LA MATEMTICA PREHELNICA

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LA MATEMÁTICA PREHELÉNICA

• Miguel Dussán, David Becerra.

Probabilidad y Estadística para
Computación Maestría en Ingeniería de Sistemas y
Computación Universidad Nacional de
Colombia 2007
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Matemáticas en la cultura Egipcia
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Matemáticas en la cultura egipcia

• Cultura desarrollada 3000 años antes de Cristo.
• Desarrollo del sistema de jeroglíficos al
  comienzo del reinado antiguo donde fueron
  construídas las pirámides de Giza (2650 A.C.).

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Documentos sobre matemáticas en Egipto (I)?

• Papiro de Rhind (encontrado por Henry Rhind en
  1858).
• Derivado de un material del reino medio
  (2000-1800 A.C).
• Encontrado en el templo de Luxor, 1x18 pies.

Contiene 87 problemas matemáticos aritméticas
básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes,
progresiones, repartos proporcionales, reglas de
tres, ecuaciones lineales y trigonometría
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Documentos sobre matemáticas en Egipto (II)?

• Papiro de Moscú o Golenischev.
• 3x18 pies.
• Escrito en la XII dinastía (1890 A.C).
• Contiene 25 ejemplos matemáticos, con dos de
  destacar el volúmen de la esfera y el de la
  pirámide truncada.

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Documentos sobre matemáticas en Egipto (III)?
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Dioses y matemáticas
Horus
Sesheta
Thoth
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Dioses y matemáticas - Horus

• Luchó contra las fuerzas de la oscuridad en forma
  de cerdo, y ganó.
• Cada parte del ojo es parte del todo.

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Dioses y matemáticas - Thoth

• Verdad y tiempo.
• Arquitecto del tiempo, balance entre bien/mal.
• El medidor de esta tierra, calculó el cielo y
  contó las estrellas, calculó la Tierra y las
  cosas que se encuentran en ella.

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Dioses y matemáticas Sesheta

• Diosa del aprendizaje y la escritura, de los
  escribas.
• Ella que inventó los cuernos, Ella que tiene
  siete cuernos, la grande, señora de las cartas,
  dama de la casa de los libros.
• Asociada con Thoth.

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Operaciones
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Civilización Babilónica

• Ésta es una civilización que se desarrolló entre
  los ríos Tigris y Eufrates desde finales del
  cuarto milenio antes de Cristo y hasta la caída
  de la ciudad de Babilonia en manos de los persas
  en el 538 aC.

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Historia

• La civilización Sumeria florecio antes del 3500
  AC.
• Ciudades, sistemas de irrigación, sistema legal,
  administración y servicio postal.
• Idearon el primer sistema de escritura
  (cuneiforme).
• Sistema de conteo sexagesimal.
• Alrededor del 2300 AC los Acadios invadieron el
  área.
• Inventaron el ábaco.
• Los sumerios retomaron el control en el 2100 AC.
• La civilización Babilónica derroto a los sumerios
  alrededor de 1900 AC.

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Civilización Babilónica

• Escritura cuneiforme.
• Teoría de números.
• Sistema de numeración posicional en base 60
• Fracciones sexagesimales
• Las operaciones fundamentales incluido el cálculo
  de raices cuadradas
• Tablas de números multiplicar, inversos,
  cuadrados, cubos, raíces cuadradas y cúbicas,
  potencias sucesivas de un número (los primeros
  logaritmos)
• Ternas pitagóricas
• Interpolación lineal.

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Civilización Babilónica

• Algebra
• Ecuaciones lineales
• Sistemas de ecuaciones lineales
• Ecuaciones de segundo grado
• Algunas ecuaciones cúbicas
• Geometría
• Áreas de figuras planas
• Volumen del tronco de cono o de la pirámide
• Triángulos rectángulos
• La altura de un triángulo isósceles divide a la
  base en dos partes iguales
• Obtención del apotema a partir de la cuerda y el
  radio de la circunferencia

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Escritura Cuneiforme
Tablilla Plimpton 322 de la Universidad de
Columbia (1900 a 1600aC)?
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Teoría de los Números

• Sistema posicional en base 60.

