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Quadrati Magici

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Quadrati Magici Tesina di Cristina Colautti 4aB - Tur A.S. 2005-/06 I quadrati magici Introduzione all argomento Che cos un quadrato magico Caratteristiche ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Quadrati Magici


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Quadrati Magici
  • Tesina di
  • Cristina Colautti
  • 4aB - Tur A.S. 2005-/06

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I quadrati magici
  • Introduzione allargomento
  • Che cosè un quadrato magico
  • Caratteristiche basilari
  • Tipi di quadrati
  • Magici e semimagici
  • Panmagici
  • Bimagici e trimagici
  • Quadrato latino
  • Personaggi citati in questa parte
  • Storia
  • Origini
  • Il caso Melancolia di Dhürer
  • Sagrada Familia
  • I personaggi citati nella parte
  • Conclusioni
  • È solo matematica?
  • Chiusura

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Cosè un quadrato magico
  • Un quadrato magico è un quadrato suddiviso in un
    certo numero di caselle e nel quale un numero
    componente la serie aritmetica corrispondente al
    numero delle caselle viene scritto una sola volta
    e in modo tale che la somma di ciascuna riga, di
    ciascuna colonna o di ciascuna diagonale sia
    sempre la stessa.
  • Il risultato del quadrato magico è chiamato
    chiave del quadrato.
  • I numeri utilizzati per formare un quadrato
    magico sono quelli naturali 1,2,3,4,5

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Caratteristiche basilari
  • I quadrati magici costruiti con i numeri hanno le
    seguenti caratteristiche
  • Sono formati da un minimo di tre caselle per
    lato (non esistono quadrati magici con due
    caselle per lato e quelli costituiti da una sola
    casella non sono, ovviamente, interessanti)
  • I numeri che vengono utilizzati per riempire le
    caselle devono essere in una sequenza (si
    utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da 1 a
    16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non
    possono essere ripetuti
  • I numeri della sequenza devono essere disposti
    nelle caselle in modo che la somma di ciascuna
    riga, la somma di ciascuna colonna e la somma di
    ciascuna diagonale diano come totale un valore
    sempre identico.

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  • Il numero di righe e di colonne si chiama ordine
    del quadrato (per esempio un quadrato formato da
    3 righe e 3 colonne è un quadrato magico di
    ordine 3 oppure un quadrato formato da 4 righe e
    4 colonne è un quadrato magico di ordine 4 e così
    via..)
  • La costante magica, o semplicemente costante, è
    invece il totale della somma a fine colonna o a
    fine riga o a fine diagonale.
  • La costante del quadrato magico vale
  • k ((n21)/2)n
  • dove n sta per il numero delle caselle per lato.

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  • Quadrato di ordine 3, 4 e dispari
  • In un quadrato di ordine 3, ad esempio, la
    costante è pari a 1/2(273)15
  • In un quadrato di ordine 4, ad esempio, la
    costante è pari a ((161)/2)434.
  • Nei quadrati magici di ordine dispari (3, 5, 7 e
    così via) la costante è sempre uguale alla metà
    della somma tra il valore dell'ordine elevato al
    cubo e il valore dello stesso ordine.
  • In pratica k1/2(n3n)

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Tipi di quadrati
  • Esistono molti tipi di quadrati magici i più
    noti sono quelli realizzati con i numeri, ma se
    ne possono inventare anche con le lettere
    dell'alfabeto un esempio è il quadrato pompeiano
    (o latercolo latino).

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  • Magici e semimagici
  • Questo è un esempio di un quadrato
    magico di ordine 3 e la sua costante
    magica è 15.
  • Un quadrato è detto semi-magico se sono uguali
    soltanto i totali delle righe e delle colonne.
  • I quadrati magici 3 per 3 e 4 per 4 non sono
    ovviamente i soli possibili anzi, modificandoli
    appropriatamente ed aggiungendo loro dei bordi si
    possono ottenere quadrati 5 per 5 e 6 per 6, da
    cui si possono poi ottenere quadrati 7 per 7 e 8
    per 8, e cosi via. In altre parole, quadrati
    magici n per n esistono per ogni n maggiore di 2.

2 7 6
9 5 1
4 3 8
9
  • Panmagici
  • Oltre alle diagonali principali, che nel caso
    dell'esempio sono le terne (2, 5, 8) e (6, 5, 4),
    si possono considerare anche le diagonali
    spezzate, vale a dire (7, 1, 4) (6, 9, 3) (2,
    1, 3) e (7, 9, 8). Così, un quadrato magico si
    dice panmagico o pandiagonale se anche la somma
    di ogni diagonale spezzata è uguale alla costante
    del quadrato magico.
  • Il quadrato magico di ordine 3
    mostrato nella diapositiva prima
    non è panmagico,
    mentre quello a fianco
    di ordine 4, è panmagico di costante 34.


