Presentazione di PowerPoint

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Reti di Calcolatori a.a. 2005/06 Lezione 7
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Nel modello di riferimento
Application
Transport
Network
Data Link
Fisico
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Rilevare errori - schema
Host1 messaggio M bit di controllo R
parola di codice C
Host2 riceve parola C
NO
SI
Host2 trasmette OK
C è una parola del codice
Errore rilevato!
ma
C C
SI
NO
Errore non rilevato!
Nessun errore!
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Codici per la correzione di errori
Per correggere un singolo errore su m bit si
devono impiegare almeno r bit di check, con 2r
? m r 1 ossia sono necessari circa log2 m bit
Esiste un codice (codice di Hamming) che
raggiunge tale limite teorico
Esiste una semplice tecnica che consente di
impiegare il codice di Hamming per correggere
burst di errori (cioè gruppi contigui di errori,
come usualmente accade nelle trasmissioni reali).
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Codice di Hamming per burst di errori
Il codice di Hamming corregge un singolo errore
su stringhe di m bit Supponiamo di voler invece
correggere un burst di al più k errori (ma non
tutti i k bit sono necessariamente
sbagliati!) 1. codificare k messaggi consecutivi
di lunghezza m, ottenendo k parole di codice di
lunghezza n 2. organizzare le k parole di codice
in una matrice 3. inviare i k bit della prima
colonna, poi i k bit della seconda colonna, . . .
, infine i k bit della n-esima colonna Se il
burst di errori è lungo al più k, ciascuna riga
della matrice può avere al più 1 bit errato,
quindi il codice è in grado di correggerlo
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Codice di Hamming per burst di errori - idea
Supponiamo di voler trasmettere parole di 7
lettere ( m 7 ) su una linea con burst di
errori di al più 5 lettere ( k 5 ). La
situazione è la seguente

a
m
a
r
e
a
n
a
m
a
X
e
a
n
p
e
p
t
i
e
d
p
e
p
X
i
e
d
i
n
a
l
i
d
r
i
n
X
l
i
d
r
f
r
o
s
i
i
n
f
r
X
s
i
i
n
e
t
t
e
a
r
l
e
X
t
e
a
r
l

