Presentaci

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Las civilizaciones de las que se ha estado
hablando a lo largo de este capítulo se
desarrollaron a orillas de ríos tan importantes
como el Tigris y el Éufrates, el Nilo y el
Huang-Ho.
Esta Abundancia de agua y de limo dio origen a
que, mediante diversas técnicas de cultivo, la
agricultura fuera la base de sus sustento.
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Pero, para aplicar las técnicas de cultivo, se
necesitó la organización de pueblos enteros y la
imposición de tributos para pagar los proyectos
de siembra y cosecha. Esto no se hubiera logrado
sin un sistema de escritura y de numeración con
el que se pudieran registrar y controlar estos
impuestos.
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Se requirió de material de escritura para
registrar los títulos de propiedad de las
tierras así como de un sistema de medidas para
contabilizar el trabajo agrícola (contar el grano
de una cosecha, la extensión de la tierra, la
cantidad de agua, el tiempo de trabajo mediante
calendarios y aun relojes de arena, etc.)
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El concepto de número surgió como consecuencia de
la necesidad práctica de contar objetos.
Inicialmente se contaban con ayuda de los medios
disponibles dedos, piedras... (basta recordar
por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la
palabra latina calculus que significa contar con
piedras).
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La serie de números naturales era, obviamente,
limitada, pero la conciencia sobre la necesidad
de ampliar el conjunto de números representa ya
una importante etapa en el camino hacia la
matemática moderna.
Paralelamente a la ampliación de los números se
desarrolló su simbología y los sistemas de
numeración, diferentes para cada civilización.
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ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA. La civilización
desarrollada a lo largo del Nilo es considerada
la primera civilización que alcanzó un cierto
desarrollo matemático.
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Los egipcios desarrollaron las matemáticas y la
geometría construyeron un sistema decimal,
aunque no llegaron a utilizar el cero.
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Tenían fórmulas para medir las superficies del
círculo, triángulo y cuadrado además, podrían
calcular el volumen de la esfera y el cilindro.
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En aritmética, los egipcios dominaban las cuatro
operaciones elementales suma, resta, división y
multiplicación.
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Con estos conocimientos floreció la navegación,
la agricultura y sobre todo el comercio.
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De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo
250 tienen contenidos matemáticos y de ellas
apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con
los papiros, las tablillas contienen únicamente
problemas concretos y casos especiales, sin
ningún tipo de formulación general, lo que no
quiere decir que no existiera, pues es evidente,
que tales colecciones de problemas no pudieron
deberse al azar.
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Su sistema de medidas se basó en la pulgada
lineal y en la cuadrada. Fueron grandes
estudiosos de la geometría y las matemáticas
(dividieron el círculo en 360 grados), y su
influencia científica llegó hasta Grecia, Egipto
e incluso el Mediterráneo occidental.
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Utilizaron el sistema de numeración posicional
sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo
símbolo podía representar indistintamente varios
números que se diferenciaban por el enunciado del
problema.
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Desarrollaron un eficaz sistema de notación
fraccionario, que permitió establecer
aproximaciones decimales verdaderamente
sorprendentes. Esta evolución y simplificación
del método fraccionario permitió el desarrollo de
nuevos algoritmos que se atribuyeron a
matemáticos de épocas posteriores, baste como
ejemplo el algoritmo de Newton para la
aproximación de raíces cuadradas.
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Desarrollaron el concepto de número inverso, lo
que simplificó notablemente la operación de la
división. Encontramos también en esta época los
primeros sistemas de ecuaciones. Efectuaron un
sin fin de tabulaciones que utilizaron para
facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas
ecuaciones cúbicas.
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INDIA ANTIGUA. Los primeros indicios matemáticos
se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C,
centrándose en aplicaciones geométricas para la
construcción de edificios religiosos y también
parece evidente que desde tiempos remotos
utilizaron un sistema de numeración posicional y
decimal.
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Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C
cuando la contribución a la evolución de las
matemáticas se hizo especialmente interesante,
destacando cuatro nombres propios Aryabhata
(s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y
Bhaskara Akaria (s.XII). La característica
principal del desarrollo matemático en esta
cultura, es el predominio de las reglas
aritméticas de cálculo, destacando la correcta
utilización de los números negativos y la
introducción del cero, llegando incluso a aceptar
como números validos las números irracionales.
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Profundizaron en la obtención de reglas de
resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas,
en las cuales las raíces negativas eran
interpretadas como deudas. Desarrollaron también,
sin duda para resolver problemas astronómicos,
métodos de resolución de ecuaciones diofánticas,
llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la
ecuación x21ay2, denominada ecuación de Pelt.
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Como resumen acabaremos diciendo que en la
historia de la India se encuentran suficientes
hechos que ponen en evidencia la existencia de
relaciones políticas y económicas con los estados
griegos, egipcios, árabes y con China.
Matemáticamente se considera indiscutible la
procedencia hindú del sistema de numeración
decimal y las reglas de cálculo.
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CHINA ANTIGUA. La primera obra matemática es
"probablemente" el Chou Pei (horas solares) 1200
a.C.? y junto a ella la más importante es "La
matemática de los nueve libros" o de los nueve
capítulos.
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Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo,
tiene la forma de pergaminos independientes y
están dedicados a diferentes temas de carácter
eminentemente práctico formulados en 246
problemas concretos. Los problemas resumen un
compendio de cuestiones sobre agricultura,
ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de
ecuaciones y propiedades de triángulos
rectángulos.
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El sistema de numeración es el decimal
jeroglífico. Las reglas de las operaciones son
las habituales, aunque destaca como singularidad,
que en la división de fracciones se exige la
previa reducción de éstas a común denominador.
Dieron por sentado la existencia de números
negativos, aunque nunca los aceptaron como
solución a una ecuación. La contribución
algebraica más importante es, sin duda, el
perfeccionamiento alcanzado en la regla de
resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
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Para todos los sistemas se establece un método
genérico de resolución muy similar al que hoy
conocemos como método de Gauss, expresando
incluso los coeficientes en forma matricial,
transformándolos en ceros de manera escalonada.
Inventaron el "tablero de cálculo", consistente
en una colección de palillos de bambú de dos
colores (un color para expresar los números
positivos y otro para los negativos) y que podría
ser considerado como una especie de ábaco
primitivo.
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Esta orientación algorítmica de las matemáticas
en la China Antigua, se mantiene hasta mediados
del siglo XIV debido fundamentalmente a las
condiciones socio-económicas de esta sociedad.
Con el desarrollo del "método del elemento
celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en
China en la edad media. Este método, desarrollado
por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no
sólo enteras, sino también racionales, e incluso
aproximaciones decimales para ecuaciones.
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El método del elemento celeste es equivalente al
que en Occidente denominamos "método de Horner",
matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro
gran logro de la época medieval fue la suma de
progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y
Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de
progresiones se establecieron elementos sólidos
en la rama de la combinatoria, construyendo el
llamado "espejo precioso" de manera similar al
que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o
Pascal.
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No se puede decir que la geometría fuese el punto
fuerte de la cultura china, limitándose
principalmente a la resolución de problemas sobre
distancias y semejanzas de cuerpos.
Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó
en China un largo periodo de estancamiento.