1 8 10 15
12 13 3 6
7 2 16 9
14 11 5 4
10
  • Bimagico e trimagico
  • Un quadrato magico si dice bimagico, o
    doppiamente magico, se rimane magico anche dopo
    aver sostituito i suoi elementi con i rispettivi
    quadrati analogamente si dice trimagico se
    rimane magico dopo averne sostituito gli elementi
    con i rispettivi cubi.


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  • Tipo latino
  • Il quadrato latino, un "parente" lontano del
    quadrato magico, è un quadrato che ha per
    elementi gli interi 1, 2, ..., n (o qualunque
    altro gruppo di n numeri distinti), ciascuno dei
    quali ripetuto n volte, disposti in modo che gli
    interi di ogni fila e di ogni colonna siano tutti
    distinti. Così sono esempi di quadrati latini.
  • Se si sovrappone il secondo sul primo, mantenendo
    lo stesso ordine di ciascuno, si ottiene il
    quadrato di coppie in cui nessuna coppia si
    ripete.
  • Un quadrato di coppie senza ripetizioni, come
    quello in figura, si chiama quadrato di Eulero,
    dal nome del matematico svizzero Leonhard Euler,
    o quadrato greco-latino.





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  • Personaggi citati in questa parte

Leonhard Euler Nonostante i problemi
alla vista che lo afflissero fin dalla giovane
età, Eulero fu un grande matematico, il cui
contributo andò sia alla disciplina pura che a
quellla applicata. Oltre che di algebra,
trigonometria e calcolo infinitesimale, si occupò
infatti anche di acustica, meccanica, astronomia
e ottica.
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Storia
  • Origini
  • Sembra che i primi a scoprire le proprietà dei
    quadrati magici siano stati i cinesi ai tempi
    della dinastia Shang, nel duemila a. C. Una
    curiosa leggenda narra che un pescatore trovò
    lungo le rive del fiume Lo, un affluente del
    fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi
    sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il
    pescatore portò la tartaruga allimperatore e i
    matematici al suo servizio studiando quei segni,
    scoprirono una imprevedibile struttura un
    quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni
    riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne
    battezzato questo quadrato numerico, diventò uno
    dei simboli sacri della Cina, rappresentazione
    dei più arcani misteri della Matematica e
    dellUniverso.

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  • I cinesi attribuirono alle sue proprietà
    matematiche un significato mistico, tanto da
    farne il simbolo che in sè riuniva i princìpi che
    formarono le cose, gli uomini e l'universo.Così i
    numeri pari vennero a simbolizzare il principio
    femminile dello yin, mentre i dispari quello
    maschile dello yang. Al centro vi è il numero 5
    che appartiene alle due diagonali, alla colonna e
    alla riga centrali esso rappresenta la Terra.
    Tutto attorno sono distribuiti i quattro elementi
    principali i metalli simbolizzati dal 4 e dal 9,
    il fuoco indicato dal 2 e dal 7, l'acqua dall'1 e
    dal 6 e il legno dal 3 e l8.

I quadrati magici probabilmente giunsero in
Occidente attraverso gli Arabi.
15
  • Dal Rinascimento in poi cè sempre stato
    interesse per queste figure che, intagliate nel
    legno o in altri materiali, servivano come
    amuleti e sono tuttora in uso in alcune regioni
    dellOriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che
    questi quadrati magici incisi su una piccola
    lastra dargento potessero servire come amuleti
    contro la peste.Anche il matematico Cornelio
    Agrippa (1486-1535) si interessò alla costruzione
    dei quadrati magici ne costruì di ordine
    3,4,5,6,7,8,9. Lalone di mistero e di magia che
    circonda queste figure geometriche è in parte
    comprensibile se si analizzano le loro
    sorprendenti possibilità combinatorie.

Agrippa di Nettesheim, Heinrich Cornelius
(Nettesheim, Colonia 1486 - Grenoble 1535),
filosofo tedesco. Si dedicò a studi medici,
astrologici e alchimistici, coltivando la
conoscenza dell'ebraico al fine di approfondire
la dottrina della cabala. I suoi interessi, quali
traspaiono specialmente dall'opera De occulta
philosophia (1533), ne fanno un tipico esponente
dell'ermetismo e della cultura magica e
occultistica dell'età rinascimentale ma il suo
pensiero si avvicinò anche ai temi dello
scetticismo, che egli introdusse nella cultura
rinascimentale con l'opera De incertitudine et
vanitate omnium scientiarum (Dell'incertezza e
vanità di tutte le scienze, 1530).
16
  • Il caso Melancolia di Dhürer
  • Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente
    quello che compare nellincisione di Dürer,
    Melancolia la data dell'opera è il 1514, ed è
    riportata nelle due caselle centrali dell'ultima
    riga. Questo quadrato veniva spesso inciso su un
    piatto d'argento, e regolarmente usato come
    talismano contro la peste.

