Le Macchine Elettriche

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Le Macchine Elettriche
Alfredo Contin Università di Trieste

• Programma del Corso per i primi 3 CFU (30 ore
  circa)
• trasformatori
• motori in CC con diverse eccitazioni
• motori sincroni a poli lisci e salienti
• motori ad induzione (asincroni) avvolti e a
  gabbia
• Principi di funzionamento
• Equazioni per la statica e la dinamica
• Caratteristiche di macchina per la regolazione
  della velocità delle macchine rotanti

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Programma del Corso per ulteriori 3 CFU (30 ore
circa) Le equazioni per la dinamica per i vari
tipi di macchine - funzioni di trasferimento ed
equazioni di stato - esempi di transitori di
accensione e spegnimento Trasformatori - Il
modello del trasformatore per lo stato
stazionario - I diagrammi fasoriali - le
caratteristiche di macchina Le Macchine
Asincrone - il modello trasformatorico - le curve
caratteristiche (diagramma circolare) -
Laddensamento di corrente ed i rotori a gabbia -
Le armoniche del Campo Rotante - Le coppie
parassite
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Programma per lultima parte del corso 3 CFU (30
ore circa) Generatori Sincroni - Alternatori - i
modelli di macchina ed i relativi circuiti
equivalenti - le curva caratteristiche di
macchina I Generatori in Continua - Modelli e
curve caratteristiche - Studio della
commutazione Le prove di tipo sulle macchine
elettriche - prove a vuoto ed in corto circuito -
determinazione di alcuni parametri caratteristici
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Riferimenti Bibliografici

• Fitzgerald, Kingsley, Kusko Macchine Elettriche,
  Ed. Franco Angeli.
• Penati, Bertoni I Sistemi di Controllo,
  Ed.Zanichelli.
• Bonometti Convertitori di Potenza e Servomotori
  Brushless, Ed.Delfino
• Andriollo, Martinelli, Morini I Trasformatori,
  teoria ed esercizi, Ed.Cortina 2003
• Andriollo, Martinelli, Morini Macchine
  Elettriche Rotanti, Ed.Cortina
• appunti del corso in http//didattica.ing.units.it
  
• gt dispense
• -gt contin alfredo
• gtmacchine elettriche

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Terminologia e Convenzioni Generali
Def. di Macchina sistema interposto tra sistemi
preposti ad uno scambio di energia mediante il
controllo o la trasformazione da una forma di
energia in unaltra. di Macchina Elettrica una
delle forme di energia coinvolta è elettrica. I
Classificazione possiamo classificare le
macchine elettriche a seconda del modo di
controllare il flusso di energia a) variazione
di alcune caratteristiche elettriche
(trasformatori di tensione, di corrente, di
frequenza, convertitori statici o dinamici AC
DC) b) trasformazione dellenergia da/in
elettricaltgtmeccanica (una delle componenti è in
movimento generatori e motori elettrici) c)
trasformazione dellenergia da elettricagttermica
(stufe, forni elettrici) d) trasformazione
dellenergia da elettricaltgtchimica (pile,
accumulatori celle ad idrogeno)
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Conversione Elettromeccanica della Energia
Def. Conversione della energia elettrica con
macchine che hanno organi in movimento. Generatori
rotanti elettrici macchine elettriche che
ricevono energia meccanica in ingresso e la
trasformano in energia elettrica. Motori
elettrici macchine elettriche che ricevono
energia elettrica in ingresso e la trasformano in
energia meccanica. Macchina ideale fornisce in
uscita lo stesso ammontare di energia che ha
assorbito allingresso. Macchina reale parte
della energia in ingresso viene spesa per il
funzionamento della macchina e per sopperire alle
perdite che avvengono nella stessa. Lesame delle
cause di perdita e la stima del loro ammontare è
di fondamentale importanza sia tecnica che
economica. Se ne tiene conto introducendo il
concetto di RENDIMENTO.
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Il Rendimento
Def. Rapporto tra potenza resa (Pr) e quella
assorbita (Pa).
Dove Pp è la potenza persa in macchina. Macchina
ideale gt ?1
? funzione obiettivo da massimizzare a 1
minimizzando le perdite. Può essere espresso in
così da rendere immediata la valutazione della
potenza persa .
? è il termine di paragone, anche economici,
delle prestazioni tra macchine diverse. Pp non
rimane costante al variare del carico perché le
perdite sono legate alle prestazioni della
macchina che possono variare al variare del
carico stesso.
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Principi di Funzionamento

