Met

1
Metóda Konecných Prvkovvo výrobných technológiach

• prednáška c. 6

2
Obsah prednášky

• MKP v dynamike telies
• Základné pojmy v lineárnej dynamickej analýze
• Rovnice dynamickej rovnováhy telesa
• Matica hmotnosti
• Matica tlmenia
• Typy dynamických analýz
• Modálna analýza
• Urcenie vlastných tvarov kmitania
• Urcenie vlastných frekvencií kmitania

3
MKP v dynamike

• Rozdiel medzi statickou a dynamickou analýzou
• zatažujúce sily sa v case menia (nestacionárna
  úloha)
• posunutia, rýchlosti, zrýchlenia, deformácie a
  napätia sú casovo závislé
• cas vystupuje ako dalšia premenná
• úlohu riešime v nejakom casovom intervale
• rovnica
• K a(t) f(t)
• vyjadruje podmienku rovnováhy telesa v danom
  casovom okamihu
• pre dynamické úlohy je potrebné túto rovnicu
  rozšírit o úcinok zotrvacných a vnútorných
  tlmiacich síl

4
MKP v dynamike
5
Základné pojmy

• Rovnice dynamickej rovnováhy
• podla dAlambertovho princípu zahrnieme zotrvacné
  sily do MKP formulácie ako objemové sily
• kde ü je lokálny vektor zrýchlenia všeobecného
  bodu prvku
• äe je lokálny vektor (zovšeobecnených)
  zrýchlení uzlových bodov
• prvku
• re je hustota materiálu prvku

6
Základné pojmy

• Matica hmotnosti
• V prvkoch konštrukcie pribudne zotrvacná sila
• kde Me je lokálna matica hmotnosti prvku
• Ak miesto äe použijeme globálny vektor
  zrýchlení uzlových bodov prvku äe dostaneme
  globálnu maticu hmotnosti prvku Me a globálny
  vektor zotrvacných síl fze prvku.

7
Základné pojmy
Súctom rozšírených globálnych vektorov
zotrvacných síl prvku dostaneme globálny vektor
zotrvacných síl konštrukcie fz kde M je
matica hmotnosti konštrukcie. Rovnice rovnováhy
konštrukcie potom budú mat tvar kde
8
Základné pojmy
Ak pri odvodení matice hmotnosti rozdelíme
celkovú hmotnost prvku do uzlov na základe
spriemerovania dostaneme tzv. maticu
sústredenej hmotnosti prvku (lumped matrix). Pre
urcitú cast hmotnosti prvku sa predpokladá
konštantné zrýchlenie rovné zrýchleniu uzla.
Získané matice sú diagonálne. Ak sa pri odvodení
uplatnujú interpolacné matice pre hodnoty
zrýchlení bodov prvku mimo uzlov prvku, t.j. na
aproximáciu zmeny zrýchlenia v objeme prvku sa
využíva tá istá matica interpolacných funkcií Ne
ako pre posunutia bodov, dostaneme tzv.
konzistentnú maticu hmotnosti (consistent matrix).
9
Základné pojmy
Matica tlmenia Podobným spôsobom môžeme do
formulácie dynamickej úlohy zahrnút tlmiace sily,
ktorá závisia od rýchlosti bodu
telesa. Dynamické rovnice rovnováhy konštrukcie
(telesa) budú mat potom tvar kde C je matica
tlmenia telesa å je vektor rýchlostí uzlov
konštrukcie ke je parameter urcujúci tlmiace
vlastnosti prvku
10
Základné pojmy
Tento parameter je obtiažne urcit a preto sa v
praxi globálna matica tlmenia C netvorí z matíc
tlmenia prvkov, ale vytvára sa pomocou matíc
hmotnosti M a tuhosti K konštrukcie. Casto
sa predpokladá tzv. proporcionálne (Rayleighovo)
tlmenie a potom ako aproximácia reálneho
tlmenia telesa, ktoré sa skladá z vonkajšieho
tlmenia (odpor prostredia), vnútorného
(materiálového) tlmenia a konštrukcného
tlmenia. Súcinitele a, b sa urcujú
experimentálne. Vo všeobecnosti tuhostné
tlmenie tlmí viac vyššie frekvencie a menej
nižšie, kým pri hmotnostnom tlmení je to opacne.
11
Typy dynamických analýz

