Analisi monovariata

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Analisi monovariata

• Lavoro a cura di Sovarino Elisa
• A.A. 2002-2003

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DEFINIZIONE analisi monovariata studia le
distribuzioni di frequenza della variabile
oggetto di studio.
Fornisce una descrizione completa della
variabile, ovvero di come essa è distribuita fra
i casi rilevati nel campione. Lo scopo è quello
di studiare le variabili prese singolarmente
senza metterle in relazione tra loro. ( vedi
Corbetta pg 497 )

• Costituisce il punto di partenza per lanalisi
  bivariata e/o multivariata

(
)
studio delle relazioni fra due
variabili
studio delle relazioni intercorrenti tra più di
due variabili
(
)
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Per studiare le variabili singolarmente, si fa
uso dei dati ricavati dallincrocio tra riga e
colonna ovvero tra casi e variabili, contenuti
nella matrice dei dati.
La matrice dei dati
Strumento euristico utile per organizzare il
materiale empirico grezzo al fine di analizzarlo
con gli strumenti della analisi statistica.
VARIABILI CASI Sesso età religione .
Marco M 20 B
Antonia F 24 A
Fabio M 54 A
Paolo M 31 A
Maria F 22 B
A seconda del tipo di variabile variano le
procedure di tipo statistico, utilizzate dal
ricercatore
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Le variabili possono essere classificate in base
alle loro caratteristiche logico-matematiche in
Le variabili
Le Proprietà si dividono in discrete ( se
assumono stati discreti finiti, non frazionabili)
e continue ( se assumono infiniti stati intermedi
in un dato intervallo fra due stati qualsiasi )
2) Ordinali
( graduatorie )
3) Cardinali ( Scala ad intervalli/di
rapporti )

• Categoriali
• (scala nominale )

Ovvero quando la proprietà assume stati discreti
e ordinabili. Fra le modalità di una variabile
ordinale è possibile istaurare relazioni di
uguaglianza/ordine.
Ovvero quando le proprietà sono ottenute mediante
unoperazione di misurazione o conteggio. I
valori delle variabili fruiscono di un pieno
significato numerico. Si effettuano le quattro
operazione aritmentiche
Ovvero quando la proprietà da registrare assume
stati discreti non ordinabili. Le uniche
relazioni che si possono stabilire tra le
modalità di una variabile nominale sono
uguaglianza-diversità
4) Variabili quasi cardinali
Sottoinsieme delle variabili cardinali le
proprietà non possono essere ottenute mediante
mere operazioni di conteggio, ma tramite il
ricorso a tecniche di scaling. ( cfr. Corbetta
106-112 )
Le proprietà dei tre tipi di variabili sono
cumulative, queste possono essere viste come tre
livelli ordinabili gerarchicamente. Inoltre varia
tra loro anche il livello di informatività, da
cui consegue che le tecniche danalisi delle
variabili a livello inferiore siano applicabili
anche alle variabili poste su di un livello
superiore.
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Analisi delle distribuzioni di frequenza
Riguardano il modo in cui le modalità della
variabile si trovano nel campione
Rappresentazioni nelle quali ad ogni valore della
variabile, viene associata la frequenza con la
quale essa si presenta nei dati analizzati. (
vedi Corbetta pg. 487, 497)
TABELLARE