• Pur trattandosi di macchine diverse, il loro
  studio si fonda su una logica comune.
• la conversione elettromeccanica o il controllo di
  flusso di energia si attua per mezzo della
  interazione tra campi magnetici ed elettrici.
• Osservazione la presenza di un campo magnetico
  si spiega perché le sue forze di
  attrazione/repulsione sono, a parità di volume,
  molto più intense rispetto quelle dei campi
  elettrici.
• Se si considera lenergia specifica (densità di
  energia) in spazi di aria (traferri) che separano
  le diverse componenti di macchina, si ha che
• densità di energia gt intensità nelle forze
  in gioco gt a parità di superfici affacciate o
  volumi coinvolti
• Esempio
• densità di energia magnetica in un traferro
  soggetto a B1 T

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• densità di energia elettrostatica in un campo
  elettrico di K10000 V/cm (esistono micromotori
  basati su forze di tipo elettrostatico)
• caso dei motori endotermici gt densità di energia
  fino a 107 J/m3.
• Le macchine elettriche sono sedi di campi
  magnetici sostenuti da distribuzioni di correnti
  circolanti in circuiti elettrici immersi in mezzi
  eterogenei e non lineari, aventi prefissate
  configurazioni geometriche.
• In generale, le componenti delle macchine
  elettriche sono 3
• 1) Circuito elettrico che genera e sostiene il
  campo magnetico e trasforma lenergia elettrica
  in magnetica (sistema elettrico induttore).
• 2) Circuito che concentra il campo magnetico.
• 3) Circuito elettrico che, concatenandosi con il
  circuito magnetico da cui assorbe energia, è sede
  di grandezze elettriche generate dal campo
  magnetico stesso (sistema elettrico indotto).

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Le Ipotesi di Campo
Lapproccio logico per il loro studio è legato
alla soluzione di equazioni differenziali di
campo (metodo teoricamente corretto ma
praticamente poco utilizzabile gt software di
simulazione basato su elementi finiti e
differenze finite). Per i modelli di macchina
utilizzati nei controlli e negli azionamenti è
necessario introdurre delle ipotesi di campo
semplificative Le Ipotesi (semplificative) di
Campo hanno lo scopo di individuare landamento
qualitativo delle linee di flusso del campo
magnetico senza ricorrere alla soluzione di
complicate equazioni differenziali. Segue la
determinazione quantitativa del campo mediante le
equazioni dellelettromagnetismo applicate a
strutture semplificate
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Le Equazioni Interne di Macchina

• Si tratta di
• individuare i circuiti magnetici semplificati
• individuare i circuiti elettrici concatenati con
  il campo magnetico
• scrivere le equazioni sfruttando le regole
  dellelettromagnetismo.
• ciò porta a scrivere le equazioni interne di una
  macchina elettrica che sono
• A) Legge di Ohm per il circuito elettrico che
  genera il campo magnetico
• B) Equazione che descrive lo svolgimento del
  campo magnetico
• C) Equazione di concatenazione tra campo
  elettrico e magnetico
• D) Leggi di Ohm per i circuiti elettrici
  accoppiati con il campo magnetico (Induttore ed
  Indotto).
• Le incognite sono
• I) le correnti dei circuiti elettrici di
  macchina
• II) il flusso di induzione magnetica o flusso
  principale che si concatena con i circuiti
  elettrici (definizione critica).

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Le Equazioni Esterne di Macchina
La macchina elettrica è, per definizione, un
sottosistema che scambia energia. E necessario
introdurre delle equazioni che traducano in forma
analitica i vincoli esercitati dai sottosistemi
accoppiati con la macchina (equazioni di
collegamento esterno o equazioni esterne di
macchina) Caso dei Motori Elettrici Energia
Elettrica gt Energia Meccanica Vincoli di
Ingresso generalmente rappresentato dalla
imposizione del regime di tensioni (DC, AC, PWM,
etc.). Vincoli di Uscita è un vincolo meccanico
(coppia allasse, velocità angolare, posizione
etc). Ciò si traduce in relazioni del tipo
VV(t), TT(t), di equilibrio elettrico e
meccanico tipo Tm(t)Tr(t)F?(t)Jd?(t)/dt Osser
vazione le equazioni interne ed esterne devono
essere messe in relazione tra loro per descrivere
in modo univoco il funzionamento della macchina.
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Le Perdite nelle Macchine Elettriche

