Presentazione di PowerPoint

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO
II    
Superfici materiali e non materiali in Fisica
Dicembre 2008
A. Romano antroman_at_unina.it
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Superficie materiale
La superficie S tra due mezzi contigui è
materiale se le particelle dei due mezzi non
possono attraversarla
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Esempi

• La superficie di separazione tra due dielettrici
• La superficie tra olio ed acqua
• Una lamina di sapone (bolla)

Una superficie materiale può essere geometrica o
costituita da materia e possedere proprietà
meccaniche.
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Superficie non materiale
La superficie S di separazione tra due mezzi è
non materiale se essa può essere attraversata
dalle particelle dei due mezzi.
Le particelle dei due mezzi, contigue ad una
superficie non materiale S, cambiano ad ogni
istante.
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Esempi di superfici non materiali

• Interfaccia solido-liquido
• Interfaccia liquido-vapore
• Interfaccia tra un cristallo e la miscela
• Colata continua
• Pareti di Bloch nei cristalli ferromagnetici e
• ferroelettrici
• Onde ordinarie e durto

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Due possibili trattazioni delle superfici
materiali e non materiali

• La superficie è sostituita da un sottile strato
• di transizione (strato limite)
• La superficie è una superficie di discontinuità
• dotata di proprietà materiali

Primo approccio
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Se y(e, x) è la soluzione del problema al
contorno al variare di e, accade che
dove y0(x) è la soluzione dellequazione che si
ottiene per e 0?
Quando il piccolo parametro moltiplica le
derivate di ordine massimo il termine che lo
contiene non può trascurarsi.
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La soluzione della precedente equazione ha
landamento mostrato in figura
1
1
0
d
dove d diminuisce al diminuire di e (strato
limite).
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Se si vuole riguardare la superficie di
separazione tra due regioni contigue come un
sottile strato, occorre che le equazioni che
descrivono il sistema presentino le derivate di
ordine massimo moltiplicate per un piccolo
parametro.
Es. Equazione dei liquidi viscosi di Navier-Stokes
dove è il numero di Reynolds.
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Goccia dacqua in equilibrio in aria
Equazione di Eulero (in assenza di spinta
archimedea e del peso)
Poiché p p (?), la densità è costante è non vi
può essere la goccia. Assumendo che
con altlt1, si ottiene lo strato limite e quindi la
goccia.
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Secondo approccio
Si supponga che la superficie della goccia sia
una superficie materiale in grado di esercitare
una tensione tangenziale ? isotropa ed uniforme
(proprietà meccaniche). La condizione di
equilibrio diventa
dove il raggio R è incognito. Per una forma non
sferica si ha
con H curvatura media (problma di Plateau).
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Si osservi che nel caso delle bolle di sapone la
pressione è nota sia allinterno che allesterno
della bolla ed R è la sola incognita del
problema. Per una goccia dacqua di
condensazione la pressione interna è incognita ed
occorre aggiungere una condizione termodinamica
per ottenere il pareggiamento, ossia la
continuità del potenziale di Gibbs attraverso S.
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Congelamento dellacqua
Problema unidimensionale
Energia per unità di volume e c ? Vettore
corrente di calore h - k ??
Bilancio di energia
dove V è un arbitrario volume fisso.
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• Linterfaccia è uno strato limite di transizione
  per
• il campo di temperatura
• h - k?? ?a???, kgt0, altlt1.

Condizioni al contorno.
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Il problema di Stephan

• Linterfaccia è una superficie di discontinuità.
  Inoltre
• h - k ??
• e c ?

nel volume
sullinterfaccia
Condizioni al contorno temperature agli estremi
e temperatura di fusione ? 0 sullinterfaccia.
Incognite il campo di temperatura ?(x,t) e lo
spessore di ghiaccio s(t).
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Formulazione generale
I sistemi con strato limite possono descriversi
sostituendo lo strato limite con una superficie
materiale o non materiale eventualmente dotata
di proprietà meccaniche e termodinamiche. Limpie
go di questo modello richiede la
formulazione delle leggi generali di bilancio per
un sistema continuo con interfaccia.
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La legge generale di bilancio
18
La legge generale di bilancio
Una legge generale di bilancio per il campo ?
trasportato con velocità v si scrive
dove c(t) è un volume fisso e
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Difficoltà

• Calcolare la derivata temporale dellintegrale di
  superficie
• (determinare esplicitamente s(t) in termini
  della forma del
• volume c, della velocità normale
  dellinterfaccia e dello
• spostamento della curva di discontinuità G)
• determinare lequazione del bordo ?s(t) di s(t)
• assegnare ?s e Fs a partire dal problema fisico
  in esame.

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Cristalli

• Equilibrio di un cristallo macroscopico
• nel suo liquido
• nel suo vapore
• in una miscela binaria contenente la fase
• liquida del cristallo.
• La legge di Gibbs
• La legge di Wulff

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La legge di Gibbs
Fissato il poliedro cristallino regolare convesso
rispetto ad un suo punto interno, con N facce, la
configurazione di equilibrio corrisponde al
minimo dellenergia superficiale
a volume costante
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Cristalli
La legge di Gibbs

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Minimizzando il funzionale si trovano
infinite configurazioni di equilibrio. Tra queste
figurano quelle per cui
dove ? è una costante dipendente dal volume del
cristallo e hi la distanza della faccia i-ma da
un punto fisso interno al cristallo.
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Cristalli
La legge di Wulff

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Ferromagnetismo

• Il volume di un cristallo ferromagnetico è
  lunione di regioni
• in cui la magnetizzazione è costante (domini
  di Weiss).
• Ciascuna regione è separata da quelle contigue da
  sottili
• strati (pareti di Bloch) in cui la
  magnetizzazione varia rapidamente.
• Micromagnetismo Le configurazioni di equilibrio
  di un cristallo ferroelettrico si ottengono
  minimizzando lenergia totale di magnetizzazione
  del cristallo a volume costante.

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Esempio

• In un cristallo uniassiale che occupa il volume
• di un parallelepipedo retto, in assenza di campo
• magnetico esterno, si ha la seguente
• distribuzione di domini

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Micromagnetismo

• Le configurazioni di equilibrio di un cristallo
  ferroelettrico,
• In assenza di campo magnetico esterno, si
  ottengono
• minimizzando lenergia totale di magnetizzazione

dove m è il versore di magnetizzazione. Per
cristalli uniassiali
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