9 Complexit

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9 Complexité des activités mathématiques

• 9-1
• Introduction Généralités
• Les composantes de la complexité

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Sommaire

• Introduction et généralités
• diaporama 9-1 vues 1 à 23
• Études sur le calcul de la multiplication
• diaporama 9-2 vues 24 à 67
• Études sur la division
• Diaporama 9-3 vues 68 à 94
• Études sur les systèmes linéaires
• Diaporama 9-4 vues 95 à 112
• Quelques repères
• Une étude de Lucienne Félix 6-9
• comparaisons de méthodes, indice de complexité
  51-59
• Études théoriques 27 études empiriques 37

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Objet des études de complexité

• Létude de la complexité des situations a pour
  objet de prévoir et de comparer les variations de
  performances des élèves en fonction des
  variations de certaines caractéristiques ou
  variables de ces situations
• Les études de la complexité des situations
  conjuguent autant que possible deux méthodes
• la modélisation a priori et la mise à lépreuve
  expérimentale des modèles théoriques,
• ou lobservation et lexplication a posteriori
  par des modèles empiriques
• Ce type détude est directement orienté vers le
  choix des objets et des conditions denseignement
  les plus appropriées aux élèves, collectivement
  ou individuellement

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Les composantes

• La complexité dune situation dépend
• 1. De la complexité du milieu
• 2. De la complexité créée par le projet
• les choix à faire pour obtenir le résultat
  suivant les connaissances, la probabilité dy
  parvenir
• et ce quil faut faire pour établir une solution
  (reproductible)
• 3. De la complexité de la tâche, cest-à-dire de
  la reproduction dune solution connue suivant la
  fiabilité cherchée (elle réduit la complexité
  globale du projet)

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Leur complexité

• La complexité du milieu ne dépend pas a priori
  des compétences de lactant.
• Par contre la complexité de la résolution de la
  situation, lobtention du résultat visé, dépend à
  la fois du milieu et des connaissances de
  lactant.
• La complexité de létablissement dune solution
  stable - une tâche dépend de plus des
  connaissances et des répertoires de référence de
  lactant
• La complexité de la reconnaissance a priori et de
  la mise en œuvre dune solution stable une
  tâche ne dépend principalement que de la
  culture

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1. La complexité dun milieu

• Lucienne Félix inventorie le milieu de la
  situation suivante
• Trois points A, B et C sont sur un cercle (C)
• Les milieux des arcs successifs BC, CA, AB
• sont nommés A', B', C'.
• Objectif déterminer la mesure de l'angle de AA'
  et B'C'.

Les éléments du milieu sont
Les objets
Extrait de louvrage L. Félix, Un aperçu des
méthodes en géométrie élémentaire 2 textes de
réflexions didactiques, IREM de Bordeaux 1991 à
lire sur ce site
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Les relations
Les connaissances disponibles
- Addition des arcs, addition des angles. -
Correspondance entre arcs, angles au centre,
angles inscrits - Angles de 2 cordes se coupant à
l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. - Tout
angle a 2 bissectrices perpendiculaires Tout arc
a 2 milieux diamétralement opposés.
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• Le savoir utilisé dans cette solution nest
  quune petite partie de ceux qui sont engagés
  dans le milieu. Le choix des objets et des
  relations utilisés et du théorème de référence
  est le résultat du traitement dun certain nombre
  dénoncés dont certains sont des théorèmes de
  référence (des savoirs) mais dont lutilité est
  incertaine et qui interviennent comme de simples
  connaissances
• La complexité de la solution est faible par
  rapport à celle de la situation. Mais
  létablissement de la solution (même si les
  théorèmes sont sus) est dune complexité beaucoup
  plus grande

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• Cet inventaire laisse évidemment dans lombre des
  conventions implicites comme  il sagit de
  démontrer, pas de mesurer UN angle particulier 
• Cette situation est un problème classique elle
  ne comporte pas déléments qui pourraient faire
  penser que cet angle aurait une valeur
  particulière ni pourquoi il est intéressant de le
  savoir.
• Lélève sait bien quelle est la réponse à la
  question posée. Là nest pas la question.
• Il  ne sagit que  de produire ou reproduire
  une démonstration de mathématique. Ce qui est
  déjà bien
• Par contre ce que sest proposé L. Félix
   Trouver dix solutions distinctes de ce
  problème  constitue une situation qui nest pas
  réduite à un problème. Lexploration dun
  domaine, y reconnaître que des solutions sont
  similaires, ou différentes, relève dune
  connaissance dun milieu, non dun savoir.