• Sulla base della descrizione dei principi di
  funzionamento, è possibile precisare la natura
  delle perdite comuni a tutti i tipi di macchine
  qui considerate (perdite attive che si
  trasformano in calore).
• La dissipazione provoca il riscaldamento della
  macchina. Il livello di temperatura deve essere
  contenuto per non provocare la degradazione dei
  materiali isolanti e di alcune parti meccaniche
  (sistemi di raffreddamento adeguati).
• Le perdite incidono sul costo di esercizio.
• La limitazione delle perdite si persegue con
• limiti per le sollecitazioni elettriche e
  magnetiche
• limiti per le sollecitazioni meccaniche
• scelta dei materiali (magnetici, conduttori,
  isolanti)
• accorgimenti costruttivi
• sistemi di dissipazione e smaltimento del calore.

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1) Perdite per Effetto Joule Sono le perdite che
si manifestano in tutte le componenti della
macchina elettrica attraversate da una corrente
elettrica. Leffetto degli urti dei portatori di
carica con la struttura da essi attraversata
produce un aumento della vibrazione atomica con
cui è costituita la struttura stessa
(caratteristica microscopica descritta dal
concetto macroscopico di calore). Dal punto di
vista macroscopico, lattitudine di un materiale
a far passare i portatori di carica viene
riassunto dal concetto di resistenza
elettrica). Se R è la resistenza dei conduttori
ed I il valore efficace della corrente che lo
percorre, la potenza dissipata per effetto Juole
vale PjRI2 R varia con la temperatura ed è
influenzata dalla frequenza (effetto pelle nei
conduttori) Le perdite possono essere valutate in
termini di perdite per unità di peso o perdite
specifiche W/Kg. è utile per il confronto tra
materiali diversi.
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Sia ? il peso specifico, l,s la lunghezza e la
sezione del conduttore j la densità di corrente,
allora ora (ls?) è il peso dellavvolgimento,
per cui
Perdite nei materiali ferromagnetici Luso di
materiali ferromagnetici è fondamentale per
realizzare circuiti a bassa riluttanza magnetica
ed ottenere circuiti magnetici che convoglino il
campo in un spazio ridotto. A parità di intensità
di campo, in assenza di tali materiali, le
correnti necessarie per la generazione del campo
dovrebbero avere una notevole intensità.
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Questi materiali non sono ideali e dissipano
energia (perdite nel ferro) se sottoposti a campi
a frequenza variabile, con due meccanismi
principali (A) perdite per isteresi e (B) per
correnti parassite. A) perdite per isteresi
magnetica in regime di frequenza variabile, ad
ogni ciclo di isteresi corrisponde, in termini di
energia dissipata per unità di volume, larea del
ciclo stesso.
PikifBM? W/Kg Pi è proporzionale alla
frequenza f, ki è una costante che dipende dal
materiale scelto, BM? riassume le caratteristiche
dellarea sottesa dal ciclo di isteresi magnetica
1.6???2.1 (??2). La scelta del tipo di materiale
ferromagnetico è legata alla applicazione e
dipende da BM e dalla forma dellarea.
Materiali migliori hanno un BM elevato ed unarea
piccola (più costosi).
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Esempio di curva di prima magnetizzazione Esempio
di curva di perdita
B) Perdite per Correnti Parassite (di Foucault) a
causa della conducibilità del materiale
ferromagnetico, in regime di frequenza variabile,
il flusso variabile induce delle f.e.m. che
generano correnti vaganti in circuiti non noti a
priori con conseguente dissipazione di energia
per effetto Joule. Se il campo varia con legge
B(t)BMcos(?t), la potenza dissipata, Pd,
risulta con i corrente istantanea concatenata
con il flusso ?.
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Se ?(t)SBMcos(?t) (s superfice appoggiata sul
circuito dove scorre la corrente i) Pd
diventa il cui valore medio, in un periodo
T?/2? vale
In regime sinusoidale, la potenza dissipata per
unità di peso può essere stimata con Pdkpf2BM2
W/Kg kp dipende allincirca,
dallinverso di ? e dalla forma geometrica della
sezione trasversale del circuito
magnetico Provvedimenti per ridurre le perdite
nel ferro a) materiali con scarsa conducibilità
(? elevato) leghe ferro silicio b) laminazione
del circuito magnetico il nucleo del circuito
magnetico è realizzato accostando lamierini di
piccolo spessore (3.5???5 mm) isolati tra loro in
modo che i tubi di flusso di correnti parassite
siano vincolati a chiudersi allinterno del
lamierino stesso.
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Si allunga il percorso della corrente in una
sezione più stretta. Pdkp?2f2BM2 W/Kg I
materiali ferromagnetici possono essere
caratterizzati da una Cifra di Perdita (Cp)
potenza persa in un Kg di materiale quando sia
sottoposto ad una induzione sinusoidale con
valore B1 T alla f50Hz. Nota Cp
gtPfCp(f/50)mBM2 W/Kg
m1.2?1.8 C) Perdite Meccaniche sono presenti
dove ci sono componenti in movimento e si
distinguono in perdite per attrito Pmaka?
ka(d?/dt) perdite per ventilazione causate dal
moto vorticoso dellaria generato da parti in
movimento o dalle ventole di raffreddamento
Pmvkv?3 kv(d?/dt)3
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• D) Perdite Addizionali
• sono perdite dovute ai flussi variabili e sono
  legate alle caratteristiche costruttive della
  macchina
• perdite per correnti parassite nei conduttori
  degli avvolgimenti
• perdite per isteresi e correnti parassite nelle
  parti metalliche della macchina che non fanno
  parte del circuito magnetico (bulloni, tiranti,
  carcassa, etc.)
• Perdite nei contatti striscianti.
• E) Perdite dovute alle armoniche
• la forma donda del campo magnetico non è
  sinusoidale (saturazione, presenza delle cave).
  Le armoniche di flusso generano solo perdite.

