Slide sem t

1
FUNÇÕES
Projeto INFO
UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS -
UNISINOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E
TECNOLÓGICAS
2
Funções
Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um
dos botões. Para voltar clique em
Navegação
Cada ponto marcado no plano...
remete aos exercícios (Rapidinhas) ou respostas
de exercícios (Respostas das Rapidinhas)
remete à novas informações
R
RR
e

remete à história da Matemática
H
ouve uma narração ou som
remete a um bloco de notas no qual você poderá
imprimir ou salvar suas anotações
volta ao primeiro slide
volta ao slide anterior
vai para o slide seguinte
vai para o último slide
aumenta ou diminui volume do som
VOL
3
Funções
Sistema de coordenadas
Números reais são associados aos pontos de uma
reta de tal modo que a cada número corresponda um
ponto e a cada ponto corresponda um número real.
Tal associação estabelece uma correspondência
biunívoca entre o conjunto dos números reais (R)
e os pontos da reta.
VOL
4
Funções
Eixo orientado é a reta, orientada, na qual se
escolhe um ponto, arbitrário, como origem e a ele
se associa o número real 0 (zero).
0
À esquerda de 0 escrevemos os números negativos
e, à direita, os positivos
VOL
5
Funções
Um sistema de coordenadas é denominado cartesiano
ou retangular se associarmos duas retas
orientadas, uma perpendicular à
outra, interceptando-se na origem.
H
VOL
6
Funções
Eixos coordenados são as duas retas. Origem é o
ponto de intersecção entre elas.
VOL
7
Funções
Cada ponto marcado no plano tem um endereço
que indica sua posição em relação aos dois eixos.
VOL
8
Funções
O símbolo P(a b) denota o ponto P com abscissa
igual a a e ordenada igual a b.
VOL
9
Funções
Todo ponto sobre o eixo x tem y 0.
y
P(2 0)
x
2
Todo ponto sobre o eixo y tem x 0.
y
P(0 3)
3
x
VOL
10
Funções
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano
cartesiano a) A(-1 0) b) B( 4 0) c) C(0 0) d)
D(-8 -½) e) E(3 -¼)
RR
VOL
11
Funções
Responda, no papel, considerando o gráfico ao
lado a) quais as coordenadas do ponto B? b) qual
a abcissa do ponto E? c) qual a ordenada do ponto
E? d) quais os pontos cuja ordenada é nula?
RR
y
E
u
B
r
C
D
A
p
x
q
s
t
VOL
12
Funções
Função
O conceito de função é um dos mais úteis na
Matemática. No dia-a-dia estamos rodeados
por funções.
VOL
13
Funções

• o preço é função do produto em um Super-Mercado

VOL
14
Funções

• o preço é função do produto em um Super-Mercado

Preços
Produtos
É função porque o conjunto Produtos (todos os
produtos vendidos) e o conjunto Preços (todos os
preços dos produtos vendidos) de um
Super-Mercado
R43,00
R1,58
R18,50
R3,50
R97,50
R1,20
VOL
15
Funções
estão em uma relação muito especial, um com o
outro.
Preços
Produtos
Esta é uma representação, por meio de
diagramas, da função F Produtos ? Preços.
R43,00
R1,58
R18,50
R3,50
R97,50
R1,20
VOL
16
Funções
Assim, para que seja uma função

• não podem sobrar produtos no conjunto Produtos
  e

• todo elemento do conjunto Produtos deve se
  relacionar com um e apenas um preço do conjunto
  Preços.