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
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  • Personaggi citati in questa parte

Albrecht Dürer Dürer Autoritratto Un
celebre Autoritratto (1498, Museo del Prado,
Madrid) di Albrecht Dürer in eleganti abiti
rinascimentali. Il dipinto fu realizzato dal
pittore ventiseienne e sarà seguito da altri
famosi autoritratti, con i quali Dürer pare
indagare e mettere in questione spesso con
accenti drammatici la sua persona, il suo ruolo
sociale, il suo valore artistico.
18
  • Il caso Sagrada Familia di Antoni Gaudi
  • Si può trovare un altro esempio di quadrato
    magico anche nella cattedrale La Sagrada
    Famiglia dellarchitetto Antoni Gaudì a
    Barcellona precisamente sulla Facciata della
    Passione (opera dello scultore Joseph Maria
    Subirachs) dietro la statua di Giuda che bacia
    Gesù, oltre ad un serpente che rappresenta il
    diavolo, c'era infatti la seguente tabella di 16
    numeri.
  • E' interessante notare che la somma dei numeri di
    ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna
    diagonale è sempre la stessa, cioè 33 che si
    riferisce alletà che aveva Cristo quando morì
    ci sono infatti 88 modi in cui quattro numeri
    della tabella danno come somma 33.

1 14 14 9
11 7 6 5
8 10 10 4
13 2 3 15
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Sagrada Familia, Barcellona L'incompiuta chiesa
neogotica della Sagrada Familia è il fantasioso
capolavoro dell'architetto catalano Antoni Gaudí,
che l'iniziò nel 1883 e nel 1891 ne concluse le
tracce generali. Nel 1908 egli pubblicò la prima
immagine definitiva del tempio, che non riuscì a
portare a termine Gaudí perse la vita in un
incidente nel 1926. Nel 1979 i lavori nella
chiesa ripresero sulla base del progetto
originale, nonostante i pareri discordi intorno
al destino dell'opera, che molti ritenevano
dovesse restare nella sua forma incompleta come
monumento all'estrosità e all'audacia creativa
del suo autore. Robert Frerck/Woodfin Camp and
Associates, Inc.
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  • Personaggi citati in questa parte
  • Gaudí i Cornet, Antoni (Reus, Catalogna 1852 -
    Barcellona 1926)
  • Nel 1883 l'architetto intraprese il progetto
    della chiesa della Sagrada Familia la quale,
    sebbene rimasta incompiuta e tuttora in fase di
    lenta realizzazione, è ritenuta il suo
    capolavoro. Per struttura e per effetti cromatici
    l'edificio non ha eguali nell'architettura
    europea le forme fantasiose e le alte guglie
    ricoperte di mosaici sono divenute una sorta di
    simbolo di Barcellona. Fra gli altri lavori di
    Gaudí famosi sono la Casa Batlló (1905-1907) e la
    Casa Milá (1905-1910). Queste grandi strutture,
    in pietra e ferro, riducono al minimo le linee
    rette e le superfici piatte tramite l'uso di
    aperture arrotondate a distanza irregolare il
    tetto e i balconi hanno un andamento che richiama
    le onde marine.

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Conclusioni
  • È solo matematica ?
  • Da molto tempo luomo cerca di conoscere il mondo
    in torno a se conosciuto o sconosciuto , fisico
    od astratto. La matematica si sa è una scienza
    esatta, pertanto con essa ed in essa si cercano
    risultati certi, provati, sicuri. Luomo riversa
    speranze e valuta le soluzioni di ogni tipo certo
    che Dio, nel creare ogni cosa, non gioca a dadi
    come esclamò Albert Ainstein.
  • La storia dei quadrati magici di mostra però che
    l uomo ha voluto usare i numeri per andare oltre
    iniziando così a cercare nei numeri e nelle loro
    combinazioni ciò che non è scritto come dimostra
    la scienza divinatoria della numerologia oppure
    per sfuggire a ciò che non conosce.
  • Luomo si distrae dalle sue ansie che ogni tanto
    la vita gli riserva con i numeri giocando con
    essi ai vari giochi come ai quadrati del sudoku e
    dai giochi in cui può sfidare la fortuna o il
    caso che sono coloro che a volte scandiscono la
    sua stessa vita.
  • I quadrati magici sono un divertimento del
    passato? Come si è visto nella legenda cinese, i
    quadrati magici nascondono qualcosa? I quadrati
    magici hanno valore pratico nella vita
    scientifica e di tutti i giorni? La risposta a
    queste domande dipende da chi si accosta a questi
    giochi numerici, ma una cosa è certa davanti ad
    un quadrato magico ogni persona esprimerà ciò che
    è interiormente come un bravo artista dipingerà
    ciò che più gli sta a cuore sul suo quadrato di
    tela. Forse, la magia dei quadrati è questa.
    Forse non è solo matematica.

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  • Lavoro svolto da
  • Cristina Colautti
  • Fonti del materiale
  • Provider Google
  • Microsoft Student 2006
  • Enciclopedia Encarta Compatta
  • 4aB Tur
  • A.S. 2005-/06
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