Estados de Bloch

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Estados de Bloch

• En una red periodica las funciones de onda
  permitidas tienen la propiedad
• donde R es un vector de la red real
• Portanto
•  
• Donde la funcion ?(R) es real, independiente de
  r, y adimensional.
•  
• Ahora consideremos ?(r R1 R2). Esto puede
  ser escrito
•  
• O
• Portanto
• a (R1 R2) ?(R1) ?(R2)
•  
• ?(R) es lineal en R y puede ser escrito ?(R)
  kxRx kyRy kzRz k.R. donde
• kx, ky y kz son las componentes algun vector onda
  k, asi tenemos
• (Teorema Bloch ) 

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Forma Alternativa del Teorema de Bloch

• (Teorema Bloch )
• Para cualquier K una forma general de la funcion
  de onda es
•  
• Portanto tenemos
•  
• y
•  
• Para todo r y R. Portanto en una red la funcion
  de onda puede ser escrita como
•  
• Donde u(r) tiene la periodicidad (simetria
  translacional) de la red. Esta es una forma
  alternativa del teorema de Bloch.

Parte real de la funcion Bloch. ? eikx para un
grande fraccion del cristal.
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Funciones de Onda de Bloch, estados k

• ?(r) expik.ru(r)

Condiciones de Frontera periodico. Para un cubo
de lado L se tiene la condicion ?(x L)
?(x) pero u(xL) u(x) debido a que tiene la
periodicidad red Portanto, i.e. kx 2p
nx/L nx entero. Los estados k permitidos son los
mismos que para electron libre Estados Bloch no
son autoestados de momento Calculos de
estructura de bandas dan E(k) el cual determina
comportamiento dinamico
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Electrones Cuasi-libres

• Necesario resolver Ecuac Schrödinger Consideremos
  caso 1D
• Escribe potencial serie Fourier
• Donde G 2?n/a y n son enteros positivos y
  negativos. Escribe una funcion bloch en forma
  general
• Donde g 2?m/a ym are son enteros positivos y
  negativos. Note que la funcion periodica es
  escrita como una suma de Fourier
• Debemos restringir g a numeros pequeños para
  obtener una solucion
• Para n 1 y 1 y m0 y1, y k p/a
• Se obtiene, E(hk)2/2me o - V0/2 (CHECAR)

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Aproximacion Tight Binding

• Se construye una funcion de onda como una suma de
  ondas planas
• Modelo Tight Binding Construye funcion onda
  como una combinacion lineal de orbitales atomicos
  de los atomos del cristal
• Donde f(r) es una autofuncion atomos aislados
• rj son las posiciones de los atomos del cristal

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Orbitales moleculares

• Consideremos un electro estado fdtal, 1s, del
  atomo de hidrogeno
• El hamiltoniano es
• El valor esperado de la energia del electron es
• Esto da ltEgt E1s -13.6eV

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Molecula Hidrogeno

• Consideremos la molecula H2 en el cual
• un electro experimenta el potencial de dos
• protones. El Hamiltoniano es,
• Aproximamos la funcion de onda del electron, como
• y

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Estados ligados y no ligados

• Valores esperados de la energia son
• E E1s g(R) para
• E E1s g(R) para
• g(R) una funcion positiva
• Dos atomos estado original 1s conduce a dos
  estados permitidos en la molecula
• Para N atomos en el solido tenemos N estados
  energia permitidos

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Aproximacion Tight binding

• Escribimos funcion de onda combinacion lineal
  orbitales atomicos
• Donde f(r) es funcion onda atomo aislado. rj son
  las posiciones atomo cristal. Consideremos
  estados s que tienen simetria esferica. Para ser
  consistentes con el teorema de Bloch.
• N es el numero de atomos en el cristal.
  para normalizacion
• Checar
• Sea rm rj - R

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• El valor esperado de la energia es
• Puede ser escrito en terminos posicion relativa
  ?m rj rm
• La suma sobre j da N ya que hay N atomos en el
  cristal.
• Como la intergral es sobre todo espacio, la
  integracion sobre (r-rm) da la misma respuesta
  que la integracion sobre r. Esto da
• Cada termino en la suma corresponde a un vector
  que va de un sitio de la red a un sitio red
  vecino.

