TEORIA GRAF

1
TEORIA GRAFÓW

• 2006
• Andrzej Rucinski

2
WYKLAD 1. Grafy sa wokól nas. Pojecia wstepne.
3
Przyklad 1. ZOO

• Budujemy domowe zoo majac do dyspozycji koze,
  lwa, wilka, slonia, jastrzebia, zajaca i mysz
• Cel jak najmniej klatek, zapewniajac
  bezpieczenstwo wszystkich zwierzat

4
k
l
m
w
z
s
j
5
(No Transcript)
6
Przyklad 2. Podzial na pary

• Dzielimy grupe 10 osób na pary
• Kazdy chce byc w parze ze swoim znajomym

7
A
F
E
J
B
G
H
I
C
D
Graf Petersena
8
A
F
E
J
B
G
H
I
C
D
Graf Petersena
9
A
B
10
A
B
11
Przyklad 3. Muzeum

• Zwiedzamy muzeum bedace labiryntem korytarzy, w
  którym obrazy wisza po obu stronach
• Cel przejsc kazdy korytarz 2 razy i wrócic do
  wyjscia

12
PLAN MUZEUM
a
b
c
e
d
13
Przyklad 4. Trzy domki i trzy studnie

• Mieszkancy trzech domków chca korzystac z trzech
  studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkac sie
  w drodze do nich
• Czy jest to mozliwe?

14
D2
D1
D3
?
?
S2
S3
S1
15
Pojecie grafu

• Graf to para zbiorów G(V,E), gdzie
• V to skonczony zbiór (wierzcholków)
• E to zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V
  (krawedzi)

• Inaczej, graf to relacja symetryczna i
  antyzwrotna
• Jeszcze inaczej symetryczna 0-1 macierz
  kwadratowa
• z zerami na przekatnej

16
Grafy puste i pelne. Dopelnienia grafów.

• Graf pelny

Dopelnienie grafu G
Graf pusty
17
Te same czy takie same?
18
Izomorfizm grafów

• G1G5, G2G3, wszystkie grafy maja te
• sama strukture sa izomorficzne

• Na przyklad G1 jest izomorficzny z G2, bo
• f(a)a, f(c)c, f(b)d, f(d)b

19
Automorfizmy

• Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie

• Na przyklad f(a)a, f(d)d, f(c)b, f(b)c to 1
  z 8 automorfizmów grafu G1

20
Samodopelnianie

• G nazywamy samodopelniajacym, gdy jest
  izomorficzny ze swoim dopelnieniem

Na przyklad
21
Stopnie wierzcholków
Stopniem wierzcholka v nazywamy liczbe dG(v)d(v)
krawedzi grafu zawierajacych (incydentnych z) v

• Zachodzi wzór

gdzie e(G)E
22
Ciag stopni grafu

• Ciag stopni grafu

Uwaga Nie kazdy ciag liczb naturalnych jest
ciagiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2

• ?(G) ? to najwiekszy stopien wierzcholka w
  grafie,
• d(G)d to najmniejszy stopien.

• Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzcholki
  maja stopien k

23
Podgrafy

• Indukowane
• Rozpiete
• Ani takie, ani takie

24
Podgrafy indukowane

• Podgraf grafu G(V,E) indukowany przez podzbiór
  wierzcholków W to graf GW(W,E), gdzie E
  sklada sie ze wszystkich krawedzi grafu G o obu
  koncach w W.

25
Podgraf indukowany - ilustracja

• Wa,b,c, GW kolor czerwony

26
Podgrafy rozpiete

• Rozpiety podgraf grafu G to graf G(V,E), gdzie
  E jest podzbiorem E

27
Podgrafy

• Podgrafem grafu G(V,E) nazywamy graf G(V,E),
  gdzie V jest podzbiorem V, a E jest podzbiorem
  E.

28
Spójnosc

• Graf jest spójny, gdy dla kazdego podzialu V na
  dwa rozlaczne podzbiory A i B istnieje krawedz z
  A do B (graf jest w 1 kawalku)
• Inaczej

29
Grafy niespójne
A
B
B1
B2
30
Wierzcholek ciecia

• G-vGV-v
• Wierzcholek v grafu spójnego G nazywamy
  wierzcholkiem ciecia, gdy G-v nie jest spójny
• Inaczej, istnieje podzial V na A i B

31
Cykle

• Cykl to 2-regularny graf spójny.
• Inaczej cykl to graf, którego wierzcholki mozna
  ponumerowac v_1,...,v_n, tak, ze pary v_1, v_2,
  v_2,v_3,...,v_(n-1),v_n, v_n, v_1 sa jego
  jedynymi krawedziami.
• Notacja C_n, dla n3,4,...

32
Cykle ilustracja
33
Sciezki

• sciezki (grafy spójne o 2 wierzcholkach stopnia
  1, a pozostalych o stopniu 2)
• Inaczej sciezka to graf, którego wierzcholki
  mozna ponumerowac v_1,...,v_n, tak, ze pary v_1,
  v_2, v_2,v_3,...,v_(n-1),v_n, sa jego
  jedynymi krawedziami.
• Notacja P_n, dla n1,2,...