H
VOL
17
Funções
Está na sua hora. É agora! Clique sobre o Bloco
de Notas e relacione, pelo menos, 5 exemplos de
função. Faça o diagrama para analisar melhor.
Imprima e discuta com um colega.
Tente! Faça! Discuta!
VOL
18
Funções
VOL
19
Funções
RR
A relação R de Alunos em Classes de uma sala de
aula representa uma função?
A relação S de todos os Professores e
todos os Alunos, na UNISINOS, representa uma
função?
RR
VOL
20
Funções
Clique no Bloco de Notas e escreva 5 relações
entre dois conjuntos. Identifique aquelas que
representam função, justificando através do
diagrama.
Discuta a solução com seu (ou sua) colega. Peça
ajuda ao professor. Tente!
VOL
21
Funções
H
Uma função F A ? B (lê-se função F de A com
imagens em B) é o conjunto dos pares ordenados
(x, y) de tal modo que para todo x pertencente ao
conjunto A existe um e apenas um y pertencente ao
conjunto B.
H
Essa relação entre os elementos dos dois
conjuntos pode ser expressa por uma (ou mais) lei
matemática do tipo y f(x).
VOL
22
Funções
A função representada pelo diagrama tem os
elementos de A relacionados aos elementos de B
pela lei
y x 1
VOL
23
Funções
É a expressão matemática y x 1 que nos dá
a relação entre os elementos de A e B.
se x 3, y 3 1 4 se x 1, y 1 1
2 se x -1, y -1 1 0.
(3 4), (1 2), e (-1 0) são pontos da
função F A ? B, y x 1.
VOL
24
Funções

• Chamamos de
• domínio da função aos elementos de A
• contradomínio da função aos elementos de B
• imagem da função aos valores de y dos pares
• 
  ordenados da função.