Il
ricercatore dovendosi sempre attenere ad un
criterio di massima parsimoniosità, presenterà in
tabella solo i dati essenziali (
frequenze percentuali ) accompagnate
dallindicazione della base ( N ) del calcolo
delle percentuali.
GRAFICA
Il
ricercatore si serve solitamente di
rappresentazioni grafiche per la loro grande
efficacia comunicativa, nei confronti di un
pubblico che potrebbe avere difficoltà ad
interpretare dei numeri.
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Rappresentazioni grafiche della distribuzione di
frequenza
Diagramma a barre Modo più semplice di
rappresentazione grafica. Il ricercatore
(supponendo di voler costruire un diagramma a
barre a colonne), riporterà su un piano
cartesiano i valori delle variabili (asse Y) e le
relative frequenze ( asse X). Si noti che solo
lasse dove sono collocate le frequenze presenta
una misura continua, e ordinata matematicamente
le modalità invece vengono disposte sullaltro
asse, seguendo lordine arbitrario del
ricercatore. Diagramma di composizione la
distribuzione di frequenza viene rappresentata
suddividendo larea di una figura geometrica in
parti proporzionali alle varie frequenze.Fanno
parte di questa famiglia il diagramma a torta,
e il diagramma a barre suddivise ( figura viene
divisa in barre di altezza proporzionale alle
frequenze delle variabili. ). Istogramma quando
la variabile oggetto di studio è cardinale. La
distribuzione di frequenza viene rappresentata su
un piano cartesiano, collocando su un asse la
variabile ( continua ) suddivisa in classi, e
sullaltro le frequenze, innalzando dei
rettangoli di area ad esse proporzionate. Poligono
di frequenza quando la variabile oggetto di
studio è cardinale. Lo si ottiene congiungendo i
punti medi dei lati superiori dei rettangoli di
un istogramma con una linea, per avere infine una
spezzata che si approssimerà sempre più ad una
curva continua, man mano che le classi di una
variabile cardinale si fanno sempre più
numerose. ( cfr. Corbetta 515-520 )
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Analisi delle distribuzioni di frequenza 2
Il ricercatore, tramite le distribuzioni di
frequenza, dà una rappresentazione sintetica di
quanto è codificato nella colonna n, della
matrice.

• Individua modalità di ciascuna variabile
  es SESSO M/F

2) Conta quante volte la modalità si presenta
nella distribuzione tabellare della matrice
es M 16 F 24
Frequenze assolute viene riportato accanto ad
ogni valore della variabile, il numero dei casi
che presentano quel valore, senza altro
intervento ( semplice
conteggio ) Il limite delle frequenze assolute è
la loro fortissima dipendenza dal contesto in cui
sono state rilevate. Impossibile fare un
confronto tra distribuzioni.
Frequenze relative tramite riferimento ad un
totale comune, viene riportato accanto un valore
frutto di una proporzione o percentualizzazione.
numero casi della classe
diviso il n casi totale.

Lo scopo è quello di svincolarsi dal n di
persone appartenenti al campione, così da poter
estendere la frequenza relativa ad ogni tipo di
situazione e confrontare diverse distribuzioni.
(cfr. Corbetta pg.487 )
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La scrematura dei dati
La prima possibile utilizzazione della
distribuzione di frequenza.
Ricognizione sui valori per identificare gli
eventuali errori a partire da incongruenze
logiche ( crf. Corbetta pg. 494-497)
controlli di plausibilità
controlli di congruenza
Controllare che tutti i valori delle variabili
siano plausibili, appartengano cioè al ventaglio
dei valori previsti dal codice
Confrontare le distribuzioni di due variabili per
far emergere eventuali incongruenze

valori mancanti
ponderazione
Procedura tramite cui si può ricondurre la
distribuzione di una data variabile nel campione
a quella della popolazione. Con una proporzione
viene calcolato il peso dell unità campionaria,
dato dal rapporto fra frequenza nella popolazione
e frequenza nel campione. Si tratta di un
operazione da compiersi nella fase precedente
lanalisi dei dati cercando di non alterare in
modo eccessivo i dati originari. ( cfr. Corbetta
pg. 496, 352-356 )
Ad un certo caso, in una certa variabile viene
assegnato valore mancante se quel caso è privo
di informazione su quella variabile

