Presentazione di PowerPoint

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Università degli Studi di Bologna
Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in
Ingegneria Informatica Ottimizzazione
Combinatoria
ALGORITMI EURISTICI PER PROBLEMI DI PACKING
di Alberto Nuzzo
Relatore Chiar.mo Prof. Ing.Paolo Toth
Correlatori Prof. Ing. Alberto Caprara
Dott. Ing. Michele Monaci
Anno Accademico 2001-2002
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Il Bin Packing Problem

• Dati
• n oggetti (items) con peso wj gt 0 (j 1,,n)
• m contenitori (bin) identici con capacità c

Obiettivo inserire tutti gli items nei bin in
modo che

• in ogni bin la somma dei pesi degli items
  inseriti non superi la capacità del bin stesso

• il numero dei bin utilizzati sia minimo

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Il Bin Packing Problem

• Applicazioni
• taglio di unità standard di materia prima
• imballaggio per problemi di
• immagazzinamento e di trasporto
• impaginazione articoli nei giornali
• problemi di determinazione di layout.

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Il Bin Packing Problem
Modello Matematico tradizionale
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Il Bin Packing Problem
Modello Matematico tradizionale
BPP Complessità NP-HARD
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Il Bin Packing Problem
Modello Matematico di tipo Set-Covering
7
Il Bin Packing Problem
Modello Matematico di tipo Set-Covering
min ?S?S ?S
subject to
dove
?S

• Caratteristiche
• S elevata
• Set Covering ? NP-Hard

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Il Two-Dimensional Vector Packing Problem
Generalizzazione del BPP è lm-Dimensional Vector
Packing Problem (m-DVPP) in cui

• ogni oggetto j ha m attributi wj1,,wjm 0
  (j1,,n) con wji gt 0
• i contenitori hanno m capacità c1,,cm gt 0

Ogni attributo è indipendente dagli altri.
2-DVPP caso particolare del m-DVPP dove gli
attributi degli oggetti e dei relativi
contenitori sono 2
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Il Two-Dimensional Vector Packing Problem
Modello Matematico tradizionale
subject to
dove
wj ? 1 peso delloggetto j nella prima dimensione
(j1,,n) vj ? 1 peso delloggetto j nella
seconda dimensione (j1,,n) c d 1
capacità contenitori nelle due dimensioni
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Il Two-Dimensional Vector Packing Problem
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Il Two-Dimensional Bin Packing Problem

• Generalizzazione del BPP è lm-Dimensional Bin
  Packing
• Problem (m-DBPP) in cui
•   ogni oggetto j ha m dimensioni wj1,,wjm gt 0
  (j1,,n)
•   i contenitori hanno m capacità c1,,cm gt 0

Le varie dimensioni sono tra loro correlate.
2-DBPP caso particolare dellm-DBPP dove le
dimensioni degli oggetti e dei relativi
contenitori sono 2
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Il Two-Dimensional Bin Packing Problem
Applicazioni

• Problemi di impaccamento e caricamento veicoli
• problemi di gestioni risorse
• problemi di taglio di unità standard di materia
  prima.

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Il Two-Dimensional Bin Packing Problem
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Il Set Covering Problem
Definiamo A (aij) matrice binaria di m righe
ed n colonne se aij 1 si dice che la colonna
j copre la riga i c (cj) vettore
n-dimensionale dei costi dove cj rappresenta il
costo della colonna j ( j ? S )
Obiettivo determinare un sottoinsieme di
colonne S ? N, di costo minimo, tale che ogni
riga i ? M sia coperta come minimo da almeno una
colonna j ? S
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Il Set Covering Problem
Modello Matematico è il seguente
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Algoritmo Proposto
Calcolo Lower Bound
Algoritmi Euristici
RIEMPIMENTI
Algoritmo Esatto
Soluzione Ottima Fine Algoritmo
Algoritmi Euristici Perturbati
Hashing
C F T
Y K I
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Algoritmo Proposto
Calcolo Lower Bound
Y K I
MATRICE SCP
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Sistema Utilizzato
Gli algoritmi presentati relativamente alla Fase
1 sono implementati in FORTRAN 77, mentre
lalgoritmo YKI è implementato in C e sono
stati testati nel laboratorio di Ricerca
Operativa su un calcolatore in dotazione al
dipartimento del D.E.I.S., con le seguenti
caratteristiche Processore PIII Frequenza
700Mhz Memoria 128Mb di RAM.
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Le Istanze per il 2-DVPP

• 10 Classi ( 1,...,3 Spieksma 4,...,10 Caprara e
  Toth)
• Per ogni Classe problemi con n oggetti, dove n
  assume i valori di 25, 50, 100,
  200 ( 4 Dimensioni )
• 10 Istanze per ogni categoria Classe-Dimensione
• Classe 10 Numero n di oggetti multiplo di tre,
  dove n
  
  
  
  assume i
  valori di 24, 51, 99, 201.

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Le Istanze per il 2-DBPP

• 10 Classi ( 1,...,6 Berkey e Wang, 7,...,10
  Martello e Vigo)
• Per ogni Classe problemi con n oggetti, dove n
  assume i valori di 20, 60, 80, 100 ( 5
  Dimensioni )
• 10 Istanze per ogni categoria Classe-Dimensione.

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Alberto Nuzzo
2-DVPP
TFASE1 90 sec, TES 9, TCFT 90, TYKI 600
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2-DBPP
TFASE1 45 sec, TES 9, TCFT 135, TYKI 600
23
2-DBPP
TFASE1 45 sec, TES 9, TCFT 135, TYKI 600
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
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CONCLUSIONI
Nei due problemi presi in esame, cioè il 2-DVPP e
il 2-DBPP, lalgoritmo CFT offre in quasi tutte
le istanze risultati migliori dellalgoritmo YKI.
Lalgoritmo YKI fornisce un lower bound
sensibilmente più alto, quindi migliore, in quasi
tutte le istanze considerate.