dom f A cdom f B im f 0 2 4
VOL
25
Funções
Em relação ao diagrama, abra o Bloco de Notas e
responda
a) qual o domínio? b) o contradomínio? c) a
imagem da função? d) o que diferencia imagem de
contradomínio? e)qual a lei matemática que
relaciona os elementos dos dois conjuntos?
A
B
2
3
-1
1
0
0
5
RR
VOL
26
Funções
Clique em cada figura.
VOL
27
Funções
Determine a lei matemática de F 0 1 4 ? Z,
cujos elementos são os pares ordenados (0 0)
(1 1) (4 2). Calcule domínio, contradomínio e
imagem da função. Faça o gráfico.
Verifique se a relação R1 -1 0 1 ? 0 1 2
3, dada pela lei y x 1, é função.
Justifique. Se afirmativo calcule domínio,
contradomínio e imagem da função.
RR
RR
A relação R2 N ? N, dada pela lei y x - 1 é
função? Justifique. O que é preciso alterar na
definição da função para que ela represente uma
função?
RR
VOL
28
Funções
Clique em cada figura.
VOL
29
Funções
A relação R3 N? R, dada pela lei y x2 é
função? Por que? Faça o gráfico.
RR
A relação R4 R ? R, dada pela lei y x é
função? Faça o gráfico.
RR
VOL
30
Funções
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
a
RR
d
c
b
RR
2
RR
c
b
a
RR
d
R
VOL
31
CRIAÇÃO E MONTAGEM PROFª NARA SARAIVA
32
Funções
O endereço do ponto é dado pelo par ordenado
(a b).
A idéia é semelhante ao endereço de uma
residência é ele que dá a posição do morador no
mapa da cidade.
VOL
33
Funções
Marcar um ponto significa colocar no plano
coordenado o ponto P de coordenadas a (abscissa)
e b (ordenada), representando-o por um
(ponto) na posição apropriada.
VOL
34
Funções
Respostas da Rapidinhas 1
Não esqueça de orientar o eixo y e colocar
seu nome
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano
cartesiano a) A(-1 3) b) B( 4 0) c) C(0 0) d)
D(-3 -½) e) E(3 -¼)
y
Não esqueça de orientar o eixo x e
colocar seu nome
A
3 2 1
B
C
E
x
D
1 2 3 4
-3 -2 -1
2 -3
VOL
35
Funções
Respostas da Rapidinhas 2
Responda, considerando o gráfico ao lado a)
quais as coordenadas do ponto B? (q r) b) qual a
abcissa do ponto E? x t c) qual a ordenada do
ponto E? y u d) quais os pontos cuja ordenada é
nula? A, C e D
y
E
u
B
r
C
D
A
p
x
q
s
t
VOL
36
Funções
Sobrar significa dizer que o elemento não
se relaciona com um elemento do outro
conjunto.
VOL
37
Funções
Respostas da Rapidinhas 3
Não é função porque tem um elemento do conjunto A
que se relaciona com mais do que um elemento do
conjunto B.
VOL
38
Funções
Respostas da Rapidinhas 3
É função porque cada elemento do conjunto A se
relaciona com um único elemento do conjunto B.
VOL
39
Funções
Respostas da Rapidinhas 3
É função porque cada elemento do conjunto A se
relaciona com um único elemento do conjunto B.
VOL
40
Funções
Respostas da Rapidinhas 3
Não é função porque tem um elemento do conjunto A
que não se relaciona com um elemento do conjunto
B.
VOL
41
Funções
Chamamos de função a uma F Produtos ? Preços
se todo produto do conjunto Produtos se
relaciona com um e apenas um elemento do
conjunto Preços.
VOL
42
Funções
Respostas da Rapidinhas 4
Sim porque cada aluno existente na sala de aula
se acomoda em uma e apenas uma classe
A relação R de Alunos em Classes de uma sala de
aula representa uma função?
Alunos
Classes
Observe que podem sobrar classes porém não podem
sobrar alunos sem classes!
VOL
43
Funções
Respostas da Rapidinhas 4
A relação S de todos os Professores e todos os
Alunos, na UNISINOS, representa uma função?
Não é função porque cada professor tem mais do
que um aluno.
Professores
Alunos
Observe que cada professor tem mais do que um
aluno em sua sala de aula!
VOL
44
Funções
O termo cartesiano é usado em homenagem ao
matemático e filósofo francês René
Descartes (1596 - 1650) que foi um dos primeiros
a utilizar tal sistema de coordenadas.
VOL
45
Funções
Alguns autores usam plotar o ponto (do inglês to
plot) ao invés de marcar o ponto.
VOL
46
Funções
A natureza e o conceito de função As primeiras
idéias sobre o conceito de função surgiram no
início do século XVII, quando o estudo da
natureza começou a se basear a observação dos
fenômenos e nas leis que procuravam explicá-lo.
VOL
47
Funções
Galileu Galilei (1564 - 1642) e Isaac Newton
(1642 - 1727) utilizaram em seus trabalhos
as noções de lei e dependência entre
fenômenos,que estão diretamente ligadas ao
conceito de função.
VOL
48
Funções
Jean Bernonilli (1667 - 1748), no século XVIII,
matemático suíço, usou o termo função
para indicar valores obtidos de operações entre
variáveis e constantes.
VOL
49
Funções
A definição que mais se aproximou da atualmente
aceita foi a de Peter Dirichlet (1805-1859),
matemático alemão, na primeira metade do século
XIX.
No século XVIII, o matemático Leonhard Euler
também fez uso do conceito de função.
VOL
50
Funções
A definição de função, dada pelo matemático
alemão Peter Dirichlet (1805 - 1859) e
apresentada na primeira metade do século XIX, se
diferencia da atual pelo fato de, na época, ainda
não ter sido desenvolvida a Teoria dos Conjuntos.
VOL
51
Funções
O conceito de função, modernamente, baseia-se na
idéia elementar de par ordenado e no
estabelecimento de relações entre conjuntos.
VOL
52
Funções
É a expressão matemática y x 1 que nos dá
a relação entre os elementos de A e B.
Substituindo na expressão y x 1 o valor de x
pelos elementos do conjunto A verificamos que o
valor de y obtido é um elemento do conjunto B.
se x 3, y 3 1 4 se x 1, y 1 1
2 se x -1, y -1 1 0.
(3 4), (1 2), e (-1 0) são pontos da
função F A ? B, y x 1.
VOL
53
Funções
Respostas da Rapidinhas 5
a) qual o domínio? Dom f A b) o contradomínio?
C-dom f B. c) a imagem da função? -1 0
2. d) o que diferencia imagem de contradomínio?
Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem
são os valores de y que se relacionam com os
valores de x. e)qual a lei matemática que
relaciona os elementos dos dois conjuntos?A lei é
y x - 1.
A
B
2
3
-1
1
0
0
5
VOL
54
Funções
Respostas da Rapidinhas 5
a) qual o domínio? Dom f A b) o contradomínio?
C-dom f B. c) a imagem da função? -1 0
2. d) o que diferencia imagem de contradomínio?
Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem
são os valores de y que se relacionam com os
valores de x. e)qual a lei matemática que
relaciona os elementos dos dois conjuntos?A lei é
y x - 1.
y
Gráfico da função
5
4
3
2
1
A
B
x
1 2 3
-1
2
3
-1
1
0
0
5
Elementos da função (0-1),(10),(32)
VOL
55
Funções
A função representada pelo diagrama tem os
elementos de A relacionados aos elementos de B
pela lei y x 1.
y x 1
Na lei y x 1 o x designa os elementos que
pertencem a A e o y os elementos que pertencem
a B.
VOL
56
Funções
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
RR
VOL
57
Funções
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
RR
VOL
58
Funções
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
RR
VOL
59
Funções
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
RR
VOL
60
Funções
Resposta da Rapidinhas 7
Sim, é função porque cada elemento do
conjunto A se corresponde com apenas um elemento
do conjunto B. dom f A cdom f B im f 0
1 2
Verifique se a relação R1 -1 0 1 ? 0 1 2
3, dada pela lei y x 1, é função.
Justifique. Se afirmativo calcule domínio,
contradomínio e imagem da função.
VOL
61
Funções
Resposta da Rapidinhas 7
Determine a lei matemática de F 0 1 4 ? Z,
cujos elementos são os pares ordenados (0 0)
(1 1) (4 2). Calcule domínio, contradomínio e
imagem da função. Faça o gráfico.
Lei dom f
(0 1 4 cdom f Z im f 0 1 2
y x
2 1
1 2 3 4
VOL
62
Funções
Resposta da Rapidinhas 7

