Ptolemaiosz t

1
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 1.

• Állítás A húrnégyszög szemközti oldalainak
  szorzatának összege egyenlo az átlók
  szorzatával.
• Jelöléssel ABDCBCADACBD
• Vagyis acbdef

Bizonyítás
Csináljuk együtt!Vegyél elo papírt, ceruzát,
körzot és vonalzót! Készítsd el Te is ezt a
rajzot!Az ABD szöget mérdd a BC oldalhoz a
négyszög belseje felé.Az így kapott szögszár
metszi az e átlót E pontban.Az így kapott ABD
és CBE szögek tehát egyenlok. Jelöld oket egyíves
szögnek.Ha kész vagy, mehetünk tovább!
2
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 2.
Te is ezt kaptad?Most hasonlítsd össze az ADB és
ACB szögeket.Milyenek egymáshoz képest ? És
miért?Ha kész vagy, mehetünk tovább!
3
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 3.
Az ADB szög ACB szöggel, hiszen mindketten az
AB ívhez tartozó kerületi szögek. Jelöld Te is
oket kétíves szögnek.Mit mondhatunk az ABD és az
EBC háromszögekrol? És miért?Ha kész vagy,
mehetünk tovább!
4
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 4.
Az ABD és EBC háromszögek hasonlók, hiszen két
szögük megegyezik. Ebbol mi következik?Ha kész
vagy, mehetünk tovább!
5
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 5.
Mivel az ABD és az EBC háromszögek hasonlók,
ezért oldalainak aránya megegyezik. Írd fel az
aránypárt. Az ABD háromszögbol válaszd ADd és
BDf oldalakat. Melyik két oldalt kell
választani az EBC háromszögbol?Ha kész vagy,
mehetünk tovább!
6
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 6.
Az aránypár helyesen ADBDECBC, vagyis
dfECb.Fejezd ki ebbol EC szakaszt! Ha kész
vagy, mehetünk tovább!
7
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 7.
Az aránypár EC-re rendezve ECbd/fMost
hasonlítsd össze a BAC és BDC szögeket! Mekkorák
egymáshoz képest és miért?Ha megvagy, mehetünk
tovább!
8
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 8.
A BAC és a BDC szögek is egyenlok, mert
mindketten a BC ívhez tartozó kerületi szögek.
Jelöld oket Te is kétíves áthúzottan.Milyenek
egymáshoz képest az ABE és a DBC háromszögek?
Miért? Mi következik ebbol?Ha kész vagy,
mehetünk tovább!
9
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 9.
Az ABE és a DBC háromszögek hasonlók, hiszen a
BAC és BDC szögek egyenlok, de egyenlok az ABE és
DBC szögek is., hiszen mindketten tartalmazzák az
egy íves szögeket és a DBE szöget. Jelöld ezt a
DBE szöggel, egyíves áthúzottan.Az ABE és DBC
háromszögek hasonlóságából az oldalak arányának
egyenlosége következik. Írd fel az aránypárt!
Válaszd az ABE háromszögbol az AE és AB
oldalakat!Ha kész vagy, mehetünk tovább!
10
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 10.
Az ABE és DBC háromszögek hasonlóságából a
következo aránypárt lehet felírniAEABDCBD,
vagyis AEacf.Ugye Te is ezt kaptad?Fejezd ki
ebbol AE-t! Majd a most kapott egyenloséget add
össze a 7. Lépésben az EC szakaszra kapott
egyenloséggel!Ha kész vagy, mehetünk tovább!
11
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 11.
Az AEABDCBD, vagyis az AEacf aránypárból
AE-t kifejezve kapjuk AEac/f A 7. Lépésben
EC-re azt kaptuk, hogy ECbd/fA kettot összeadva
AEECbd/fac/f
De AEECACeIgy ACe(acbd)/fEbbol efacbd
. Ezt kellett bizonyítani.