PowerPoint-Pr

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Algorithmen der Computeralgebra und
Schulmathematik Prof. Dr. Wolfram
Koepf Fachbereich Mathematik/Informatik Universitä
t Gh Kassel koepf_at_mathematik.uni-kassel.de http/
/www.mathematik.uni-kassel.de/koepf
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T3 - Tagung Ludwig-Windthorst-Haus Lingen
(Ems) 19. Oktober 2001
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Fachgruppe Computeralgebra

• Fachgruppe der DMV, GI, GAMM
• Regelmäßige Herausgabe des Rundbriefs
• Referent für Didaktik
• Regelmäßige Tagungen zum Thema Computeralgebra
  in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung
• Informationen auf meiner Homepage
  http//www.mathematik.uni-kassel.de/koepf
• Homepage http//www.gwdg.de/cais

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Mein persönlicher Computeralgebra-Werdegang

• 1988 Erster Kontakt mit Computeralgebra (Reduce,
  Maple, Mathematica, DERIVE)
• 1990 Stipendium der Alexander von
  Hum-boldt-Stiftung. Forschungsprojekt zur
  Verwendung von Computeralgebrasystemen im
  Mathematikunterricht
• 1992 Analysis-Vorlesungen an der Freien
  Universität Berlin mit DERIVE
• 1993 Lehrbuch Mathematik mit DERIVE

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• 1993-1997 Mitarbeiter am Konrad-Zuse-Zentrum für
  Informationstechnik in Berlin
• 1994 Buch Höhere Analysis mit DERIVE
• 1996 Buch DERIVE für den Mathematik-unterricht
• 1996-heute Gewähltes Mitglied der Leitung der
  Fachgruppe Computeralgebra der DMV/GI/GAMM,
  Referent für Lehre und Didaktik

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• 1997-2000 Professor für Angewandte Mathematik an
  der Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur
  Leipzig
• 1998 Buch Hypergeometric Summation
• seit 2000 Professor für Computational
  Mathematics an der Universität Gh Kassel
• 2000 Buch Die reellen Zahlen als Fundament und
  Baustein der Analysis

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Kleiner Satz von Fermat

• Für eine Primzahl p ? ? und a ??? gilt
• ap a (mod p)
• Fermattest Ist diese Beziehung für eine Zahl a
  ??? nicht erfüllt, so ist p keine Primzahl!

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Euklidischer Algorithmus

• Den größten gemeinsamen Teiler von a und b
  berechnet man so
• ggT(a,b) ggT(a,b), falls alt0 oder blt0
• ggT(a,b) ggT(b,a), falls altb
• ggT(a,0) a
• ggT(a,b) ggT(b, a mod b)

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Effiziente Berechnung von Potenzen

• Die modulare Potenz an (mod p) berechnet man am
  besten durch Zurückführen auf Exponenten der
  Größe n/2 (Divide-and-Conquer-Algorithmus)
• a0 mod p 1
• an mod p (an/2 mod p)2 mod p für gerade n
• an mod p (an-1 mod p) . a mod p

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Algebraische Zahlen

• Algebraische Zahlen sind als Nullstellen
  ganzzahliger Polynome erklärt, z. B.
• ?2 x2 - 2
• i x2 1
• ?2 ?3 x4 - 10 x2 1
• ?2 ?3 ?5
• x8 - 40 x6 352 x4 - 960 x2 576

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Faktorisierung von Polynomen

• Polynome mit rationalen Koeffizienten können
  algorithmisch faktorisiert werden!
• Dies funktioniert sogar, wenn mehrere Variablen
  im Spiel sind.
• Algorithmische Faktorisierungen über ? dagegen
  sind nur unter Verwendung algebraischer Zahlen
  möglich, z. B. x2-2 (x-?2)(x?2).
• Moderne schnelle Algorithmen gibt es nicht in
  DERIVE, aber in Maple, Mathematica, ...

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Wo ist der zweite Pol?

• Während graphische Taschenrechner und
  Computeralgebrasysteme im Allgemeinen auf Anhieb
  Funktionsgraphen darstellen, gibt es auch Fälle,
  wo hierzu Kurvenuntersuchungen nötig sind.
• Wo ist der zweite Pol der Funktion

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Lineare Gleichungssysteme

• Lineare Gleichungssysteme sind schlecht
  konditioniert, wenn die zugehörigen Geraden bzw.
  Ebenen etc. fast parallel sind.
• Dann lassen sich offenbar die Schnittpunkte bzw.
  Schnittgeraden etc. nur ungenau bestimmen.

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Kondition einer Matrix

• Eine Matrix ist schlecht konditioniert, wenn sie
  oder ihre Inverse Eingabefehler stark vergrößern.
• Für eine Matrixnorm, z. B.
• ist die Konditionszahl
• cond
• ein Maß für die Kondition der Matrix A.

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Hilbertmatrix

• Die n ? n Hilbertmatrix
• ist schlecht konditioniert. Daher ist die
  Numerik instabil. Rationale Arithmetik lässt ein
  Studium der Matrizen aber zu.

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Differentiation

• Ableiten ist algorithmisch, wenn wir die üblichen
  Ableitungsregeln verwenden
• Konstantenregel c 0
• Potenzregel (xn) n xn-1
• Linearität (f g) f g
• Produktregel (f g) f g gf
• Quotientenregel (f / g) (f g - gf)/g2
• Kettenregel f(g) f (g) g
• Ableitungen spezieller Funktionen

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Integration

• Auch für die Integration gibt es Algorithmen,
  welche entscheiden, ob ein Integral eine
  elementare Funktion ist.
• Die übliche Methode zur rationalen Integration
  benötigt eine reelle Faktorisierung des Nenners
  und ist daher kein guter Algorithmus.
• Der Risch-Algorithmus und seine Verwandten sind
  erheblich komplizierter, verwenden aber nur
  quadratfreie Faktorisierungen.

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Vereinfachung

• Rationale Funktionen lassen sich durch Bestimmung
  des ggT vereinfachen.
• Trigonometrische Polynome lassen sich durch
  Anwendung der Additionstheoreme vereinfachen.
• Man kann zeigen, dass es für allgemeine Terme
  keinen generellen Vereinfachungsalgorithmus geben
  kann.

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Das Hofstadterproblem

• Hofstadters geometrische Vermutung ist richtig,
  wenn die Determinante der Matrix
• gleich 0 ist, sofern ? ? ? ? ist.

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Reihenentwicklungen

• In der speziellen Relativitätstheorie ergibt sich
  die Energie aus der Formel
• Wie erhält man hieraus die klassische Formel
  ?