• Não, porque se x 1, y 1 - 1 0 e 0 não
  pertence ao conjunto N, contradomínio da função.
  Para representar uma função poder-se-ia, por
  exemplo, alterar
• o domínio para N - 1 ou
• o contradomínio para N ?0 ou
• a lei para, por exemplo, y x

A relação R2 N ? N, dada pela lei y x - 1 é
função? Justifique. O que é preciso alterar na
definição da função para que ela represente uma
função?
VOL
63
Funções
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
RR
VOL
64
Funções
Resposta da Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
Dom f 1 2
VOL
65
Funções
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
RR
VOL
66
Funções
Resposta da Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
Dom f 2
VOL
67
Funções
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
RR
VOL
68
Funções
Resposta da Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
Dom f 1 2
VOL
69
Funções
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
RR
VOL
70
Funções
Rapidinhas 8
Resposta da Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos
para que o diagrama represente função. Escreva o
domínio da função.
Dom f 2
VOL
71
Funções
Resposta da Rapidinhas 9
A relação R3 N? R, dada pela lei y x2 é
função? Por que? Faça o gráfico.
Sim, é função porque todo elemento do conjunto N
se relaciona com apenas um elemento do conjunto
R.

y 4 3 2 1
1 2 3 x
VOL
72
Funções
Resposta da Rapidinhas 9
Sim, é função.