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La non -linearità la non linearità della
caratteristica magnetica provoca degli effetti di
distorsione che devono essere adeguatamente
valutati. Se ne da una descrizione qualitativa.
Se si impone che i flussi siano sinusoidali
(tensione impressa sinusoidale), ne segue che le
correnti di magnetizzazione (che generano i
flussi) sono distorte.
Se invece si impone che la corrente di
magnetizzazione sia sinusoidale, linduzione e,
conseguentemente il flusso, vengono distorti.
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Le Grandezze Nominali

• Tutte le macchine sono definite da un insieme di
  parametri di tipo
• costruttivo (dimensioni, tipo di avvolgimento,
  tipo di isolamento, tipo di raffreddamento.)
• funzionale (tensione, corrente, frequenza,)
• grandezze nominali definiscono le prestazioni
  agli effetti della ordinazione e del collaudo e
  corrispondono a valori di grandezze elettriche e
  meccaniche per le quali la macchina è stata
  dimensionata (dati di targa).
• I limiti elettrici e termici dipendono
  principalmente dal tipo di isolamento adottato
  che da un lato
• definisce i valori ammissibili delle
  sollecitazioni dovute al campo elettrico sui
  dielettrici,
• dallaltro stabilisce la massima temperatura
  ammissibile (Classi dIsolamento) determinata
  dalle perdite nei materiali conduttori e
  magnetici, dalle perdite meccaniche, dal tipo di
  servizio e dal sistema di raffreddamento.
• Scelta dei valori di densità di corrente e di
  induzione

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Le Classi di Isolamento
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TIPI DI SERVIZIO - TRANSITORI TERMICI

• Per tenere conto, a livello di norme, del
  comportamento in funzione del carico di un
  componente elettromeccanico si definiscono i
  seguenti diversi tipi di servizi (CEI EN34-1,
  sez.3)
• S1 - Servizio continuo
• S2 - Servizio di durata limitata
• S3 - Servizio intermittente
• S4 - Servizio intermittente periodico con
  avviamento che influenza il riscaldamento della
  macchina
• S5 - Servizio intermittente periodico con
  avviamento e frenatura che influenza il
  riscaldamento della macchina
• S6 - Servizio ininterrotto con carico
  intermittente
• S7 - Servizio ininterrotto con avviamento e
  frenatura che influenzano il riscaldamento della
  macchina
• S8 - Servizio ininterrotto con cambiamento
  periodico della velocità

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Tipo di Servizio Secondo le norme
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Tipo di Servizio Secondo le norme
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RAFFREDDAMENTO
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CLASSIFICAZIONE IN BASE AL MODO DI RAFFREDDAMENTO
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(No Transcript)
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NORME SUL TIPO DI RAFFREDDAMENTO DELLE MACCHINE
ROTANTI

