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A RETA
Fonte PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria
Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo Nobel, 1983.
2
Determinação de uma reta no plano.
B(x,y)
A(x,y)
Conhecendo as coordenadas de dois pontos
distintos A e B de uma reta, podemos
representá-la no plano cartesiano, pois dois
pontos distintos determinam uma reta.
3
Equação geral da reta no plano cartesiano.
B(x,y)
C(x,y)
A(x,y)
Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta
r, pela condição de alinhamento de três pontos, o
determinante formado por esses pontos vale zero (
D0)
4
Equação geral da reta, determinada por dois pontos

Desenvolvendo o determinante obtemos a equação
ax by c 0   que é chamada equação geral da
reta r
5
Exemplo Determinar a equação da reta que passa
por A(1,3) e (2,4)

Desenvolvendo o determinante obtemos a equação
1x -1y 2 0   que é chamada equação geral da
reta r
6
Equação reduzida da reta.
Da equação geral da reta ax by c 0, obtemos
a equação reduzida da reta y mx k, onde m é
o coeficiente angular da reta e k coeficiente
linear da reta, ou a equação na forma y ax
b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente
linear).
7
Exemplo de equação reduzida da reta.
6x-3y-120
Da equação geral
- 4
Y
2.x
obtemos a equação reduzida da reta
Cuja representação gráfica é
Onde
c.a 2
m2
c.l - 4
- 4
8
Equação segmentária da reta
axbyc0
Da equação geral
obtemos a equação segmentária da reta
by/c
c/c
ax/c
x/p y/q1
Graficamente temos
p
q
9
Exemplo de equação segmentária da reta.
6x-3y-120
Da equação geral
6x-3y 12
obtemos a equação segmentária da reta
- 3y/12
12/12
6x/12
x/2 y/ - 41
Graficamente temos
2
- 4
10
Equação paramétrica da reta.

• Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta
  vem com suas coordenadas x e y expressas em
  função de uma terceira variável t (denominada
  parâmetro), nós temos nesse caso as equações
  paramétricas da reta.
• Se x f(t) e y g(t) onde f e g são funções
  de 1º grau.
• Nestas condições , para se encontrar a equação
  geral da reta , basta se tirar o valor de t em
  uma das equações e substituir na outra .

11
Exemplo de equação paramétrica da reta.
e
Y t3
Dados os pontos
X 2.t1
Coordenadas do ponto P(x,y)
t y- 3
Isolando t em y temos
Substituindo t em x temos
x 2.(y- 3)1
Organizando, obtemos a equação geral
x-2y50
Obs existe outra forma de obtermos a equação
geral, em uma equação paramétrica
12
Equação fundamental da reta.
Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y)
e tem coeficiente angular m
P(x,y)
(?)
13
Equação fundamental da reta.

• A equação y yo m (x xo) onde (xo,yo) é um
  ponto conhecido e m é o coeficiente angular da
  reta, é chamada equação fundamental da reta

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Exemplo aplicação da equação fundamental da reta
e
A equação da reta que passa por P(2,3)
Tem coeficiente angular m -2
é
y- 3-2(x- 2)
3
m -2
2
Equação geral2.xy-70
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COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

• O coeficiente angular de uma reta ( m )é um
  número real a que representa a sua inclinação
  (?). Por definição, temos que

• m a tg ?

• São quatro as possibilidades para o coeficiente
  angular

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COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
? é agudo ? a gt 0
Neste caso a reta tem um coeficiente angular
positivo.
17
COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
? é obtuso ? a lt 0
Neste caso a reta tem um coeficiente angular
negativo.
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COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
? 0º ou 180º ? a 0
? 90º ? a não existe
Neste caso a reta tem um coeficiente zero.
Neste caso a reta não tem coeficiente angular
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Dada a equação geral axbyc0, podemos
determinar o coeficiente angular através da
expressão.
-a

• Exemplo

m
b
Qual o c.a na equação 3x-2y50
- 3
3
m
m
2
-2
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Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o
coeficiente angular da reta que passa por esses
pontos é representado por
yb-ya
m
xb-xa
Qual o c.a da reta que passa por A(3,6) e
B(5,10)

• Exemplo

10 - 6
4
2
m
m
m
2
5 - 3
21
Em relação ao plano cartesiano, as retas podem
ocupar várias posições, posições estas que
determinam nomes e propriedades particulares.
Veremos aqui a algumas delas ....

• RETAS PARALELAS

• RETAS CONCORRENTES

• RETAS PERPENDICULARES

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• RETAS PARALELAS
• retas paralelas tem os mesmos coeficientes
  angulares

• RETAS CONCORRENTES
• tem os coeficientes angulares diferentes.

• RETAS PERPENDICULARES
• Formam entre si ângulo de 90º.

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• RETAS PARALELAS
• tem os coeficientes angulares iguais
  
• (m1 m2)

m2
m1
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• RETAS CONCORRENTES
• tem os coeficientes angulares diferentes
  
• (m1 diferente de m2)

m2
m1
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• RETAS PERPENDICULARES
• Formam entre si ângulo de 90º
• O produto entre os coeficientes angulares vale -1
  (m1 . M2 -1)

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DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Dado um ponto P(X,y) e uma reta r axbyc0, a
distância entre o ponto e a reta é representada
por
dp,r

P(x,y)
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Ângulo formado por duas retas Sendo mr e ms os
coeficientes angulares das retas r e s
respectivamente , a tangente do ângulo agudo
formado pelas retas é dado por
r
s
mr
ms
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Livro de matemática volume 3 editora Moderna ,
autor Manoel Paiva
www.net-rosas.com.br
www.unificado.com.br/matematica
Fonte PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria
V. 1, 36. ed., Sao Paulo Nobel, 1983.