Presentaci

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Matemática Básica para Economistas MA99
UNIDAD 6 Clase 14.1
Tema Composición de Funciones Función Inversa
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Composición de Funciones
Ejemplo El ingreso mensual I obtenido por vender
zapatos de determinado modelo es una función de
la demanda x del mercado. Si una función
ingreso mensual y la demanda dependieran del
precio p por par,tal como se muestra I
300p - 2p2 y p300 x/2. Cómo depende I de
x?
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Composición de Funciones
Definición Sean f y g dos funciones. Sea x en el
dominio de g de tal manera que g(x) pertenezca al
dominio de f. Entonces la composición fog (f
compuesta con g) se define por
(f o g)(x) f(g(x))
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Composición de Funciones
Por ejemplo
y
g(x)
y
(fog)(x)
f(x)
x
x
0
2
2
-2
Dom(f) R Dom(g) 0, 8
Dom(fog) 2, 8
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Composición de Funciones
fog
x .
. g(x)
.f(g(x))
Dom de g
Ran de f
Ran de g
Dom de f
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Composición de Funciones
La función compuesta fog, de dos funciones, f y g
se define así (fog)(x) f(g(x)) El
dominio de fog es el conjunto de todas las x en
el dominio de g, tales que g(x) esté en el
dominio de f.
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Ejemplo
Sean las funciones
a) Determinar la regla de correspondencia
(fog)(x) y el dominio de fog
b) Determinar la regla de correspondencia
(gof)(x) y el dominio de gof.
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Ejemplo
Sean las funciones
Evalúe
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Ejemplo
Sean las funciones

a) Determine fog.
b) Determine fog(-1).
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Composición de FuncionesAplicación

• Un estudio ambiental de cierta comunidad señala
  que el nivel medio diario de monóxido de carbono
  en el aire será
  partes por millón cuando la población es de p
  miles. Se estima que dentro de t años, la
  población de la comunidad será de
• 
  miles.
• Grafique en un plano coordenado la función C(p)
  indicando su dominio y rango.
• Calcule e interprete la función (CoP)(t)

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Función Inversa

• Introducción
• Supongamos que la función de demanda de un
  mercado es lineal y puede representarse como
• p -3q 8
• Cómo expresa la demanda en función del precio?,
  Cómo sería la gráfica?

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Definición previa función biunívoca

• Una función f , con dominio D es una función
  biunívoca si cumple una de las condiciones
  siguientes
• - Si a ? b en D, entonces f(a) ? f(b)
• - Si f(a) f(b), entonces ab en D

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Ejemplo 1 Es biunívoca la función f, con regla
de correspondencia f(x) 2x-1?
Si es biunívoca
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Ejemplo 2Es biunívoca la función f(x)x2-1?
No es biunívoca
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En qué dominio será biunívoca?
x?0 ?
x?? -? 0?
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Observaciones

1. Una función f es biunívoca si y sólo sí toda
   recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más
   en un punto.
2. Una función creciente es biunívoca.
3. Una función decreciente es

biunívoca
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Función Inversa

• La función inversa de f se denota por f-1

Definición
Si f-1 es inversa de f (fof-1)(x) x
Dom (f-1) Ran (f) Ran (f-1) Dom (f)
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Función Inversa

• Para determinar la función inversa (f-1)

1. Verificar que f es biunívoca.
2. Despejar x en términos de y.
3. Cambiar x por y.

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Ejemplo

• Hallar f-1(x) si f(x) 4x 3, si x e -2, 5

Dom f-1 Ran f
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Regla la función inversa f-1 es simétrica con f,
respecto a la recta y x
f(x)
y x
f(x)
f-1(x)
x
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Halle la inversa de f(x) x2 - 1, xgt0 y
grafique f y f-1 en el mismo plano
1. Es biunívoca en xgt0
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Graficando f y f -1 en un mismo plano
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Por qué una función que no es biunívoca no
tiene inversa?
No sería una función
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Ejercicios

• Hallar y graficar