y
A relação R4 R ? R, dada pela lei y x é
função? Faça o gráfico.
x
VOL
73
Funções
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
a
Sim, é função. Dom f b c im f d a
d
c
b
VOL
74
Funções
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
Sim, é função. Dom f R im f 2
2
VOL
75
Funções
Rapidinhas 10
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
Não é função.
VOL
76
Funções
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
Sim, é função. Dom f b c im f d a
c
b
a
d
VOL
77
Funções
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
y
RR
c
3
a
b
x
d
RR
RR
R
VOL
78
Funções
Rapidinhas 10
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
Não é função.
3
VOL
79
Funções
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
Sim, é função. Dom f R im f (0 ?)
VOL
80
Funções
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que
representam função. Se afirmativo, calcule
domínio e imagem.
y
g)
Sim, é função. Dom f a b im f d c
c
a
b
x
d
VOL
81
Funções
Se nem todo elemento do conjunto à esquerda se
relaciona com um e apenas um elemento do conjunto
da direita temos apenas uma relação e não uma
função.
VOL
82
Funções
Rapidinhas 1
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano
cartesiano a) A(-1 0) b) B( 4 0) c) C(0 0) d)
D(-8 -½) e) E(3 -¼)
RR
VOL
83
Funções
Respostas da Rapidinhas 1
Não esqueça de orientar o eixo y e colocar
seu nome
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano
cartesiano a) A(-1 3) b) B( 4 0) c) C(0 0) d)
D(-3 -½) e) E(3 -¼)
y
Não esqueça de orientar o eixo x e
colocar seu nome
A
3 2 1
B
C
E
x
D
1 2 3 4
-3 -2 -1
2 -3
VOL
84
Funções
O termo cartesiano é usado em homenagem ao
matemático e filósofo francês René
Descartes (1596 - 1650) que foi um dos primeiros
a utilizar tal sistema de coordenadas.
VOL
85
Funções
Marcar um ponto significa colocar no plano
coordenado o ponto P de coordenadas a (abscissa)
e b (ordenada), representando-o por um ponto na
posição apropriada.
y
b
a
x
VOL
86
Funções
Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um
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Cada ponto marcado no plano...
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de exercícios (Respostas das Rapidinhas)
R
RR
e
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H
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VOL
87
Funções
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de exercícios (Respostas das Rapidinhas)
R
RR
e
remete à história da Matemática
H
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VOL
88
Funções
Identifique se o diagrama representa uma função
F A ? B. Responda, no Bloco de Notas,
justificando.
RR
VOL
89
Funções
Identifique se o diagrama representa uma função
F A ? B. Responda, no Bloco de Notas,
justificando.
RR
VOL
90
Funções
Identifique se o diagrama representa uma função
F A ? B. Responda, no Bloco de Notas,
justificando.
RR
VOL
91
Funções
Identifique se o diagrama representa uma função
F A ? B. Responda, no Bloco de Notas,
justificando.
RR
VOL
92
Funções
Valor numérico de uma função
Se você realiza um trabalho, por hora, para
alguém e cobra R1,50 a hora ao término de 2
horas, qual é o valor cobrado?
R3,00 é o valor numérico da função valor(horas)
horas . 1,50 quando substituímos a variável
horas por 2.
O valor numérico de uma função y f(x) é o valor
de y quando substituímos o x por um número.
VOL
93
Funções
É a expressão matemática y x 1 que nos dá a
relação entre os elementos de A e B.
?4 é o valor numérico da função quando x é igual
a 3 f(3) 4 ? 2 é o valor
numérico da função quando x é igual a 1
f(1) 2 ? 0 é o valor numérico da função
quando x é igual a -1 f(-1) 0
VOL
94
Funções
É a expressão matemática y x 1 que nos dá a
relação entre os elementos de A e B.
O valor numérico de uma função y f(x) é o
valor de y quando substituímos o x por um
número.
?4 é o valor numérico da função quando x é igual
a 3 f(3) 4 ? 2 é o valor
numérico da função quando x é igual a 1
f(1) 2 ? 0 é o valor numérico da função
quando x é igual a -1 f(-1) 0
VOL
95
Funções
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
Sim, é função porque cada elemento do conjunto A
se corresponde com um e apenas um elemento do
conjunto B.
VOL
96
Funções
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
Sim, é função porque cada elemento do conjunto A
se corresponde com um e apenas um elemento do
conjunto B.
VOL
97
Funções
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
Sim, é função porque cada elemento do conjunto A
se corresponde com um e apenas um elemento do
conjunto B.
RR
VOL
98
Funções
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma
função de A ? B.
Não é função porque o elemento do conjunto A não
se corresponde com um e apenas um elemento do
conjunto B.
VOL
99
CRIAÇÃO E MONTAGEM PROFª NARA SARAIVA