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2. La complexité des tâches Plan détude

• Étude théorique et expérimentales des difficultés
  du calcul élémentaire, et la comparaison de
  divers algorithmes.
• Considérer la complexité formelle des différents
  algorithmes de calcul  à la plume  de la
  multiplication et de la division, nous donnera
  loccasion dillustrer quelques méthodes de
  recherches et de montrer lusage fécond dun
  indice de complexité pourtant bien insuffisant.
  Nous nétudierons pas tous les aspects (ex.
  leffet de la disparition quasi-totale du calcul
  de la vue du calcul  à la plume  dans nos
  sociétés, Le dénombrement et la numération sont
  étudiés dans une autre partie du cours) etc.
• 2. Étude a priori des effets des variables de
  complexité sur lapprentissage et lenseignement
  la taille des répertoires, la longueur des
  séquences indépendantes, le nombre de valeurs
  provisoires maintenues simultanément en mémoire
  Nous comparerons la méthode per gelosia et la
  méthode Fibonacci, a priori à laide de lindice
  de complexité de McCabe, confronté à des
  observations et à des expériences.

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• 3. A propos de la soustraction et de la division
  observation empirique de leffet de diverses
  variables qui ont un effet sur la compréhension
  et la mise en œuvre des tâches
• taille des nombres
• nature mathématique des nombres,
• type de grandeurs etc
• 4. Dans le prolongement des études précédentes le
  cours présente
• une approche de la complexité des raisonnements
  arithmétiques et de lalgèbre linéaire où les
  algorithmes se multiplient et sassouplissent.
• Une expérience mentale simple montre limportance
  du rôle des types de grandeurs pour orienter la
  résolution dun même système vers une méthode
  arithmétique ou vers une autre. Lalgèbre échappe
  à ces difficultés mais les reporte sur les mises
  en équations.
• Une étude de la complexité des résolutions
   opportunistes  dune situation, comparées avec
  celle de létablissement dune solution stable
  montrera lexistence dun seuil dapprentissage

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3. La Complexité de la résolution des situations
et la complexité des apprentissages

• Ce sont les parties les plus importantes et les
  plus délicates de la recherche en didactique.
  Dautant plus quil semble que les approches qui
  isolent prématurément une catégorie de faits ou
  de connaissances de leur environnement didactique
  induisent des biais et peuvent très mal orienter
  les efforts de lenseignement.
• Nous naborderons cette question quaprès avoir
  étudié les situations et les curriculums et nous
  les reprendrons alors dans le cadre de la théorie
  des situations proprement didactiques qui prend
  pour objet non seulement lobjet de
  lenseignement mais le système didactique dans sa
  totalité.

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• Savoir définir une  complexité didactique
  intrinsèque  pour des domaines des
  mathématiques, et montrer sa validité contingente
  ne sera le résultat que dune connaissance
  approfondie de la didactique et de la
  métamathématique elles-mêmes.
• Cest pourtant en référence à ce projet quil
  faut interpréter nos efforts (ils peuvent sembler
  dérisoires à une telle distance du but) pour
  diriger des choix de situations et de curriculum
  à laide de comparaisons de complexité entre les
  objets qui apparaissent pertinents pour cela (ce
  qui en fait des objets didactiques).
• Nous allons commencer par le côté le plus
  abordable celui des algorithmes et donc des
  tâches1.
• Pour des raisons historiques, techniques et
  idéologiques nous avons dabord examiné de ce
  point de vue lenseignement élémentaire.
• 1Cest aussi une nervure de la théorie
  anthropologique

