Componentes de un vector

1
Componentes de un vector
V Vx Vy Vz
Vx V cos a V a
Vz
V
Vy V cos b V b
Vz V cos g V g
a
Vx
Vy
2
Componentes del vector tensión
s x s a
s z
s
s y s b
s z s g
a
s x
s y
u a i b j g k
1 a 2 b 2 g 2
3
Componentes de un vector
4
Estado tensional de un punto
5
Estado tensional de un punto
dydxs nz
dxdzt yz
dydzt xz
S Fx 0
dydzs nx dxdzt yx dydxt zx dydzs nx
dxdzt yx dydxt zx
S Fy 0
dydzt xy dxdzs ny dydxt zy dydzt xy
dxdzs ny dydxt zy
S Fz 0
dydzt xz dxdzt yz dydxs nz dydzt xz
dxdzt yz dydxs nz
6
Estado tensional de un punto
z
Mx (dydxs nz )dy1/2 - (dydxs nz )dy1/2
snz
My (dydxs nz )dx1/2 - (dydxs nz )dx1/2
tzy
tzx
Mx (dydx t zy)dz
x
My (dydx t zx)dz
S Mx 0
gt
y
(dxdzt yz )dy (dydxt zy)dz 0
S My 0
gt
(dydxt zx )dz (dydzt xz )dz 0
S Mz 0
gt
(dxdzt xx )dy (dydzt xy)dx 0
Teorema de la reciprocidad de las Tensiones
Tangenciales
7
Teorema de reciprocidad de las tensiones
tangenciales
tzy tyz
tzx txz
txy tyx
8
Vectores tensión en un punto
S Fx 0 gt snx dy dz tzx dx dy tyx dx dz
X
S Fy 0 gt sny dx dz tzy dy dx txy dy dz
Y
S Fz 0 gt snz dx dy txz dy dz tyz dx dz
Z
Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X
S Mx 0 gt ( tzy dx dy ) dz - ( tyz dx dz )
dy 0
S My 0 gt ( tzx dy dx ) dz - ( txz dy dz )
dx 0
S Mz 0 gt ( txy dy dz ) dx - ( tyx dx dz )
dy 0
Teorema de reciprocidad de las tensiones
tangenciales
9
Tensiones principales de un punto
dSx dWa
dSy dW b
dSz dW g
10
Tensiones principales de un punto
N
s s1 s2 s3
s1 ? s2 ? s3
11
Condiciones de equilibrio
sx dW snx dW a tyx dW b tzx dW g
sy dW txy dW a sny dW b tzy dW g
sz dW txz dW a tyz dW b snz dW g
cosenos directores
s ? T ? u ?
12
Matriz de tensiones
s T u
cosenos directores
13
Tensiones y direcciones principales
s ? T ? u ?
Existe un plano cuya tensión es perpendicular a
él
Su determinante es
que desarrollado es
-s3 I1 s2 - I2s I3 0
14
Calculo matricial
15
Calculo matricial
16
Tensiones y direcciones principales
s ? T ? u ?
Ecuación característica o secular
-s3 I1 s2 - I2s I3 0
Tensiones principales son las raíces de la
ecuación
donde
I1 snx sny snz
I2 snxsnysnysnzsnzsnx-t2yz-t2zx-t2xy
I3 T
17
Tensiones Principales
s s1 .a .i s2 .b .j s3 .g .k
sn s . u s1 . a 2 s2 . b 2 s3 . g 2
t2 s2 - sn2
18
Tensiones y direcciones principales
s1 gt s2 gt s3
Direcciones principales
x a s1 y b s2 z g s3
gt
gt
Elipsoide de Lamé
19
Cambio de sistema de referencia
20
Unidades utilizadas en Tensiones.

• Sistema C.G.S. gt dynas/cm2 0,1 Pa
• Sistema Internacional gt Newton/m2 1 Pa
• Sistema Técnico gt 1 Kp/m2 9,8 Pa
• Utilizamos gt 1 Kg/cm2 9,8 . 10 4 Pa 10 4
  Kp/m2

21
Conclusiones
Solicitaciones sobre un prisma mecánico.
Matriz de tensiones
22
Problema Nº 1
En un punto P de un sólido elástico la matriz de
tensiones referida al triedro OXYZ es
Calcular en el punto P el vector correspondiente
a un plano cuya normal exterior está definida por
un vector que forma ángulos iguales de 45º con
los ejes X e Y y siendo positivas sus
componentes. Indicar si las tensiones principales
son de tracción o de compresión.
23
Problema Nº 1
24
Problema Nº 1
0 s3 - 4 s2 - 4 s 17
s1 4
s2 2,1
s3 -2,1
25
Problema Nº 1
s s1 .a .i s2 .b .j s3 .g .k
s1 4
s2 2,1
s3 -2,1
sn s . u s1 . a 2 s2 . b 2 s3 . g 2
4(2/4) 2,10 2,1(1/2) 1,95
t2 s2 - sn2 9(1/4) (1/2) (1,95) 2
t -1,05
26
Problema Nº 2
Las tensiones principales en un punto P de un
sólido elástico, referidas a un sistema
cartesiano ortogonal OXYZ y expresadas en MPa son

• s1 50/3.(2 .i 2 .j k)
• s2 20 .i - 10 .j - 20 .k
• s3 - 20/3.( i - 2 .j 2 .k)

s1 ? s2 ? s3
Calcular la tensión correspondiente a un plano
cuya normal exterior forma ángulos agudos iguales
con los semiejes positivos del triedro OXYZ.

• (u1 )2 (4 4 1)
• (u2 )2 (4 1 4)
• (u3 )2 (1 4 4)
• (u1 )2 (u2 )2 (u3 )2 1

• u1 1/3.(2 .i 2 .j k)
• u2 1/3(2 .i - 1 .j - 2 .k)
• u3 1/3.(- i 2 .j - 2 .k)

27
Problema Nº 2

• s1 50/3.(2 .i 2 .j k)
• s2 20 .i - 10 .j - 20 .k
• s3 - 20/3.( i - 2 .j 2 .k)

s1 ? s2 ? s3
a2 b2 g2 1

• u1 1/3.(2 .i 2 .j k)
• u2 1/3(2 .i - 1 .j - 2 .k)
• u3 1/3.(- i 2 .j - 2 .k)

a b g 3-1/2
u a i b j g k 3-1/2 ( i j
k)
a u1u 3-1/2 1/3(2 2 1) 5 3-3/2
x xa1 ya2 za3 y xb1 yb2 zb3 z
xg1 yg2 zg3
b u2u 3-1/2 1/3(2 - 1 - 2) - 3-3/2
g u3u 3-1/2 1/3(-1 2 - 2) - 3-3/2
250 (3-3/2 )i - 303-3/2 j- 203-3/2 k
48,61 MPa