A MATEM

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A MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

• Prof. Ilydio Pereira de Sá
• UERJ USS PEDRO II

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OU ISTO OU AQUILO Ou se tem chuva e não se tem
sol Ou se tem sol e não se tem chuva! Ou se calça
a luva e não se põe o anel, Ou se põe o anel e
não se calça a luva! Quem sobe nos ares não fica
no chão, Quem fica no chão não sobe nos ares. É
uma grande pena que não se possa Estar ao mesmo
tempo nos dois lugares! Ou guardo o dinheiro e
não compro o doce Ou compro o doce e gasto o
dinheiro. Ou isto ou aquilo ou isto ou
aquilo... E vivo escolhendo o dia inteiro! Não
sei se brinco, não sei se estudo, Se saio
correndo ou fico tranqüilo. Mas não consegui
entender ainda Qual é melhor se é isto ou
aquilo. Cecília Meireles
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INTRODUÇÃO
Conhecimentos matemáticos são aplicados na
interpretação de fenômenos, em diferentes áreas
da ciência, nas atividades tecnológicas e
cotidianas. O cidadão necessita da capacidade de
leitura e interpretação de informações através de
distintas formas de linguagem matemática, de
percepção da coerência ou não de uma
argumentação, bem como da competência para
formular suas próprias idéias de forma
consistente, para uma inserção crítica e autônoma
na sociedade contemporânea. Dentro deste
espírito, espera-se que o estudante e cidadão
compreenda os conceitos fundamentais da
Matemática, tratados na Educação Básica, de forma
a saber aplicá-los em situações diversas,
relacionando-os entre si e com outras áreas do
conhecimento humano. Nesse sentido, a Matemática
Financeira tem se mostrado um elemento positivo e
que funciona como um elo de ligação.
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Você sabe responder às questões seguintes?

• 1) Uma conceituada loja, numa promoção, oferece
  as seguintes opções de compra
• à vista, com 30 de desconto sobre o preço de
  tabela
• com um acréscimo de 20 sobre o preço de tabela,
  em dois pagamentos iguais (entrada mais outro
  para 30 dias).
• Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor,
  que a loja está cobrando na segunda opção
  oferecida?

2) Uma loja oferece uma mercadoria à vista por
400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220
reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros
sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela
loja?
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3) Por quanto tempo deve ser colocado o capital
de R 5.000, à taxa de 8 a.a, a fim de produzir
um montante de R 12 000, sendo a capitalização
anual. Dados log 2 ? 0,30103 e log 3 ? 0,47712
4) Calcule quanto uma pessoa deve depositar
semestralmente numa conta a prazo fixo, que paga
juros de 12 ao semestre, para acumular R 50
000,00, daqui a 10 anos, considerando-se que o
depósito inicial somente ocorrerá no final do
primeiro semestre.
5) Um eletrodoméstico pode ser comprado por R
1.500,00 à vista ou com entrada de R 450,00 e
mais 4 pagamentos mensais de R
296,11. Qual a taxa de juros implícita no
financiamento proposto?
Será que esses tipos de questões costumam,
normalmente, ser trabalhadas nas séries da
Educação Básica? Será que nossa formação
contempla tais discussões?
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Tenho a certeza, após muitos anos de magistério,
que as respostas às duas últimas perguntas é
NÃO. A Educação Básica, na maioria dos casos,
ignora completamente a Matemática Financeira e,
quando não o faz, trabalha num verdadeiro conto
de fadas como se vivêssemos num país com
economia a juros simples. Lembra da famosa
fórmulazinha que está na maioria dos livros do
Ensino Fundamental?
Para quase nada...infelizmente!
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Veja o exemplo abaixo extraído de um importante
livro do Ensino Fundamental...(Antiga 5ª série)
Uma criança consegue resolver tal questão só com
os conhecimentos de porcentagem e juros simples
?????
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A grande vantagem da Matemática Financeira e da
sua inserção na Educação Básica é, além de amplas
possibilidades de contextualização, permitir
relacionar diversos conteúdos tradicionais da
Educação Básica, desde as primeiras séries do
Ensino Fundamental.
MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
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OS DOIS GRANDES SEGREDOS DA MATEMÁTICA
FINANCEIRA

1. OS FATORES DE CORREÇÃO
2. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

Casos comentados
1) O senhor Enkren Kado, gerente de um
supermercado, tem que aumentar os preços de todos
os produtos de um setor em 32,5 . Qual o fator
de aumento? Quanto passará a custar uma
mercadoria do setor, que custava R 60,00?