1
2
3
X
X
X
X
X
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Codici per il rilevamento di errori
I codici per il rilevamento di errori sono in
pratica più diffusi dei codici per la correzione
di errori i codici per il rilevamento sono
molto più efficienti dei codici per la correzione
(meno ridondanza nei bit trasmessi) se un
codice per la correzione di 1 errore indica che
un bit è errato, vi è una probabilità non
trascurabile che si sia verificato un intero
burst di errori (gli errori tendono ad
addensarsi) Il più semplice codice per il
rilevamento di errori è il bit di parità Tale
codice ha distanza di Hamming pari a 2, quindi
garantisce solo il rilevamento del singolo errore
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Bit di parità
Un solo bit di controllo è sufficiente per
blocchi di qualunque dimensione I burst di errori
vengono rilevati solo quando il numero effettivo
di bit sbagliati è dispari, ossia con probabilità
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Un metodo per rilevare burst di al più k errori
basato sul bit di parità è il seguente 1.
distribuire i bit da trasmettere in una matrice
con righe di k bit 2. per ciascuna colonna,
calcolare il relativo bit di parità 3. inviare la
prima riga, poi la seconda riga, eccetera 4.
inviare come ultima riga i bit di controllo
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Codice polinomiale
Il codice polinomiale, detto anche cyclic
redundancy code (CRC), è il codice per il
rilevamento di errori più diffuso In apparenza è
complesso, ma esistono circuiti hardware
abbastanza semplici che lo calcolano
efficientemente E basato sulla teoria dei campi
algebrici le addizioni e sottrazioni sono
sempre effettuate modulo 2 (XOR), quindi
non esiste riporto o prestito la divisione è
effettuata come in binario, ma con sottrazioni
modulo 2 inoltre un divisore sta nel dividendo
se il dividendo ha tanti bit significativi quanti
il divisore, ossia se il resto ha strettamente
meno bit significativi del divisore
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Rappresentazione di polinomi con sequenze di bit
Il codice polinomiale è basato sulla
rappresentazione di polinomi algebrici a
coefficienti in 0, 1 con sequenze di bit Una
sequenza di m bit rappresenta un polinomio di
grado (al più) m 1 ciascun bit è il valore di
un coefficiente. Ad esempio 10001001001 corrisp
onde al polinomio x10 x6 x3 1
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Polinomio generatore
Il polinomio generatore G(x) è un polinomio
algebrico prefissato di grado r (la stringa ha r
1 bit). E conosciuto sia dal trasmittente che
dal ricevente. Il primo e lultimo bit devono
essere 1. Il messaggio da trasmettere è
rappresentato da un altro polinomio M(x) di grado
al più n - 1 (n gt r)
Idea chiave appendere al messaggio una stringa
di bit di controllo in modo tale che il polinomio
corrispondente alla parola di codice sia
divisibile per G(x)
Se uno o più errori di trasmissione modificano la
parola di codice, il polinomio corrispondente non
sarà divisibile, con alta probabilità, per G(x).
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Algoritmo di calcolo del CRC
1. Mittente e destinatario si mettono d'accordo
su un polinomio generatore G(x), con bit più
significativo e meno significativo uguali ad 1 2.
Il mittente aggiunge al frame un checksum di r
bit 0 in coda agli m bit del messaggio (la
nuova stringa rappresenta il polinomio xr
M(x)) 3. Dividere la stringa corrispondente a xr
M(x) per la stringa corrispondente a G(x) 4.
Sottrarre il resto (che ha sempre al più r bit)
dalla stringa corrispondente a xr M(x) 5. Il
risultato è il polinomio T(x) da trasmettere è
divisibile per G(x) ed i primi m bit sono uguali
a quelli di M(x) Il polinomio T (x) ricevuto
viene diviso per G(x) il messaggio viene
accettato se e solo se il resto della divisione è
zero
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Calcolo del CRC - Esempio
Fissiamo il polinomio generatore G(x) x4 x1
(corrispondente a 10011) Sia il messaggio
101101 (corrispondente a M(x) x5 x3 x2
1) Passo 1 aggiungiamo r 4 bit 0 al
messaggio 1011010000 Passo 2 dividiamo x4 M(x)
per G(x) scartiamo il risultato e teniamo il
resto (la divisione sarà 1011010000 10011
101010 con resto 1110 ) Passo 3 calcoliamo
1011010000 1110 101101 1110 Passo 4
trasmettiamo la sequenza ottenuta 1011011110
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Errori catturati dal CRC I
Sia T(x) il polinomio trasmesso, e sia T(x)E(x)
il polinomio ricevuto Ogni bit 1 in E(x)
corrisponde ad un bit invertito per
errore T(x)E(x) diviso G(x) ha resto zero se e
solo se E(x) è nullo (trasmissione senza
errori), oppure E(x) è un multiplo di G(x)
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Errori catturati dal CRC II
Se G(x) ha due o più termini, il codice
polinomiale rileva tutti gli errori singoli
(E(x) xi non può essere multiplo di G(x),
perché G(x) contiene sempre almeno due
termini) Se G(x) non è divisibile per x e non
divide alcun xk1, con k 1, . . . , n, il
codice polinomiale rileva tutti gli errori in
parole di codice da n bit consistenti in due bit
invertiti (cioè tali che E(x) xixj)
(?perché?) Ad es. x15x141 non divide xk1 per
ogni k lt 32.768 Se G(x) ha come fattore x 1,
il codice polinomiale rileva tutti gli errori
consistenti di un numero dispari di bit (?perchè?)
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Errori catturati dal CRC III
Se G(x) ha grado r (r bit di controllo), il
codice polinomiale rileva tutti i burst di al più
r errori Infatti, un burst di k errori è
rappresentato da E(x) xi (xk-1 . . .1) Dato
che G(x) contiene il termine x0, G(x) non può
avere xi come fattore se k - 1 lt r, laltro
fattore di E(x) non può essere multiplo di G(x)
(aggiungo qualcosa che è più piccolo di
G(x)). Perciò il resto di E(x)/G(x) non può
essere nullo Dato un burst di r 1 errori, la
probabilità che esso non sia rilevato è 1/2r-1
(solo quando gli r1 bits sono uguali a G(x)) la
probabilità di non rilevare un burst di più di r
1 errori è 1/2r (assumendo che allinterno del
burst gli errori si distribuiscano in modo
casuale)
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CRC standard I
Alcuni polinomi generatori sono diventati
standard internazionali CRC-8 x8 x2 x1
(usato in reti ATM) CRC-10 x10 x9 x5 x4
x1 (usato in reti ATM) CRC-12
x12x11x3x2x1 (usato per caratteri codificati
con 6 bit) CRC-16 x16 x15 x2 1 (usato per
caratteri ad 8 bit) CRC-CCITT x16 x12 x5 1
(usato da HDLC) CRC-32 x32 x26 x23 x22 x16
x12 x11 x10 x8 x7 x5 x4 x2 x 1 (usato
in IEEE 802 e in reti ATM)
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CRC standard II
Il codice a 32 bit CRC-32 rileva tutti gli
errori singoli e doppi tutti gli errori con
numero dispari di bit tutti i burst di errori
di lunghezza al più 32 teoricamente, il
99.9999999 di tutti i burst di errori lunghi più
di 32 bit In realtà la stima teorica per i burst
lunghi 33 o più bit è troppo ottimistica, in
quanto i bit erronei non sono distribuiti
allinterno del burst in modo veramente casuale