Title: Quadrati Magici
1Quadrati Magici
- Tesina di
- Cristina Colautti
- 4aB - Tur A.S. 2005-/06
2I quadrati magici
- Introduzione allargomento
- Che cosè un quadrato magico
- Caratteristiche basilari
- Tipi di quadrati
- Magici e semimagici
- Panmagici
- Bimagici e trimagici
- Quadrato latino
- Personaggi citati in questa parte
- Storia
- Origini
- Il caso Melancolia di Dhürer
- Sagrada Familia
- I personaggi citati nella parte
- Conclusioni
- È solo matematica?
- Chiusura
3Cosè un quadrato magico
- Un quadrato magico è un quadrato suddiviso in un
certo numero di caselle e nel quale un numero
componente la serie aritmetica corrispondente al
numero delle caselle viene scritto una sola volta
e in modo tale che la somma di ciascuna riga, di
ciascuna colonna o di ciascuna diagonale sia
sempre la stessa. - Il risultato del quadrato magico è chiamato
chiave del quadrato. - I numeri utilizzati per formare un quadrato
magico sono quelli naturali 1,2,3,4,5
4Caratteristiche basilari
- I quadrati magici costruiti con i numeri hanno le
seguenti caratteristiche - Sono formati da un minimo di tre caselle per
lato (non esistono quadrati magici con due
caselle per lato e quelli costituiti da una sola
casella non sono, ovviamente, interessanti) - I numeri che vengono utilizzati per riempire le
caselle devono essere in una sequenza (si
utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da 1 a
16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non
possono essere ripetuti - I numeri della sequenza devono essere disposti
nelle caselle in modo che la somma di ciascuna
riga, la somma di ciascuna colonna e la somma di
ciascuna diagonale diano come totale un valore
sempre identico.
5- Il numero di righe e di colonne si chiama ordine
del quadrato (per esempio un quadrato formato da
3 righe e 3 colonne è un quadrato magico di
ordine 3 oppure un quadrato formato da 4 righe e
4 colonne è un quadrato magico di ordine 4 e così
via..) - La costante magica, o semplicemente costante, è
invece il totale della somma a fine colonna o a
fine riga o a fine diagonale. - La costante del quadrato magico vale
- k ((n21)/2)n
- dove n sta per il numero delle caselle per lato.
6- Quadrato di ordine 3, 4 e dispari
- In un quadrato di ordine 3, ad esempio, la
costante è pari a 1/2(273)15 - In un quadrato di ordine 4, ad esempio, la
costante è pari a ((161)/2)434. - Nei quadrati magici di ordine dispari (3, 5, 7 e
così via) la costante è sempre uguale alla metà
della somma tra il valore dell'ordine elevato al
cubo e il valore dello stesso ordine. - In pratica k1/2(n3n)
7Tipi di quadrati
- Esistono molti tipi di quadrati magici i più
noti sono quelli realizzati con i numeri, ma se
ne possono inventare anche con le lettere
dell'alfabeto un esempio è il quadrato pompeiano
(o latercolo latino).
8- Magici e semimagici
- Questo è un esempio di un quadrato
magico di ordine 3 e la sua costante
magica è 15. - Un quadrato è detto semi-magico se sono uguali
soltanto i totali delle righe e delle colonne. - I quadrati magici 3 per 3 e 4 per 4 non sono
ovviamente i soli possibili anzi, modificandoli
appropriatamente ed aggiungendo loro dei bordi si
possono ottenere quadrati 5 per 5 e 6 per 6, da
cui si possono poi ottenere quadrati 7 per 7 e 8
per 8, e cosi via. In altre parole, quadrati
magici n per n esistono per ogni n maggiore di 2.
2 7 6
9 5 1
4 3 8
9- Panmagici
- Oltre alle diagonali principali, che nel caso
dell'esempio sono le terne (2, 5, 8) e (6, 5, 4),
si possono considerare anche le diagonali
spezzate, vale a dire (7, 1, 4) (6, 9, 3) (2,
1, 3) e (7, 9, 8). Così, un quadrato magico si
dice panmagico o pandiagonale se anche la somma
di ogni diagonale spezzata è uguale alla costante
del quadrato magico. - Il quadrato magico di ordine 3
mostrato nella diapositiva prima
non è panmagico,
mentre quello a fianco
di ordine 4, è panmagico di costante 34.
1 8 10 15
12 13 3 6
7 2 16 9
14 11 5 4
10- Bimagico e trimagico
- Un quadrato magico si dice bimagico, o
doppiamente magico, se rimane magico anche dopo
aver sostituito i suoi elementi con i rispettivi
quadrati analogamente si dice trimagico se
rimane magico dopo averne sostituito gli elementi
con i rispettivi cubi.
