Chapitre 5 : Etude de la Stabilit

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Chapitre 5 Etude de la Stabilitédes systèmes
dynamiques
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5.1 Définition
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Première approche de la stabilité

• Ce n est pas la résonance !
• Système stable en réponse à un échelon, le
  système se stabilise après un transitoire
• Exemples de systèmes instables

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Une approche plus mathématique

• Toute FT H(p) peut se décomposer en éléments
  simples
• la CNS pour que H(p)Num(p)/Den(p) soit stable
  est que tous ses pôles aient leur partie réelle
  négative
• Equation caractéristique Den(p)0

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5.2 Critère algébrique de Routh
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Principe

• On considère le dénominateur de H(p)
• Condition nécessaire de stabilité
• Tous les coefficients de léquation
  caractéristique sont de même signe.
• Condition nécessaire et suffisante de stabilité
• On construit un tableau à partir des
  coefficients.
• Si tous les termes de la première colonne sont
  de même signe, le système est stable

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Exemple
Système instable
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5.3 Critère graphique du revers
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L équation caractéristique

• Soit un système à retour unitaire
• Sa FT en BF vaut
• Les zéros de  l équation caractéristique 
  
  
• correspondent aux pôles
  de la FT en BF, ils doivent être à partie réelle
  négative

Mesure
Consigne
H(p)
-
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Les critères graphiques

• L équation caractéristique peut être modifiée
• Cela veut dire que dans le plan complexe, lorsque
  le lieu de transfert H(p) passe par le point
  (-1,0), dit  point critique , le système est à
  la limite de la stabilité
• C est ce constat qui est à l origine du critère
  du revers, qui est une simplification du critère
  de Nyquist (qui ne sera pas traité)

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Le critère du revers

• On considère un système à retour unitaire
• Ce système (BF) est stable si le lieu de Nyquist
  en BO (diagramme de Nyquist de H(p)) parcouru
  dans le sens des fréquences croissantes, laisse
  le point critique (-1,0) constamment à sa gauche

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Exemple
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Exemple en BO
Réponse indicielle en BF
Diagramme de Nyquist en BO
K 1 stable
K 1.5 limite de stabilité
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Mise en œuvre dans le plan de Bode

• Point critique (-1,0)  équivalent  aux points
• A d amplitude 0 dB
• B de déphasage -180

Une courbe un point Deux courbes deux points
A B
Stable
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Equivalence Nyquist-Bode
Limite de stabilité A et B sont identiques
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Equivalence Nyquist-Bode
Système instable
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5.4 Marges de stabilité
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Principe

• La notion de stabilité est binaire
• Pour qu un système asservi soit performant, il
  ne suffit pas qu il soit stable, il doit l être
   suffisamment 
• Dans le cas de l utilisation d un modèle
  simplifié, il faut tenir compte du fait qu il
  est simplifié et prendre une marge de sécurité

Réponse indicielle d un système stable cette
réponse n est cependant pas acceptable pour une
régulation
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Notion de marge de stabilité

• La notion de marge de stabilité peut être vue
  comme une  marge de sécurité par rapport au
  point critique pour être suffisamment stable,
  il faut suffisamment s éloigner du point
  critique
• Comment traduire cet éloignement ?
• lieux de Nyquist et Bode marge de gain et de
  phase
• lieu des pôles gabarit

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Marge de gain et de phase (en BO)
Valeurs courantes - marge de phase Mf 30 à
50 - marge de gain MG 8 à 15 dB Dans les
calculs, on privilégie l utilisation de la marge
de phase