Presentaci

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5. CORRELACIONES CANÓNICAS

• Introducción
• Construcción de correlaciones
• canónicas
• Correlaciones canónicas para
• variables estandarizadas

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Introducción
Dadas las variables donde es siempre
la de menor dimensión, se quiere identificar y
cuantificar asociaciones entre las dos variables.
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Introducción
Procedimiento
Construir combinaciones lineales con
máxima correlación. Después, obtener otras
combinaciones lineales con máxima correlación e
incorreladas con las anteriores.
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Introducción
A estas combinaciones lineales se les llama
variables canónicas, y las correlaciones entre
ellas son las correlaciones canónicas. Sean
VX(1)
EX(1)
EX(2)
VX(2)
El objetivo es sustituir la información en
por unas pocas combinaciones lineales muy
asociadas entre sí.
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas
Sean
con
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas

• El primer par de variables canónicas (U1,V1)
  está
• formado por variables de varianza unidad que
• maximizan la correlación entre U y V.
• El segundo par de variables canónicas (U2,V2)
• está formado por variables de varianza unidad,
• incorreladas con (U1,V1), que maximizan la
• correlación entre ellas.
• ...
• El k-ésimo par de variables canónicas (Uk,Vk)
  está
• formado por variables de varianza unidad,
• incorreladas con las k-1 anteriores, que
  maximizan la
• correlación entre ellas.

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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas
Teorema
Sea
con
Sea ? de rango completo. Sean
combinaciones lineales.
mayor autovalor de
Entonces se obtiene con
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas
El k-ésimo par de variables canónicas, k
2,3,...,p, es
y maximiza entre todas
las combinaciones lineales incorreladas con los
k-1 pares de variables canónicas anteriores.
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas
Además, son los
autovalores de
y los correspondientes
autovectores. También,
son los autovalores de y los
correspondientes autovectores.
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Construcción de correlaciones canónicas
Se verifica que
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas para
variables estandarizadas
Teorema
Sea
con
El k-ésimo par de variables canónicas, k
1,2,3,...,p, es
donde ek y fk son los autovectores de y de
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas para
variables estandarizadas
Se tiene que , k
1,2,...,p, donde son los
autovalores de cualquiera de las dos matrices
anteriores.
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CORRELACIONES CANÓNICAS
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Construcción de correlaciones canónicas para
variables estandarizadas
Ejemplo
Calcular las correlaciones canónicas
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