11- Tipo latino
- Il quadrato latino, un "parente" lontano del
quadrato magico, è un quadrato che ha per
elementi gli interi 1, 2, ..., n (o qualunque
altro gruppo di n numeri distinti), ciascuno dei
quali ripetuto n volte, disposti in modo che gli
interi di ogni fila e di ogni colonna siano tutti
distinti. Così sono esempi di quadrati latini. - Se si sovrappone il secondo sul primo, mantenendo
lo stesso ordine di ciascuno, si ottiene il
quadrato di coppie in cui nessuna coppia si
ripete. - Un quadrato di coppie senza ripetizioni, come
quello in figura, si chiama quadrato di Eulero,
dal nome del matematico svizzero Leonhard Euler,
o quadrato greco-latino.
12- Personaggi citati in questa parte
Leonhard Euler Nonostante i problemi
alla vista che lo afflissero fin dalla giovane
età, Eulero fu un grande matematico, il cui
contributo andò sia alla disciplina pura che a
quellla applicata. Oltre che di algebra,
trigonometria e calcolo infinitesimale, si occupò
infatti anche di acustica, meccanica, astronomia
e ottica.
13Storia
- Origini
- Sembra che i primi a scoprire le proprietà dei
quadrati magici siano stati i cinesi ai tempi
della dinastia Shang, nel duemila a. C. Una
curiosa leggenda narra che un pescatore trovò
lungo le rive del fiume Lo, un affluente del
fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi
sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il
pescatore portò la tartaruga allimperatore e i
matematici al suo servizio studiando quei segni,
scoprirono una imprevedibile struttura un
quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni
riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne
battezzato questo quadrato numerico, diventò uno
dei simboli sacri della Cina, rappresentazione
dei più arcani misteri della Matematica e
dellUniverso.
14- I cinesi attribuirono alle sue proprietà
matematiche un significato mistico, tanto da
farne il simbolo che in sè riuniva i princìpi che
formarono le cose, gli uomini e l'universo.Così i
numeri pari vennero a simbolizzare il principio
femminile dello yin, mentre i dispari quello
maschile dello yang. Al centro vi è il numero 5
che appartiene alle due diagonali, alla colonna e
alla riga centrali esso rappresenta la Terra.
Tutto attorno sono distribuiti i quattro elementi
principali i metalli simbolizzati dal 4 e dal 9,
il fuoco indicato dal 2 e dal 7, l'acqua dall'1 e
dal 6 e il legno dal 3 e l8.
I quadrati magici probabilmente giunsero in
Occidente attraverso gli Arabi.
15- Dal Rinascimento in poi cè sempre stato
interesse per queste figure che, intagliate nel
legno o in altri materiali, servivano come
amuleti e sono tuttora in uso in alcune regioni
dellOriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che
questi quadrati magici incisi su una piccola
lastra dargento potessero servire come amuleti
contro la peste.Anche il matematico Cornelio
Agrippa (1486-1535) si interessò alla costruzione
dei quadrati magici ne costruì di ordine
3,4,5,6,7,8,9. Lalone di mistero e di magia che
circonda queste figure geometriche è in parte
comprensibile se si analizzano le loro
sorprendenti possibilità combinatorie.
Agrippa di Nettesheim, Heinrich Cornelius
(Nettesheim, Colonia 1486 - Grenoble 1535),
filosofo tedesco. Si dedicò a studi medici,
astrologici e alchimistici, coltivando la
conoscenza dell'ebraico al fine di approfondire
la dottrina della cabala. I suoi interessi, quali
traspaiono specialmente dall'opera De occulta
philosophia (1533), ne fanno un tipico esponente
dell'ermetismo e della cultura magica e
occultistica dell'età rinascimentale ma il suo
pensiero si avvicinò anche ai temi dello
scetticismo, che egli introdusse nella cultura
rinascimentale con l'opera De incertitudine et
vanitate omnium scientiarum (Dell'incertezza e
vanità di tutte le scienze, 1530).
16- Il caso Melancolia di Dhürer
- Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente
quello che compare nellincisione di Dürer,
Melancolia la data dell'opera è il 1514, ed è
riportata nelle due caselle centrali dell'ultima
riga. Questo quadrato veniva spesso inciso su un
piatto d'argento, e regolarmente usato come
talismano contro la peste.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
17- Personaggi citati in questa parte
Albrecht Dürer Dürer Autoritratto Un
celebre Autoritratto (1498, Museo del Prado,
Madrid) di Albrecht Dürer in eleganti abiti
rinascimentali. Il dipinto fu realizzato dal
pittore ventiseienne e sarà seguito da altri
famosi autoritratti, con i quali Dürer pare
indagare e mettere in questione spesso con
accenti drammatici la sua persona, il suo ruolo
sociale, il suo valore artistico.
