VECTORES EN EL PLANO

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VECTORES EN EL PLANO
Nivel 4º E.S.O.
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El concepto de vector está motivado por la idea
de desplazamiento en el espacio
Si una partícula se mueve de P a Q determina un
segmento de recta dirigido con punto inicial P y
punto final Q
P
Q
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La magnitud del vector es la longitud de ese
desplazamiento y se denota por
R
S
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Un vector es un segmento orientado
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La dirección del vector viene dada por el punto
inicial y el punto final. En este sentido
Vectores de la misma dirección
Vectores en direcciones distintas
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Vectores Equivalentes
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos
dirigidos equivalentes
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Eje y
O
Eje x
Representante del vector por el origen de
coordenadas
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A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así
P(a,b)
b
a
(a,b) son las coordenadas del vector u y
también del punto P
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6cm
31º
10cm
11
15cm
b?
11º
a?
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Dirección ? de u Angulo positivo que forma con el
eje X
Magnitud o módulo de un vector u
Un vector de módulo uno se llama unitario
El vector nulo (0,0) no tiene dirección
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Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo ?
que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo ?
que forma con el eje X
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Los vectores i(1,0) y j(0,1) son los
vectores unitarios en la dirección de los ejes
coordenados
Todo vector (x,y)x(1,0)y(0,1), es decir, es
combinación lineal de los vectores i,j
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Halla el módulo del vector u(1,1) i j y el
ángulo ? que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(1,3) i 3 j y el
ángulo ? que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(-2,3) -2i 3 j y el
ángulo ? que forma con el eje X
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Operaciones con vectores

• Sean u(x,y) y v(a,b) vectores en el plano y ?
  un número real. Se define el vector
• suma uv como
• uv (xa, yb)
• producto por un escalar ? u como
• ? u(?x, ?y).

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Operaciones con vectores
Si u(2,3), v(4,1), gráficamente uv(6,4) es
la diagonal mayor del paralelogramo
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Operaciones con vectores
Si u(2,3), v(4,1), gráficamente v-u(2,-2)
es la diagonal menor del paralelogramo
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Operaciones con vectores
Si u(x,y), v(a,b), gráficamente
uv(xa,yb) es la diagonal mayor del
paralelogramo
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Operaciones con vectores
?gt0
0lt?lt1
?lt0
Si u(x,y), ??? ?u(?x, ?y)
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Producto escalar
Se define el producto escalar de dos vectores
u(x,y) y v(a,b) como
u.vuvcos?
? Se define el ángulo entre dos vectores u y v
como el ángulo ? no negativo mas pequeño entre u
y v.
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El producto escalar de los vectores canónicos
i(1,0), j(0,1) será i.ij.j1 i.jj.i0
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Nueva definición de Producto escalar
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Producto escalar
Se define el producto escalar de dos vectores
u(x,y) y v(a,b) como
u.vaxby
Se define el ángulo entre dos vectores u y v
como el ángulo ? no negativo mas pequeño entre u
y v.
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Producto escalar
Dos vectores son paralelos si el ángulo entre
ellos es 0 o ?.
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo
de ?/2
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Propiedades del producto escalar

• u.0 0
• u.v v.u (propiedad conmutativa)
• Si u.v 0 y ninguno de ellos es nulo entonces
  los vectores son perpendiculares.

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Teorema
Interpretación geométrica
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Ejemplo Sean los vectores A 4i y B i 2
j . Representarlos y determinar su módulo. El
producto escalar de A por B. Halla el ángulo
entre A y B.