• I metodi di raffreddamento delle macchine
  elettriche rotanti sono classificati dalla norma
• CEI 2-7/97- IEC 34 - 6 (IC CODE I e II)
• Il codice IC tipo I semplificato si riferisce
  solamente allaria ed è costituito dal codice IC
  seguito da due cifre caratteristiche
• La prima indica la disposizione del circuito di
  raffreddamento
• La seconda la modalità con cui è fornita la
  potenza necessaria alla circolazione del fluido
  di raffreddamento
• quando la seconda cifra è 1 (autocircolazione con
  dispositivo per muovere il fluido di
  raffreddamento montato sullalbero della
  macchina), tale cifra può essere omessa

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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• Il codice IC II completo è costituito al massimo
  da cinque lettere o numeri, ad esempio
• IC 8 A 1 W 7
• Il significato della sigle è indicato nella
  tabella seguente.

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GRADO DI PROTEZIONE DELLE MACCHINE ELETTRICHE

• MACCHINE APERTE nessun dispositivo è stato
  previsto per impedire o rendere difficile
  laccesso a qualcuna delle sue parti interne
• MACCHINE CHIUSE le parti attive sono contenute
  in un involucro che non permette il passaggio di
  aria di raffreddamento fra lesterno e linterno
• MACCHINE per Atmosfere Esplosive è una macchina
  speciale adatta a funzionare in ambienti con
  pericolo di esplosione (CEI 2-2, 88)

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• MACCHINE PROTETTE è costruita in modo da
  impedire laccesso a parti interne, senza
  ostacolare il passaggio di aria di raffreddamento
  fra lesterno e linterno
• Protetta Contro Corpi Solidi impedire la
  penetrazione di corpi solidi di diametro maggiore
  rispettivamente a 50-3-1 mm. (grossi, medi,
  piccoli)
• Protetta Contro lo Stillicidio impedire che le
  gocce liquide o particelle solide, cadenti sulla
  macchina con un angolo non maggiore di 15
  rispetto alla verticale, non possano raggiungere
  le parti attive interne, né direttamente, né
  indirettamente scivolando lungo le superfici
  inclinate

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• Protetta Contro gli Spruzzi di Acqua impedire
  che le gocce liquide o particelle solide,
  cadenti sulla macchina con un angolo non maggiore
  di 60 rispetto alla verticale, non possano
  raggiungere le parti attive interne, né
  direttamente, né indirettamente scivolando lungo
  le superfici inclinate
• Con Bocche di Ventilazione le parti attive sono
  contenute in un involucro che permette il
  passaggio dellaria di raffreddamento attraverso
  opportune aperture previste per essere raccordate
  con lambiente diverso da quello in cui la
  macchina è installata
• NORME CEI EN 60529/70-1 Gradi di protezione
  degli involucri. Norma generale che si applica a
  tutti gli apparati elettrici ed è la norma più
  generale

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• NORME CEI EN 6034-5/2-16 Classificazione dei
  gradi di protezione degli involucri delle
  macchine elettriche rotanti. Norma particolare

• CEI - IEC 34 - 5 (IP CODE)
• Il codice IP completo è costituito da due
  numeri, ad esempio
• IP 54
• Il significato della sigle è indicato nella
  tabella seguente.
• La sigla indicata come esempio significa
• macchina protetta contro lingresso di polvere in
  quantità tale da pregiudicarne il buon
  funzionamento e contro lingresso di acqua
  proveniente da qualsiasi direzione. (Lacqua non
  deve provocare effetti nocivi).

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Macchina ad Asse Orizzontale Raffreddata in
Ciclo Aperto Grado di protezione dettato dalla
forma della griglia di presa e di uscita dellaria
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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ELEMENTI OGGETTO DI UNIFICAZIONE IN UNA MACCHINA
ROTANTE
L
C
D
?1
H
?2
B
A
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FORME COSTRUTTIVE DELLE MACCHINE ELETTRICHE
ROTANTI

• Le forme costruttive delle macchine elettriche
  rotanti sono definite dalla Norma
• CEI 2-14/97 - IEC 34 / 7 (IM CODE I II)
• (Classificazione delle forme costruttive e dei
  tipi di installazione)
• Il Codice IM-I riguarda unicamente le macchine
  con supporti a scudo e con una sola estremità di
  albero
• IM B/VNumero
• Basse orizzontale Vverticale

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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• Il Codice IM completo è costituito da 4 numeri
  IM 7535
• La sigla IM 7535 significa
• macchina ad asse orizzontale
• con supporti a cavalletto, due cuscinetti, con
  piedi sollevati, su basamento su cui poggiano
  anche i supporti
• con estremità dalbero flangiata.