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Annonce du diaporama 10 suivant

• Dans le chapitre suivant nous montrerons que les
  variations de la difficulté deffectuer ou de
  concevoir un algorithme ménagent une zone de
  meilleure efficacité.
• Les zones de meilleure efficacité de deux
  algorithmes qui résolvent le même problème
  mathématique peuvent présenter différentes
  configurations. Dans certains cas il apparaît
  entre elles des seuils qui obligent à augmenter
  brutalement la complexité des solutions.
• Un saut trop important provoque des effets
  comparables aux obstacles épistémologiques
  observés notamment en Sciences Physiques.

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Études sur les méthodes de calcul à lécole

• Remarques ergonomiques
• et Ingénierie Didactique

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Préambule

• Le corps de ce diaporama réalisé pour une
  conférence à des enseignants évoque plus quil
  nexpose mes exercices de débutant sur le calcul
  et son apprentissage1. Je suis à peu près certain
  que toutes les objections présentées ici à nos
  pratiques habituelles avaient déjà été faites et
  depuis longtemps certains pays en ont tenu
  compte. Mais elles nont jamais eu aucun écho en
  France.
• La difficulté à corriger des erreurs patentes,
  nest pas une simple anomalie, cest un phénomène
  récurrent qui mérite dêtre étudié.
• 1 BROUSSEAU Guy (1973) "Peut-on améliorer le
  calcul des produits de nombres naturels ? " in
  Actes du 3e congrès des sciences de léducation
   Apports des disciplines fondamentales aux
  sciences de léducation  tome 1 pp 364-378
  (1973)

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• Pour cerner les objectifs et les moyens
  dapprentissage envisagés dans la théorie des
  situations mathématiques il faut les confronter
  aux principes et méthodes utilisées ou évoquées
  comme telles - presque universellement pour
  enseigner les algorithmes.
• Elles servent de référence à toutes les méthodes
   rationnelles  denseignement.
• Lépistémologie quelles véhiculent simpose dans
  les rapports de lensemble de la population avec
  les institutions scolaires.
• Dans ces rapports, les connaissances sont
  assimilées à des textes et les textes à des sous
  algorithmes. Lenseignement consiste à créer et
  assembler ces pièces comme celles dun meccano.
• Il est nouveau de voir aujourdhui des
  producteurs de connaissances mathématiques qui
  tendent à partager ce point de vue, malgré leur
  expérience.
• Les études dergonomie esquissées dans ce
  chapitre permettent de replacer ces opinions et
  ces pratiques dans la perspective de la théorie
  des situations mathématiques

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1. Les principes de base de la didactique
classique

• 1. Principe de construction
• Tout ce qui est utilisé pour édifier un texte ou
  un algorithme nouveau à un moment donné doit
  avoir été auparavant
• - enseigné
• - et appris
• 2. Principe déconomie
• Ne doit être enseigné que ce qui doit être su
  finalement ou qui doit être su pour apprendre un
  autre savoir, (cest-à-dire les savoirs de
  référence).
• ? conséquence tout ce qui est enseigné doit
  être appris
• 3. Les éléments primitifs doivent être pris
  évidents ou familiers
• 4. Méthode de base
• Tout ce qui est nécessaire (à lécole de base)
  peut être appris par lexemple, limitation, la
  correction et lexercice.
• 5. La compréhension accélère lapprentissage mais
  ne lui est pas nécessaire.
• Elle peut être facilitée par lexplicitation,
  lexposition, et lexplication.