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Aproximacion tight binding para estados s
Primer termino da energia enlace atomos aislados

• Terminos adicionales dan integrales overlap
  entre orbitales corrrespondientes a vecinos mas
  distantes
• Aproximacion Consideremos solo valores rm para
  vecinos mas cercanos.

1D rm a o a
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E(k) para una red 3D

• Cubico Simple vecinos mas cercanos en
•  
• Asi E(k) - a -2g(coskxa coskya coskza)
• Minimo E(k) - a -6g
• para kxkykz0
• Maximo E(k) - a 6g
• Para kxkykz/-p/a
• Ancho banda Emax- Emin 12g
• Para k ltlt p/a
• cos(kxa) 1- (kxa)2/2 etc.
• E(k) constante (ak)2g/2
• E (hk)2/me

Comportan como electrones masa efectiva h/a2g
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Cada orbital atomico conduce a una banda de
estados permitidos solido
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Estados Bloch Independientes
Solucion modelo Tigh Binding es periodico en K.
Aparentemente tenemos un numero infinito de
estados k para cada banda de energia
permitida Sin embargo hay estados k equivalentes

• Estados Bloch
• Sea k k? G donde k? esta en la 1era zona
  Brillouin
• y G es un vector Red reciproca.
• Pero G.R 2?n, n-entero. Definicion Red
  reciproca. Asi
• k? es exactamente equivalente a k.

Los valores k independientes son los de la
primera zona Brillouin
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Esquema de la zona Brillouin Reducida
Los k independientes esta dentro de la primera
zona de Brillouin
Resultados del calculo tight binding
2p/a
-2p/a
Resultados del calculo electron cuasi-libre
Esquema zona Brillouin Reducida
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Esquemas de las zonas de Brillouin Extendida,
reducida y periodica
Zona Periodica Zona Reducida Zona
Extendida Todos los estados permitidos
corresponden a vectores de onda k que se
encuentran dentro de la primera zona de
Brillouin Puede representarse E(k) de 3
maneras diferentes
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El numero de estados en una banda

• Estados k independientes estan dentro 1a Z. B.
  ?kx? lt ?/a etc.
• Cristal Finito Estados k permitidos discretos
• Cristal cubico simple monoatomico, constante red
  a, y volumen V.
• Un estado permitido en un volumen (2?)3/V en el
  espacio K
• Volumen de la 1a Z. B. Es (2?/a)3
• El numero total de estados permitidos en una
  banda es

Cada celda primitiva contribuye exactamente con
un estado k para cada banda de Energia. Llevando
en cuenta principio exclusion de Pauli hay maximo
2N electrones en cada banda. Este resultado es
valido para toda red
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Metales y aislantes

• En una banda completamente llena hay 2N
  electrones. Todos los estados dentro de la
  primera zona de Brillouin estan ocupados. La suma
  de todos los vectores de onda K en la banda es
  igual a cero.
• Una Banda parcialmente llena puede trnsportar una
  corriente, una banda llena no lo puede hacer
• Aislantes se caracterizan por tener un
• numero entero par de electrones por
• celda primitiva
• Con un numero entero par de electrones
• por celda primitiva puede aun presentarse
• un comportamiento metalico si hay un
• sobrelapamiento de las bandas
• sobrelapamiento energia no debe ocurrir
• en la misma direccion de k.

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EF
EF
AISLANTE METAL METAL o SEMICONDUCTOR o
SEMI-METAL
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Bandas en 3D
Germanium

• La estructura de Bandas en 3D es mucho mas
  complicada que en 1D Debido a que los cristales
  no tienen simetria esferica.
• La forma de E(k) depende tanto de la direccion
  como de la magnitud de K

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