• Modálna analýza
• Harmonická analýza
• Spektrálna analýza
• Prechodová analýza

12
Metódy riešenia

• metódy priamej integrácie pohybových rovníc
• explicitné metóda stredovej diferencie
• implicitné Houboltova metóda
• Wilsonova ?metóda
• Newmarkova metóda najcastejšie používaná
  (ANSYS)
• metóda superpozície vlastných tvarov

13
Modálna analýza

• Ciel modálnej analýzy
• urcenie vlastných frekvencií kmitania
• urcenie vlastných tvarov kmitania
• Využitie modálnej analýzy
• vyhnutie sa neželaným vibráciam v rezonancnej
  oblasti
• naladenie sústavy na vlastnú kruhovú frekvenciu
• ako základný prvok pre dalšie typy analýz

14
Modálna analýza
Matematická formulácia problému (tlmenie a
zataženie nie sú uvažované) ciže riešenie
predpokladáme v tvare kde w je vlastná kruhová
frekvencia ? je vektor vlastných tvarov
(módov) kmitania, ktorý obsahuje velkost
amplitúd zložiek kmitania uzlových bodov
telesa nezávislých od casu, ale len od
pociatocného impulzu, ktorý ich vyvolal
15
Modálna analýza
Matematická formulácia prejde na problém
vlastných císiel Pre neupevnené teleso je K
singulárna a riešením je aj w 0 (tuhý pohyb
telesa). To vedie na rovnicu K atuh.teleso 0
co sa casto využíva pri kontrole kvality
zvolených prvkov. Pri hladaní nenulových hodnôt
vlastných frekvencií sa úloha redukuje odobraním
riadkov a stlpcov zodpovedajúcich odstráneným
stupnom volnosti potom zovšeobecnený problém
vlastných císel má nenulové riešenia vtedy, ak
16
Modálna analýza
Rozpísaním determinantu dostaneme algebraickú
rovnicu n-tého stupna pre výpocet w2. Korene
tejto rovnice predstavujú vo všeobecnosti n
vlastných císiel, v tomto prípade n druhých
mocnín vlastných kruhových frekvencií telesa w12,
w22, ..., wn2 Frekvencii wi potom zodpovedá
vektor ?i - vlastný tvar kmitania telesa pri
tejto frekvencií.
17
Modálna analýza
Z rovnice vyplýva Ak Fi je riešením tak aj
c?i je riešením, t.j. amplitúdy volného kmitania
môžu mat (teoreticky) lubovolnú hodnotu v
závislosti od zaciatocného impulzu, ktorý pohyb
vyvolal. Preto pri výpocte amplitúd ?i sústavy
pre známu frekvenciu wi amplitúdy normujeme,
napr. tak že fin 1 Dostaneme tak správny
relatívny pomer amplitúd uzlov telesa. Absolútne
hodnoty amplitúd uzlov sú závislé od spôsobu
normovania.
18
Modálna analýza

• Na riešenie problému sa používajú v programe
  ANSYS nasledovné algoritmy
• - Block Lanczos (default)
• Subspace
• Power Dynamics
• Reduced
• Unsymmetric
• Damped (full)
• QR Damped

19
Modálna analýza
Pri riešení pomocou metódy superpozície vlastných
tvarov je potrebné normovat každý vlastný tvar
tak, aby alebo Špeciálnou vlastnostou
vlastných tvarov, ktorá sa pri tejto metóde
využíva je ich ortogonálnost vzhladom na M a K
20
Príklad - jednorozmerná netlmená dvojhmotová
sústava Vypocítajte vlastné tvary a frekvencie
kmitania k 128 Nm-1 m 1 kg
21
Matica tuhosti a hmotnosti sústavy
Dosadením do
22
Po redukcií sústavy rovníc (pre u1
0) Dostaneme redukovanú sústavu
rovníc Po roznásobení dostaneme kvadratickú
rovnicu
23
Výsledkom riešenia sú 2 vlastné
frekvencie t.j. Vlastný tvar kmitania
(vektor ?i ) pre i-tu vlastnú frekvenciu urcíme z

24
Ak zvolíme normovanie f3i 1 dostaneme 2
vlastné tvary (vektory) pre obe vlastné
frekvencie kmitania. Normovanie vzhladom na
M Modálna matica konštrukcie ? má potom
tvar