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Di tutte le caratteristiche di una distribuzione
di frequenza due sono le più importanti
misure di tendenza centrale
misure di dispersione/variabili
tà
Misure di tendenza centrale e variabilità
Ci segnalano quella che è la modalità centrale
di una distribuzione di frequenza
Ci segnalano come si collocano le altre modalità
attorno questo centro
Diciamo che una variabile nominale ha una
distribuzione massimamente omogenea quando tutti
i casi si presentano con la stessa modalità.
Viceversa è massimamente eterogenea se i casi
sono equidistribuiti tra le modalità. (cfr.
Corbetta pg. 504)
Tendenza centrale Tipi di variabili Variabilità
moda categoriale Omogeneità eterogeneità
mediana Ordinale Differenza interquartile
media cardinale s.s.m Varianza Deviazione standard
Modalità di una variabile che si presenta nella
distribuzione con maggiore frequenza
Modalità del caso che occupa il posto di mezzo
nella distribuzione ordinata dei casi secondo
quella variabile
Se dividiamo i casi di una distribuzione in
quattro punti di eguale numerosità, i valori che
segnano i confini sono detti quartili, e la
differenza fra terzo e primo è la c.d. diff.
interquartile
E data dalla somma dei valori assunti dalla
variabile su tutti i casi divisa per il numero
dei casi.
Tali indici sfruttano tutte le informazioni
raccolte su variabili cardinali
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Annotazioni
Moda se la distribuzione
presenta due valori elevati che si distaccano
dagli altri, la distribuzione prenderà il nome di
bimodale.
Mediana per poter calcolare la
mediana bisogna anzitutto calcolare le
percentuali cumulate (v.6) Es
Modalità cum.
elementari 10 10
medie 30 40
diploma 40 80
laurea 15 95
dottorato 5 100
distribuzione cumulata di frequenza nella quale
in corrispondenza di ogni valore della variabile,
viene riportata non la sua frequenza ma la somma
delle frequenze corrispondenti a quel valore e a
tutti quelli inferiori.
mediana
Media è uguale alla sommatoria di
i che va da 1 ad n per Xi fratto N si può
calcolare solo se la variabile è cardinale
tuttavia vi sono alcune situazioni nelle quali
anche se la variabile è cardinale, si preferisce
ricorrere alla mediana piuttosto che alla media
( v. Corbetta pg. 503 )
?n
Xi
i 1
Con X indico una generica variabile, con Xi il
valore che assume sullunità iesima, con N il
numero totale dei casi
X
N
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Misure di dispersione o variabilità
?n
X Xi
S. S. M. Scostamento semplice
medio
i 1
N
Modo molto semplice di calcolare la variabilità
di una variabile cardinale potrebbe essere
costituito dalla media aritmetica degli scarti di
ogni singolo valore dalla media. Infatti se
calcolo la media delle differenze ( ovvero quanto
mi allontano dalla media per ciascuna risposta
otterrò un indicatore più o meno fedele di quanto
accade nelle popolazione
Il valore assoluto è necessario per non
considerare il segno e per non incorrere nel 1
teorema fondamentale delle medie ( la media degli
scarti dei valori dalla media è sempre uguale a
ZERO.)
MA per annullare il segno si può in alternativa
elevare al quadrato, otteniamo così
?n
2
X Xi
i 1
La varianza
S2
N
La deviazione standard infine estraendo la
radice si ottiene il c.d scarto quadratico medio
ovvero
La deviazione standard risente della grandezza
della media della variabile per tanto se si
vogliono confrontare fra loro le variabilità di
distribuzioni aventi medie fortemente diverse,
conviene utilizzare un indice di variabilità che
ne tenga conto, ovvero il coefficiente di
variazione. ( cfr Corbetta
pg.510)
?n
2
X Xi
S
i 1
N
S
Cv
X
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Quando la variabile è cardinale e consiste in
quantità possedute dalle unità danalisi si può
calcolare la concentrazione di questa variabile
nelle unità studiate.
equidistribuzione
vs
ammontare complessivo di A è attribuito ad una
sola unità
Se il suo ammontare complessivo A è
distribuito in parti uguali fra N unità, cioè se
ogni unità possiede 1/N di A
La concentrazione è un modo particolare di
guardare alla variabilità tanto più una
variabile è concentrata, tanto più elevata è la
variabilità di quella variabile. ( si possono
calcolare diversi indici di concentrazione )
Gini rapporto di concentrazione
Si calcolano le proporzioni cumulate dei soggetti
e della variabile in esame ( reddito ) Se il
reddito fosse equidistribuito queste
proporzioni sarebbero uguali, e se riportate su
un piano cartesiano sarebbero allineate sulla
bisettricesegmento di equidistribuzione Se non
cè equidistribuzione si darà luogo ad una
spezzettatacurva di Lorenz. Larea compresa fra
la spezzettata e il segmento di
equidistribuzionearea di concentrazione ( cfr.
Corbetta pg. 512 )
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Indice di distanza e dissimilarità
Notevoli sono i vantaggi nel condurre delle
analisi sulle righe di una matrice dati, ovvero a
partire dai casi È possibile infatti confrontare
due righe della stessa matrice dei dati e
calcolare lindice di somiglianza fra i profili
dei due casi tramite il calcolo matematico della
distanza

