Vetores III

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Vetores III
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Produto Escalar

• Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido
  um ponto O qualquer, temos AOu e BOv
• Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AÔB
  determinado pelas semi-retas OA e OB

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(No Transcript)
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• Indicamos AÔB(u,v), onde 0lt(u,v)ltp
• Observe que se (u,v) 0, os vetores u e v têm
  mesmo sentido e se (u,v) p , estes vetores têm
  sentidos contrários

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Produto Escalar

• Sejam u e v vetores não nulos.
• O produto escalar de u por v, indicado por u . v,
  é o número real u . v u v cos(u,v)
• Se um dos vetores for nulo temos u . v 0

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Exemplo

• Considere um quadrado ABCD de lado 2u
• 1) AB . BC AB BC cos 90º 0
• 2) AB . AC AB AC cos 45º 4
• 3) AB . CD AB CD cos180º -4.

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Produto Escalar

• Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer.
• O vetor v se exprime de maneira única na forma
  vv1v2, onde v1 é paralelo a u e v2 é ortogonal
  a u

v
u
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Produto Escalar

• Chamamos o vetor v1, de projeção de v na direção
  de u e indicamos por projuvv1

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Interpretação Geométrica

• Se v é um vetor qualquer e u um vetor unitário,
  então v1proju v (v . u) u
• Como v1 // u, temos v1t u
• Basta mostrar que v . u t

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Interpretação Geométrica

• O ângulo ?(u, v) é agudo
• Temos t gt 0, e daí v1 t u t

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Interpretação Geométrica

• Por outro lado, o triângulo ABC é retângulo em A
• tv1v cos? v u cos ? v . u

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• O ângulo ?(u, v) é obtuso
• temos t lt 0, e daí v1 t u - t
• Além disso, o ângulo (u, v) p-?

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• Considere o triângulo retângulo EFG
• t -v1-vcos?-vucos?vucos(p-?) v
  . u

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Medida Algébrica

• Se 0? u , temos proju v projuº v(v.uº)uº
• Chamamos v.uº, a medida algébrica da projeção de
  v na direção de u e indicamos med alg proju v

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Exemplo

• Dados u?0, v6 e (u,v) 60º, temos
• med alg proju vv.uº v uº cos 60º
  6x1x1/23
• Daí, proju v3uº

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Exemplo

• Dados a ? 0 , b 8 e ( a , b) 120º
• med alg proja b b . aº b aº cos120º
  8x 1x -1/2 -4
• Daí, proja b -4aº

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Propriedades

• 1) v . u u . v
• 2) u . v 0 ? u é ortogonal a v
• 3) u . u u2
• 4) t (v . u) (t v ). u v .(t u)

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Propriedades

• 5) u .( v w ) u.v u.w
• Nas propriedades, u, v e w são vetores quaisquer
  e t é um número real
• As quatro primeiras propriedades decorrem
  diretamente da definição do produto escalar

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Propriedade 5 (prova)

• Se um dos vetores for nulo, a verificação é
  imediata.
• Considere, na figura, os vetores u , v e w não
  nulos e os pontos O, A, B e C

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• A O v , B A w e C O u
• observe que med alg proju (v w) med alg
  proju v med alg proju w
• ( v w ). u v . u w . u
• ( v w ).( u u ) v .( u u ) w.( u
  u)
• Então, ( v w ) . u v . u w . u
• Pela propriedade 1, temos u . ( v w ) u . v
  u . w

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Expressão Cartesiana

• Dada uma base ortonormal i, j, k e os vetores
  u (x1, y1, z1) e v (x2 , y2 , z2 )
• u . v (x1i y1j z1k) . ( x2 i y2 j z2k)
• (x1x2)i.i(x1y2)i.j(x1z2)i.k(y1x2)j.i
  (y1y2)j.j (y1z2)j.k(z1x2)k.i(z1y2)k.j(z1z2)k.k

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• Como i , j, k é uma base ortonormal, seus
  vetores satisfazem às relações
• i . j j . k k . i 0 e i . i j . j k . k
  1
• u . v x1x2 y1y2 z1z2

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• u 2 u . u x12 y12 z12
• u
• u v ? u . v x1x2 y1y2 z1z2 0

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Exemplo

• Dados os vetores u (1,2,2) e v (2,0,2),
  temos
• u . v ?
• u ?
• uº ?

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Exemplo

• Dados os vetores u (1,2,2) e v (2,0,2),
  temos
• u . v 2 0 4 6
• u
• uº u/u 1/3(1,2,2)

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• cos(u, v) ?
• sendo w (0,2,-2), w u?
• med alg proju v ?
• proju v ?

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• cos(u, v) (u .v)/( u v )
• sendo w (0,2,-2), u w pois u .w 0
• med alg proju v v . uº 2
• proju v (v . uº)uº ((2,0,2).(1/3,2/3,2/3))
  (1/3,2/3,2/3) (2/3,4/3,4/3)