Matem

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Matemática Básica (C.C.)
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

• Sesión 13.1
• Ciclo 2007.1

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
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INTRODUCCIÓN

• Los salarios de las superestrellas de los
  deportes profesionales reciben mucha atención de
  los medios de comunicación. Cada año que pasa un
  contrato millonario se está convirtiendo en un
  hecho común y corriente para este grupo de élite.
  Aun así, son pocos los años que una de las
  asociaciones deportivas no negocien con los
  dueños de equipos nuevas condiciones salariales y
  beneficios marginales para todos los jugadores de
  un deporte en particular.

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• Según los dueños de equipos de básquet, el
  salario promedio de un jugador es de 275 000.
  Los representantes de los jugadores alegan que el
  salario promedio está cerca de 310 000. Ambos
  grupos cuentan con los mismos datos. Cómo pueden
  llegar a conclusiones tan dispares? Quién dice
  la verdad?
• Una manera de representar características de un
  conjunto de datos en estadística es a través de
  tres medidas numéricas media, mediana y moda.
  Cada una de ellas representa un tipo de promedio,
  el cual indica la tendencia central del conjunto
  de datos. En esta parte del curso veremos como
  calcularlos y que información nos brindan.

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MODA

• La moda es el dato que más se repite (el de más
  alta frecuencia). Por ejemplo cuántas veces se
  repite la letra e en la palabra
  representatividad? se repite 3 veces y te
  fijarás que es la que más se repite, por lo tanto
  se dice que la letra e es la moda de este
  conjunto de letras.
• Podremos determinar la moda en muestras de
  variables tanto cualitativas como cuantativas
  (datos agrupados o no).
• La moda es muy fácil de calcularla y útil, pro
  tiene sus limitaciones, a veces no encontraremos
  moda (cuando todos o más de dos tienen la misma
  frecuencia) o muestras bimodales (con dos modas).
  Por lo tanto veremos otras opciones.

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Para datos no agrupados

• La moda se define como el valor o clase que
  tiene la mayor frecuencia, en un conjunto de
  observaciones.
• Cuando los datos obtenidos solamente pueden
  clasificarse en categorías, se emplea la moda
  para describirlo. Sin embargo el empleo de la
  moda no está limitado al tipo de datos
  cualitativos o descriptivos.
• La moda resulta sumamente útil para expresar la
  tendencia central de observaciones
  correspondientes a características cualitativas
  tales como color, estado civil, ocupación, lugar
  de nacimiento, etc.

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Para datos agrupados

• Para calcular la moda de n datos tabulados por
  intervalos, primero se determina el intervalo que
  contiene a la moda, esto es, el intervalo que
  tiene la mayor frecuencia (intervalo modal).
  Luego se utiliza la fórmula
• donde
• Li es el límite inferior del intervalo modal.
• d1 fi - fi-1
• d2 fi - fi1
• A amplitud del intervalo modal

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Ejemplo La siguiente tabla muestra la inversión
anual de 40 empresas.  
Título Inversión anual de empresas Unidades
miles de dólares.
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•  
• El intervalo donde se encuentra la mayor
  frecuencia es el cuarto intervalo
• Entonces Li 22
• d1 fi - fi-1 12 6 6
• d2 fi - fi1 12 11 1
• A 6
• de donde Mo 22 27,85
• Esto significa la mayoría de las empresas
  invierten 27 850 dólares

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MEDIA

• La media es el promedio aritmético de los valores
  de la variable. Obviamente, al ser promedio,
  tiene sentido en variables de tipo cuantitativo

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Para datos no agrupados

• En ocasiones puede conducirnos a
  interpretaciones incorrectas. Simbólicamente la
  media en el caso de una muestra se representa
  por , y en el caso de población por ? .
• Se calcula sumando todos los datos y dividiendo
  dicha suma por el número de datos.

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Sea x1, x2, .... ,xn los valores que toma una
variable cuantitativa X, entonces la media
aritmética se determina mediante
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• Ejemplo Si las notas en el curso de
  introducción a la computación de 10 alumnos son
  14, 18, 12, 16, 14, 15, 16, 18, 10, 12
• Respuesta La nota promedio es 14,5

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Media aritmética ponderada

• La media aritmética de los valores x1, x2, x3,
  .........., xk ponderada por los pesosw1, w2,
  w3, ........ wk es el número.

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Ejemplo Si un alumno el semestre pasado obtuvo
11 en Física 2 y su peso es cinco, 13 en el curso
Lengua de peso cuatro y 16 en cálculo 2 de
peso 3, cuál fue su promedio ?
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Media aritmética para datos tabulados de
variables discretas

• Si los n valores de una variable estadística
  discreta X se clasifican en k valores distintos
  x1, x2, x3, .........., xk con frecuencias
  absolutas respectivas f1, f2, f3, ......, fk,
  entonces su media aritmética es el número

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• Ejemplo En un estudio de edades de estudiantes
  de Derecho se obtuvo la siguiente tabla de
  distribución
• Edades Frecuencia
• 16 5
• 17 10
• 18 6
• 19 4
• 20 2
• Total 26
• Determina la edad promedio.

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Solución
18,23 años
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Media aritmética para datos tabulados de
variables continuas

• Si los n valores de una variable estadística
  continua X se clasifican en k intervalos con
  marcas de clases m1, m2, m3, .........., mk con
  frecuencias absolutas respectivas f1, f2, f3,
  ......, fk, entonces su media aritmética es el
  número

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Ejemplo La siguiente tabla muestra la inversión
anual de 44 empresas.  
Título Inversión anual de empresas Unidades
miles de dólares.
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Solución

• La media aritmética es

La inversión promedio es de 26 800 dólares
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MEDIANA

• La mediana de un conjunto de observaciones se
  define como el valor que queda en la parte
  central de un grupo de observaciones arreglados
  en orden de magnitud.

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Para datos no agrupados

• La mediana de un conjunto de datos es el valor
  que se encuentra al medio de la distribución
  ordenada (en forma ascendente o descendente).
  Cuando se tiene mediana uno sabe que es la misma
  cantidad de datos que se encuentra por encima de
  dicha mediana que por debajo.

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Para datos agrupados

• Para calcular la mediana para datos agrupados
  considerando las frecuencias absolutas, en primer
  lugar se encuentra el intervalo donde se
  encuentra la mediana, este se encontrará en el
  primer intervalo cuya frecuencia absoluta
  acumulada contiene a la mitad de la muestra.
• Luego se utiliza la fórmula

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  Li Es el límite inferior del intervalo de la
mediana n Número de datos observados Fi-1
Frecuencia acumulada absoluta del intervalo
inmediatamente anterior al intervalo de la
mediana fi Frecuencia absoluta del intervalo
de la mediana A Amplitud del intervalo de la
mediana
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Ejemplo La siguiente tabla muestra la inversión
anual de 44 empresas.  
Título Inversión anual de empresas Unidades
miles de dólares.
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• El intervalo donde se encuentra n/2 es el número
  cuatro, luego
• Li 22 n 40 Fi-1 10 fi 12 A 6
• Por tanto

El 50 de las empresas invierten menos de 27 000
dólares