Diverse e utili applicazioni Es i casi possono
essere rrappresentati da aggregati territotiali,
le variabili invece dai risultati territoriali,
si possono calcolare le distanze fra le regioni
prese a due a due, oppure le distanze di ogni
singola regione dalla media nazionale. ( cfr.
Corbetta pg. 526)
Dij
2
2
2


Xi1 - Xj1
Xi2 - Xj2
Xin - Xjn
NB. È possibile calcolare le distanze fra i casi
solo se le variabili sono cardinali ( la formula
implica operazioni aritmetiche fra i valori delle
variabili. ) Se le variabili sono
nominali si può procedere tuttavia in maniera
simile, ovvero trasformando le variabili nominali
in tante variabili dicotomiche 0/1.
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Classificare
Per classificazione intendiamo il processo
secondo il quale i casi studiati vengono
raggruppati in sottoinsiemi ( classi ) sulla
base delle loro similarità.
Tramite una specifica procedura ( calcolo degli
indici di similarità/dissimilarità fra due
distribuzioni di frequenza ) otteniamo un unico
numero, in cui sono sintetizzate le differenze
esistenti fra due distribuzioni di frequenza
della stessa variabile.
Le classi presentano 3 fondamentali requisiti.
Devono essere
Esaustive tutti i casi devono trovare
collocazione in una classe, nessuno può esserne
escluso. Mutualmente esclusive un caso può
appartenere ad una sola classe. Garanti dell
unicità del fundamentum divisionis il criterio
rispetto al quale facciamo le distinzioni ovvero
rispetto al quale costruiamo le classi deve
essere unico.
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Tipi di classificazione

• Classificazione unidimensionale aggregazione
  delle modalità in classi
• Più semplice dei processi classificatori i casi
  vengono classificati per la loro somiglianza
  relativamente ad una sola variabile.
• In questi termini il problema della
  classificazione si riduce a quello delle modalità
  delle variabili. Problema già risolto nella fase
  precedente la rilevazione dei dati e nella fase
  di codifica, MA per molte variabili nella fase di
  analisi dei dati deve essere perfezionata
  mediante loperazione di aggregazione di alcune
  modalità.
• variabile nominale aggregazione fra modalità è
  necessaria per lanalisi bivariata,la quale
  necessitaper ogni modalità un numero sufficiente
  di casi e dunque che le frequenze delle varie
  modalità siano fra loro wquilibrate
• Variabile cardinale aggregazione delle modalità
  consiste in un raggruppamento in classi di
  maggiore ampiezza ed avviene secondo tre criteri
  1) raggruppamento dei valori della variabile in
  intervalli di uguale ampiezza
• 2)
  raggruppamento dei valori assume a riferimento il
  loro significato
• 3)
  raggruppamento dei valori assume a riferimento la
  sua distibuzione di frequenza.

• Classificazione multidimensionale
  tipologie e tassonomie
• I casi possono essere classificati sulla base di
  più variabili, cosicchè possano essere
  classificati mettendo in relazione (es) reddito e
  occupazione
• Tassonomia è una classificazione nella quale le
  variabili che la costituiscono sono considerate
  in successione gerarchica per variabili di
  generalità decrescente. Sono molto comuni nelle
  scienze naturali,e poco in quelle sociali.
• Tipologia è una classificazione nella quale le
  variabili che la compongono sono considerate
  simultaneamente / congiuntamente. Le classi di
  una tipologie sono dette tipi.
• Lo scopo interpretativo ed esplicativo, finalità
  euristiche.
• La tipologia deve essere feconda, deve fornire
  qualcosa di aggiuntivo rispetto a ciò che ci dice
  la combinazione delle singole variabili.
• Esempio di tipologia è quella proposta da BECKER
  sullatteggiamento dei genitori nei confronti dei
  figli.
• ( cfr. Corbetta pg. 529-534 )