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(No Transcript)
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Richiami di Elettromagnetismo
Generazione del campo magnetico una corrente
elettrica produce un campo magnetico nello spazio
che la circonda. Il campo magnetico e tutti i
fenomeni magnetici, sono generati da correnti in
moto.
Cond. rettilineo
Legge di Biot-Savart
Forze magnetiche tra correnti elettriche
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Campo generato da una corrente in circuito chiuso
Legge di Ampere data una corrente I in un
conduttore a lunghezza infinita, il campo B è
costante in ampiezza lungo una linea circolare.
La circolazione magnetica valutata su un percorso
circolare di raggio R è
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Il flusso magnetico attraverso una superficie S
posta in un campo magnetico vale
Il campo magnetizzante è
Legge di circuitazione magnetica La circolazione
del campo magnetizzante lungo una linea chiusa è
uguale alla corrente libera totale che fluisce
nel percorso. Se ho N linee chiuse affiancate
Circuito magnetico ideale regione dello spazio
costituita da un tubo di flusso in cui posso
considerare il vettore B costante in modulo.
53
Dato un tubo di flusso di lunghezza L, ed A una
qualsiasi superficie che si appoggia al tubo, la
legge della circuitazione diventa
NI ampere/spire di magnetizzazione Se il tubo
di flusso è regolare a tratti
Se B è uniforme nella sezione (?ABdA). Essendo
il vettore H // a dl
Rm è la riluttanza o la resistenza magnetica del
circuito considerato
54
Legge dellinduzione (Faraday-Henry) sia ?(t) il
flusso concatenato con un circuito elettrico.
Esso induce una forza elettro-motrice (forza che
mette in moto cariche elettriche) nel circuito
elettrico in ragione della rapidità della
variazione del flusso stesso. La direzione del
moto delle cariche è tale da generare un nuovo
campo magnetico che si oppone a quello che lo ha
generato.
Flusso totale, ?(t) tiene conto del campo
generato.
Flusso concatenato è la quota delle linee del
campo che si chiudono inglobando il circuito
elettrico.
Coefficiente di Auto-Induzione Considero un
conduttore chiuso dove fluisce la corrente I. Si
genera un campo magnetico nello spazio
circostante. Possiamo calcolare il flusso del
campo magnetico attraverso il circuito dovuto al
campo generato dalla corrente che fluisce nel
circuito stesso. (flusso autoconcatenato)
55
sia ?(t) il flusso concatenato con un circuito
elettrico, esso è proporzionale alla causa che lo
genera ?(t) Li(t). L (coefficiente di
auto induzione) dipende dalla forma del
conduttore e dal mezzo in cui il conduttore è
inserito H.
56
Coefficiente di Mutua-Induzione Considero due
conduttori chiusi dove fluiscono le correnti I1
ed I2. Nel loro intorno si stabilisce un campo
magnetico le cui linee si concatenano
diversamente. Possiamo calcolare il flusso del
campo magnetico generato da I1 che si concatena
con il circuito 2 e viceversa.
?1(t) M12i2(t)
?2(t) M21i1(t)
Mij (coefficienti di mutua-induzione) dipende
dalla forma del conduttore e dal mezzo in cui il
conduttore è inserito e dallorientamento H.
57
Esempio Bilancio Energeticoesempio di studio di
un semplice sistema elettromeccanico lineare.Sia
R la resistenza dellavvolgimento, composto di N
spire, che genera il campo magnetico.Sia v(t) la
tensione applicata ai suoi morsetti. Questa fa
circolare la corrente i(t) che genera il flusso
?(t).
?(t) concatenandosi con le N spire induce una
f.e.m. (legge di Lenz).
Se applichiamo il IIprincipio di Kirchoff alla
maglia di ingresso del circuiro elettrico
si ha
Per valutare gli scambi energetici che avvengono
nel sistema nellintervallo di tempo dt, si
moltiplicano entrambi i membri per i(t)dt
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v(t)i(t)dt è lenergia elettrica assorbita nel
tempo dt dal circuito, energia fornita dalla
sorgente esterna. Ri2(t)dt è lenergia elettrica