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2. Objections

• Mais aucune de ces déclarations - ni leur
  négation - nest un principe universel
• 1. Le principe 1 ne sapplique pas aux
  connaissances La théorie des situations
  mathématiques montre des conditions dans
  lesquelles les élèves produisent des
  connaissances qui ne leur ont pas été enseignées
  au préalable.
• Nous donnons des exemples de constructions de
  solutions complexes par des genèses, des
  évolutions de connaissances et non par des
  synthèses de savoirs
• La transformation des connaissances en savoirs
  permet de suivre des voies variées souvent plus
  efficaces
• 2. Le principe 2 affirme que puisque lénoncé de
  la conclusion est plus court que sa
  démonstration, lapprentissage de lénoncé est
  plus économique que celui de sa démonstration. Ce
  nest pas  vrai , on apprend souvent mieux ce
  quon comprend.

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• 3. Les éléments primitifs ne sont pas souvent les
  plus faciles à appréhender.
• 4. La procédure du quatrième principe ne
  sapplique pas a tout. Elle est si coûteuse en
  temps quil est peu probable quon puisse
  effectivement apprendre ainsi tout ce qui, en
  principe, pourrait relever de ce processus sans
  école.
• 5. La déclaration est exacte pour les
  apprentissages formels. Mais les rôles de la
  compréhension et de lapprentissage sont
  inversés. Cest lapprentissage qui prolonge et
  soulage la compréhension dans des conditions où
  elle nest plus indispensable.
• 6. Lacquisition de connaissances (même
  inaccessibles à lanalyse) est indispensable
• 7. ainsi que lexplicitation, lexposition et
  lexplication, nécessaires à la constitution des
  savoirs (la reconnaissance des connaissances
  conformes)

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3. Motifs de cette étude

• Motifs Scientifiques. Il sagit ici de reprendre
  lensemble du problème de lenseignement des
  calculs élémentaires les plaçant dans le cadre
  dune construction densemble des notions
  mathématiques.
• Une première approche ergonomique et économique
  permettra de comparer les performances des
  différentes méthodes du point de vue des efforts
  que demandent leur usage et leur apprentissage et
  de la fiabilité qui en résulte.
• Motifs Didactiques. Cette étude présentera dans
  ce cours une base essentielle de lingénierie
  didactique létude des propriétés ergonomiques
  des situations et de leurs solutions.
• Lingénierie didactique pratique se heurte à des
  exigences sévères et reste limitée à des
  modifications mineures aux avantages incertains

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• Motifs Macrodidactiques. Les conclusions de cette
  étude ne seront pas décisives pour lenseignement
  réel car les changements dans ce domaines sont
  soumis à des phénomènes de macrodidactique
  excessivement violents.
• Exemple la permanence des irrégularités de
  numération orale en France (72, 95)
• et Économiques. Les motifs scientifiques ont un
  faible poids. Les conditions économiques sont
  plus fortes
• Aujourdhui la demande de la société en calcul
  humain sest effondrée. Lapprentissage du calcul
  est toujours indispensable mais seulement pour
  des raisons épistémologiques et culturelles. Il
  fait partie de la culture, mais plus des usages.
• Il faut donc reconsidérer en même temps ses
  méthodes et son enseignement pour les adapter à
  léconomie de leur usage et à lergonomie des
  utilisateurs.

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4. Le plan de létude

• Létude devrait commencer par celle de la
  division car seules les modifications
  didactiquement compatibles avec la méthode de
  division seront finalement acceptables
• Mais nous étudierons dabord la multiplication
  comme un sujet indépendant. Nous opposerons à la
  méthode classique introduite par Fibonacci, celle
  per gelosia, beaucoup plus sûre et rapide pour
  les grandes opérations. Elle favorise
  lapprentissage les élèves peuvent
   linventer  et la comprendre.
• Nous améliorerons ensuite  naïvement  les
  propriétés ergonomiques de la division. Certaines
  des propositions introduites pas ce travail il y
  a près de 40 ans ont été adoptées.. Pas toutes.
  Lenseignement peut suivre un processus
  dinvention et de mise au pont comparable à celui
  commencé avec  qui dira 20 .
• Ensuite viendra létude du compromis pour la
  division. Le calcul des multiplications en ligne
  nécessaires à la division est acquis plus
  facilement à partir de lapprentissage de per
  gelosia. Les élèves passent ensuite facilement à
  la présentation classique des multiplications.