton-Cotes
• On connaît f sur autant de points que l'on veut
• polynôme d'interpolation choix de n1
  pointsGauss-Legendre
• a ou b infini
• Gauss-Laguerre, ...

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Intégration numérique 2/

• Méthodes polynomiales
• On connaît la fonction sur n1 points
• 2 solutions
• calculer le polynôme d'interpolation de degré n
  Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré
  n
• problème les polynômes de degré élevé
  oscillent énormément
• regrouper les n1 points en sous-intervalles de
  p1 points (avec p1 faible)calculer les
  polynômes d'interpolation de degré psommer les
  intégrales de chaque sous-intervalle

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Intégration numérique 3/

• Méthode des trapèzes p12 points
• polynôme d'interpolationdroite
• A
• soit h xi1 - xi

A
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
11
Intégration numérique 4/

• Méthode de Simpson p13 points
• polynôme d'interpolation de degré 2
• i va de 0 à n-2 avec un pas de 2

A
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
12
Intégration numérique 5/

• Méthode générale Newton-Cotes p1 points
• polynôme d'interpolation de degré p Pp(x)
• comment trouverles ?i ?

A
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
13
Intégration numérique 6/

• Méthode générale Newton-Cotes p1 points
• calcul des ?i décomposition de l'intégrale
  dansla base 1, t, tp

A
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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Intégration numérique 7/

• Exercice
• Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour
• retrouver la méthode des trapèzes
• retrouver la méthode de Simpson
• trouver la méthode de Simpson "3/8" (p14)

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Intégration numérique 8/

• Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ?
• Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A)
• erreur d'interpolation ?(x)(x-x0)(x-x1)(x-x
  p)
• erreur de quadrature

M majorant de f (p1)
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Intégration numérique 9/

• Erreur de quadrature pour
• les trapèzes
• Simpson

17
Intégration numérique 10/

• Méthodes polynomiales récursives
• ex pour la méthode des trapèzes
• découpage récursif de la surface en trapèzes

I(0)
I(1)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
18
Intégration numérique 11/

• Bornes infinies ?
• Méthode de Gauss-Laguerre

19
Intégration numérique 12/

• Intégrales multiples ?
• Ex avec la méthode de Simpson
• en dimension 2 zij f(xi, yj)

k yi1 - yi
h xi1 - xi
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Sujet de TD
21
Conclusion