• FATOR DE AUMENTO 100 32,5 132,5 1,325
• NOVO PREÇO 1,325 x 60,00 79,50

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2) Ritinha, em Setembro, obteve uma correção
salarial de 15, sobre o salário de Agosto,
passando a receber R 908,50. Quanto recebia em
Agosto?

• A x 1,15 908,50 ? A 908,50 1,15 790,00.
• Logo, em agosto, Ritinha recebia R 790,00

3) Um remédio estava custando R 34,00, e passou
a custar R 47,00. Qual o fator e qual o
percentual de aumento?

• 34,00 x F 47,00
• F 47 34 1,3824 (Fator de correção)
• 1,3824 x 100 - 100 38,24 (Aumento Percentual)

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4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o
remédio custasse R 47,00 e sofresse uma redução
de preço para R 34,00. Qual seria o fator de
redução e o percentual de redução correspondente ?

• 47 x F 34
• F 34 47 0,7234 (Fator de Redução)
• 0,7234 x 100 72,34 (Valor Final)
• 100 - 72,34 27,66 (Redução Percentual)

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5) Uma loja está vendendo um produto com um
desconto à vista de 30, ou então com pagamento
normal, sem desconto, com um cheque pré-datado
para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em
um mês, o cliente que optar pela segunda forma de
pagamento?
Vamos supor que a mercadoria estivesse tabelada
em 100 reais. Com o desconto de 30, o preço à
vista seria de 70 reais.

• F 100 / 70 ? 1,4286
• Logo, a taxa de juros cobrada, em um mês, foi de
  42,86

• Observe que o preço à vista é de 70 reais e não
  de 100 reais. É sobre tal valor que se faz o
  cálculo dos juros.

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6) O que aconteceria no problema anterior, se a
opção pelo pagamento do preço de tabela, fosse
subdividida em duas parcelas iguais, uma no ato
da compra e outra a 30 dias da compra?
F 50 /20 2,5 Logo, a taxa de juros cobrada
seria de 150 em um mês.
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Primeiro Segredo Fatores de Correção

• Exemplo Seja uma taxa de 3,5
• Taxa percentual 3,5 ? taxa unitária 0,035
• fator de aumento 1,035
• fator de redução 0,965

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AUMENTOS E REDUÇÕES SUCESSIVOS
7) Qual o aumento total, acumulado, gerado por 3
aumentos sucessivos de 12?
solução
P
P x 1,12
(P x 1,12) x 1,12
((P x 1,12) x 1,12) x 1,12 P x 1,123
P x 1,123 P x 1,4049 Logo, o aumento total
acumulado foi de 40,49
Aumentos ou reduções sucessivos Multiplica-se
os respectivos fatores de correção
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8) Certa classe trabalhadora conquistou, no mês
de julho de 2006 (em dissídio coletivo), um
reajuste salarial de 15, sobre os salários de
janeiro de 2006, descontadas as possíveis
antecipações. Ocorre que eles receberam, em junho
de 2006 uma antecipação de 8, sobre os salários
de janeiro. Qual o valor do reajuste
complementar, devido a tal classe trabalhadora,
sobre os salários de junho de 2006?
solução

• Verifique que se trata de um caso de aumentos
  sucessivos. O segundo aumento (a determinar),
  sobre o primeiro (antecipação de 8), terão de
  dar um total acumulado de 15.

JAN. 06
JUN. 06
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• 1,08 x F 1,15, LOGO, O FATOR DESCONHECIDO SERÁ
• F 1,15 1,08 ? 1,065
• Conclusão Deverão receber um reajuste
  complementar de 6,5, aproximadamente.

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• IMPORTANTE Assim como aumentos sucessivos são
  calculados pelo produto dos fatores de correção,
  as subtrações geradas por taxas sucessivas devem
  ser calculadas através da divisão dos respectivos
  fatores de correção.

• 9) Uma mercadoria aumentou 12 num mesmo período
  em que a inflação correspondente foi de 5. Qual
  a taxa de AUMENTO REAL dessa mercadoria?