dissipata in calore per effetto Joule sulla
resistenza R. i(t)d?(t) è la somma della
variazione di energia magnetica immagazzinata nel
circuito magnetico (dWm) e del lavoro meccanico
sviluppato (?d?) dallancora meccanica posta in
rotazione (d?) dalla coppia magnetica ?.
Se si manifesta uno spostamento d? dellelemento
mobile, ricordando lespressione della energia
magnetica in un sistema lineare il cui
coefficiente di auto induzione è L
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Ne viene che equazione fondamentale della
conversione elettromeccanica della energia. Le
grandezze variabili nel tempo in modo sinusoidale
(fasori) Legge di Faraday-Henry in forma
differenziale Legge di Ampere-Maxwell in
forma differenziale Se le grandezze di campo
elettrico (?) e magnetico (B) variano lentamente
in modo che si possano trascurare le derivate
rispetto al tempo, allora i campi elettrici e
magnetici possono essere studiati separatamente,
non interagiscono tra loro (condizione di
quasi-stazionarietà).
60
Sia y(t) una grandezza variabile nel tempo in
modo sinusoidale (cosinusoidale) y(t)YMsin
(?t?) gt y(t)YMcos (?t?) YM è il valore
massimo ?t è una fase che varia linearmente con
il tempo, t, in proporzione alla pulsazione
?2?f 2?/T. f è il numero di variazioni che la
y(t) compie al secondo (Hertz) e T è il periodo
di tempo dopo il quale la y(t) si ripete uguale a
se stessa. ? è la fase iniziale (per t0) a cui
viene associato il valore iniziale della
y(t0)y(? ). Per semplicità si assume ?0
(traslazione di assi). Valore medio
Y(t)
t
T
61
Valore medio in metà periodo
Valore efficace in metà periodo è il valore che
elevato al quadrato fornisce la potenza del
segnale in un periodo di tempo T.
62
Fattore di forma lega tra loro valore medio e
valore efficace
Rappresentazione vettoriale (i fasori) La
rappresentazione di una grandezza sinusoidale in
termini di tempo non è funzionale dal punto di
vista del calcolo. Si preferisce passare
attraverso una sua rappresentazione vettoriale
(trasformate di Steinmetz). I vettori
rappresentativi possono essere espressi
analiticamente in termini di numeri complessi e
graficamente mediante i fasori. La relazione tra
queste rappresentazioni è data dalle equazioni di
Eulero
63
Intuitivamente, se si fa ruotare un vettore r su
un piano con pulsazione costante ?, questo
descrive una traettoria circolare. Se, istante
per istante, si proietta il vertice del vettore
sullasse orizzontale e verticale, nel tempo si
viene
a tracciare una traettoria che è descivibile con
una funzione cosin e sin, rispettivamente. Se
y(t) una grandezza variabile nel tempo in modo
sin o cosin y(t)YMsin (?t?) gt y(t)IMYMe
j(?t?) y(t)YMcos (?t?) gt y(t)REYMe
j(?t?) dove y YMe j(?t?) YMe j?t ej? (YM
ej?)e j?t (YM ej?) rappresenta il valore iniziale
della nostra funzione di tempo e rimane fissa
rispetto allasse di riferimento del piano di
Gauss (Re-Im) e corrisponde al fasore della
grandezza sinusoidale.
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Il termine moltiplicativo e j?t sta ad indicare
che il vettore ruota attorno allorigine nel
verso indicato come positivo con pulsazione ?
costante nel tempo. Si può anche scrivere che
yYMe j(?t?)YMcos (?t?)jsin(?t?) la
funzione seno costituisce il coefficiente della
parte immaginaria del vettore rotante mentra la
funzione coseno costituisce quella
reale. Analogamente, YM ej?YMcos ?jsin?
YMajb Una volta conosciuto il fasore, lo posso
scrivere in forma binomia e metterlo in relazione
con altri fasoro che hanno la stessa pulsazione
come relazione tra vettori sfruttando lalgebra
vettoriale (vettori e matrici). Assegnato un
vettore rotante yYMe j(?t?), la sua derivata
vale dy/dtd(YMe j(?t?)/dyj?YMe j(?t?)
j?y. La derivata di un vettore rotante è pari al
modulo del vettore stesso moltiplicato per la
pulsazione e risulta sfasato in senso antiorario
di 90 (?/2) rispetto al vettore assegnato.