18- Il caso Sagrada Familia di Antoni Gaudi
- Si può trovare un altro esempio di quadrato
magico anche nella cattedrale La Sagrada
Famiglia dellarchitetto Antoni Gaudì a
Barcellona precisamente sulla Facciata della
Passione (opera dello scultore Joseph Maria
Subirachs) dietro la statua di Giuda che bacia
Gesù, oltre ad un serpente che rappresenta il
diavolo, c'era infatti la seguente tabella di 16
numeri. - E' interessante notare che la somma dei numeri di
ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna
diagonale è sempre la stessa, cioè 33 che si
riferisce alletà che aveva Cristo quando morì
ci sono infatti 88 modi in cui quattro numeri
della tabella danno come somma 33.
1 14 14 9
11 7 6 5
8 10 10 4
13 2 3 15
19Sagrada Familia, Barcellona L'incompiuta chiesa
neogotica della Sagrada Familia è il fantasioso
capolavoro dell'architetto catalano Antoni Gaudí,
che l'iniziò nel 1883 e nel 1891 ne concluse le
tracce generali. Nel 1908 egli pubblicò la prima
immagine definitiva del tempio, che non riuscì a
portare a termine Gaudí perse la vita in un
incidente nel 1926. Nel 1979 i lavori nella
chiesa ripresero sulla base del progetto
originale, nonostante i pareri discordi intorno
al destino dell'opera, che molti ritenevano
dovesse restare nella sua forma incompleta come
monumento all'estrosità e all'audacia creativa
del suo autore. Robert Frerck/Woodfin Camp and
Associates, Inc.
20- Personaggi citati in questa parte
- Gaudí i Cornet, Antoni (Reus, Catalogna 1852 -
Barcellona 1926) - Nel 1883 l'architetto intraprese il progetto
della chiesa della Sagrada Familia la quale,
sebbene rimasta incompiuta e tuttora in fase di
lenta realizzazione, è ritenuta il suo
capolavoro. Per struttura e per effetti cromatici
l'edificio non ha eguali nell'architettura
europea le forme fantasiose e le alte guglie
ricoperte di mosaici sono divenute una sorta di
simbolo di Barcellona. Fra gli altri lavori di
Gaudí famosi sono la Casa Batlló (1905-1907) e la
Casa Milá (1905-1910). Queste grandi strutture,
in pietra e ferro, riducono al minimo le linee
rette e le superfici piatte tramite l'uso di
aperture arrotondate a distanza irregolare il
tetto e i balconi hanno un andamento che richiama
le onde marine.
21Conclusioni
- È solo matematica ?
- Da molto tempo luomo cerca di conoscere il mondo
in torno a se conosciuto o sconosciuto , fisico
od astratto. La matematica si sa è una scienza
esatta, pertanto con essa ed in essa si cercano
risultati certi, provati, sicuri. Luomo riversa
speranze e valuta le soluzioni di ogni tipo certo
che Dio, nel creare ogni cosa, non gioca a dadi
come esclamò Albert Ainstein. - La storia dei quadrati magici di mostra però che
l uomo ha voluto usare i numeri per andare oltre
iniziando così a cercare nei numeri e nelle loro
combinazioni ciò che non è scritto come dimostra
la scienza divinatoria della numerologia oppure
per sfuggire a ciò che non conosce. - Luomo si distrae dalle sue ansie che ogni tanto
la vita gli riserva con i numeri giocando con
essi ai vari giochi come ai quadrati del sudoku e
dai giochi in cui può sfidare la fortuna o il
caso che sono coloro che a volte scandiscono la
sua stessa vita. - I quadrati magici sono un divertimento del
passato? Come si è visto nella legenda cinese, i
quadrati magici nascondono qualcosa? I quadrati
magici hanno valore pratico nella vita
scientifica e di tutti i giorni? La risposta a
queste domande dipende da chi si accosta a questi
giochi numerici, ma una cosa è certa davanti ad
un quadrato magico ogni persona esprimerà ciò che
è interiormente come un bravo artista dipingerà
ciò che più gli sta a cuore sul suo quadrato di
tela. Forse, la magia dei quadrati è questa.
Forse non è solo matematica.
22- Lavoro svolto da
- Cristina Colautti
- Fonti del materiale
- Provider Google
- Microsoft Student 2006
- Enciclopedia Encarta Compatta
- 4aB Tur
- A.S. 2005-/06