• Essa é uma questão análoga à anterior. Quando há
  inflação, o aumento sofrido por algum preço é
  constituído por duas parcelas a correção da
  inflação e o aumento real (quando há).

12 (Taxa nominal)

• Logo, F 1,12 1,05 ? 1,067
• A taxa de aumento real da mercadoria, foi de 6,7

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10) Trabalhando com a Notícia na sala de aula ...
FATOR DE AUMENTO 260 / 240 ? 1,0833
TAXA DE AUMENTO 0,0833 x 100 8,33 Ou
(1,0833 1) x 100

• Taxa real de aumento ...
• F 1,0833 1,0702 ? 1,012 (fator de aumento)
• A taxa de ganho real do salário mínimo, foi de
  1,2 e a notícia estava correta.

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O 2º Segredo... O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
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PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO
REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS),
TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM ATRAVÉS DO VALOR
DO DINHEIRO NO TEMPO. NUMA DATA FUTURA, O
DINHEIRO FICA MULTIPLICADO POR F n E NUMA DATA
ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR F n.
A
B
11) Lídia comprou um relógio, com uma taxa de
juros de 5 ao mês e a última parcela, de 80
reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de
2006. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho
extra propôs pagar a sua dívida no dia 10 de
agosto de 2006, ou seja, um mês antes da data
estipulada. Quanto Lídia teve de pagar à loja?
solução
Como Lídia pagou com uma antecipação de 1 mês, no
cálculo basta DIVIDIR 80 por 1,05 (fator de
correção). Logo, 80 1,05 76,19 reais.
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(No Transcript)
22
(No Transcript)
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13) Vinícius tomou um empréstimo de R 5000,00 a
juros mensais de 5. Dois meses depois, ele pagou
R 2500,00 e, um mês após esse pagamento,
liquidou seu débito. Qual o valor desse último
pagamento?
Devemos empurrar todos os valores para uma
mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar
as entradas (empréstimo) com as saídas
(pagamentos periódicos).
2500 x 1,05 x 5000 x (1,05)3 2625 x
5788,13 x 3163,13
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14) Uma loja oferece uma mercadoria a vista por
400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220
reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros
sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela
loja?
Sugerimos empurrar todos os valores para a data
2 e igualar as entradas (valor à vista) com as
saídas (pagamentos mensais).
400 . F2 220 . F 220 40 . F2 22 . F 22 ou
20. F2 11. F 11 0
Como só nos serve a resposta positiva, teremos F
(11 31,64) / 40 Logo, F 1 i ? 1,067
ou i ? 0,067 ou ainda i ? 6,7
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Aliáslembra da questão retirada do livro da
antiga 5ª série? Ela teria de ser resolvida como
a questão anterior. Vejamos
Preço a vista 600 x 0,75 (25 de desconto)
450 reais.
Entrada 0,4 x 600 240 reais
Valor de cada prestação 360 2 180 reais.
Equação que resolve o problema
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15) Cálculo do tempo... Equações Exponenciais e
logaritmos. Durante quantos meses
(aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais,
sob juros compostos com taxa efetiva de 5 ao
mês, para gerarem um montante de 900 reais?
Informação log (1,55) 0,1903 e log (1,05)
0,021
580 x (1,05) n 900 (1,05) n 1,55 ou então n .
log (1,05) log (1,55) n log (1,55) / log
(1,05) n 0,1903 / 0,021 n ? 9 meses
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16) Por quanto tempo deve ser colocado o capital
de R 5.000, à taxa de 8 a.a, a fim de produzir
um montante de R 12 000, sendo a capitalização
anual. Dados log 2 ? 0,30103 e log 3 ? 0,47712
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17) (CONCURSO DE PROFESSORES PEDRO II 2007)
Um certo capital foi investido a juros compostos,
com uma taxa de 20 ao mês. O tempo que levará
para que este capital triplique é de(log 2 ?
0,30 e log 3 ? 0,48). A) 5 meses B) 10
meses C) 8 meses D) 6 meses
Se designarmos o capital por C, o Montante final
será 3C. Logo,
Cálculo do log 1,2
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Prof. Ilydio Pereira de Sá www.magiadamatematica.c
om ilydio_at_gmail.com
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A MAGIA DA MATEMÁTICA ATIVIDADES INVESTIGATIVAS,
CURIOSIDADES E HISTÓRIAS DA MATEMÁTICA ED.
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