Integrasi Persamaan

1

• Integrasi Persamaan

2
Motivasi
sampling
input
Aturan Trapezoidal dan Simpsons
Et
I
Sampling yg lebih baik, tetap n1 titik
Et lebih kecil
??? aturan
3
Batasan Algoritma Newton-Cotes untuk Persamaan

• Meningkatkan jumlah segmen n menghasilkan
  error ?t yang lebih kecil, sekaligus memerlukan
  lebih banyak evaluasi fungsi (waktu komputasi
  lebih lama)
• Setelah n, ?t mulai meningkat lagi karena ada
  error pembulatan

Algoritma Newton-Cotes algorithms tidak mengambil
kelebihan fungsi f(x) samplingnya mechanical
(seperti equi-spaced). Kita akan men-sample titik
adaptif terhadap f(x) untuk mendapat ?t yang
lebih kecil dengan n yang sama.
f(x) 0.2 25x 200x2 675x3 -900x4 400x5
4
Ekstrapolasi Richardsons
I I(h) E(h)
where I Integral eksak I(h) pendekatan
dari penerapan aturan trapezoidal n-segment
dengan h (b-a)/n E(h) error pemotongan
5
Mengapa Ekstrapolasi Richardsons
I(h1)
n14
I(h2)
n28
To compute I(n1) and I(n2) (and hence I), we need
only to evaluate f(x) at n21 points
6
Contoh Ekstrapolasi Richardsons
Contoh f(x) 0.2 25x 200x2 675x3
900x4 400x5 (integral antara a0 dan b0.8)
1 n2 2, n1 n2/2 1 I (4/3)(1.0688)
(1/3)(0.1728) 1.367467 ?t 16.6 lt 34.9
(meskipun menggunakan 3 evaluasi yang
sama)
2 n2 4, n1 n2/2 2 I (4/3)(1.4848)
(1/3)(1.0688) 1.623467 ?t 1.0 lt 9.5
(meskupin menggunakan 5 evaluasi yg sama)
7
Algoritma Integrasi Romberg
Dengan k (gt 1) adalah leveel integrasi (k 1
berhubungan dengan aturan trapezoidal yang
asli). j ( 1) membedakan antara perkiraan yan
lebih (j1) dan kurang (j) akurat.
Ekstrapolasi Richardsons adalah kasus khusus dan
paling sederhanaalgoritma integrasi romberg
dengan k 2, misal.,
8
Contoh Algorithm Integrasi Romberg
k 1 k 2 k
3 k 4
I1, 2
j 1 2
I1, 3
j 1 2 3
I2, 2
I1, 4
j 1 2 3 4
I2, 3
I3, 2
Contioh I1,3
9
Gauss Quadrature - Motivasi
Dua titik ujung trapezoid dibatasi sebagai f(a)
dan f(b)
a b
Dua titik ujung trapezoid tidak perlu berada
padaf(x).
a b
Keduanya menggunakan trapezoid tunggal, tapi (b)
mendapat hasil pendekatan yang paling baik!
10
Metode Koefisien Takmenentu(Cara lain menuju
aturan trapezoidal)
Misal
11
Rumusan Gauss-Legendre Dua-Titik(a -1, b 1)
Misal
Empat integran eksak f(x)
12
Rumusan Gauss-Legendre Dua-Titik(a dan b
berubah-ubah)
13
Contoh Rumusan Gauss-Legendre Dua-Titik
Contoh f(x) 0.2 25x 200x2 675x3
900x4 400x5 (integral antara a0 dan
b0.8) x 0.4 0.4xd dx
0.4 dxd
14
Rumusan Gauss-Legendre Titik-Lebih Tinggi
Contoh f(x) 0.2 25x 200x2 675x3
900x4 400x5 (integral antara a0 dan b0.8)
1.640533
(exact to the 10-7)