• Problemas con el 2 y el 0.

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Teoría de los Números
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Teoría de los Números

• 60 es divisible por los primos 2, 3 y 5 entonces
  un número de la forma a/b, en su forma más baja,
  puede ser representado como una fracción finita
  si y solo sib no tiene divisores primos
  diferentes a 2, 3 o 5.
• Los babilonios usaban nuestro mismo sistema para
  representar las fracciones sexagesimales, es
  decir con potencias de 60 en el denominador.
• Expresiones como 260-1360-2.
• En una de las tablillas de la colección Yale, que
  data del periodo babilónico antiguo, se incluye
  el cálculo de la raíz cuadrada de 2 con tres
  cifras "decimales" sexagesimales. Con nuestros
  dígitos se escribe 124,51,10 y equivale a
  124/6051/360010/2160001.4144028.

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Teoría de los Números

• Asumiendo que el primer número es 1 24,51,10
  entonces convirtiendo esto a un decimal da
  1.414212963 mientras que v2 1.414213562.
  Calculando 30 X 124,51,10 da 4225,35. La
  diagonal de un cuadrado de tamaño 30 es hallada
  multiplicando 30 por la aproximación a v2.
• Lo anterior muestra un entendimiento del teorema
  de Pitágoras.

1 1.500000000 129,59,592 1.250000000
114,59,593 1.375000000 122,29,594 1.437500000
126,14,595 1.406250000 124,22,296 1.421875000
125,18,447 1.414062500 124,50,378 1.417968750
125, 4,419 1.416015625 124,57,3910
1.415039063 124,54, 811 1.414550781
124,52,2212 1.414306641 124,513013
1.414184570 124,51 314 1.414245605
124,511715 1.414215088 124,511016
1.414199829 124,51 717 1.414207458 124,51
818 1.414211273 124,51 919 1.414213181
124,5110
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Teoría de Números

• Tablas con las potencias sucesivas de algunos
  números, para los números que no son cuadrados
  perfectos utilizaban la interpolación lineal.
• Tiempo que tardará en doblarse un capital con un
  interés del 20 anual. La respuesta es 347,13,20
  años y puede obtenerse de esta forma
• CCo(1r)t y diríamos 21(120/100)t donde
  t3'801784.
• (120/100) corresponde al número cuneiforme 112

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Algebra

• Eran capaces de resolver cualquier ecuación de
  segundo grado que tuviera soluciones positivas y
  esto hace 4.000 años.
• Tabla para n3 n2.
• EX. ax3 bx2 c, multiplicando la ecuación por
  a2 y dividiendo eso por b3 obtenemos.
• (ax/b)3 (ax/b)2 ca2/b3. donde y ax/b,
  entonces y3 y2 ca2/b3

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Algebra
Ternas que cumplen la ecuación
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Geometría

• Los babilonios utilizaban para calcular áreas y
  volúmenes muchas fórmulas más o menos exactas.
  Para calcular el área del cuadrilátero hacían el
  producto de las medias aritméticas de los pares
  de lados opuestos. El volumen del tronco de cono
  o pirámide lo hallaban tomando el producto de la
  altura por la media aritmética de las áreas de
  las bases. Para el tronco de pirámide utilizaban
  también una fórmula que es correcta

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Tablas

• Tabla Yale YBC 7289 (1800 aC y 1650 aC)
• Plimpton 322
• The Susa tablet
• Tell Dhibayi tablet.

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Por qué base 60?

• 60 fue el número más pequeño divisible por 1, 2,
  3, 4, y 5 entonces el número de divisores fue
  maximizado.
• Pesos y medidas que usaban los sumerios.
• Eventos astronómicos.
• Teorías basadas en geometría.
• Cuenta con las manos.

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Fuentes

• http//descartes.cnice.mecd.es/materiales_didactic
  os/Historia/historia_indice.html
• http//turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/
  HistoryTopics.html
• http//en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_mathematic
  s
• http//www.mathsisgoodforyou.com/topicsPages/egypt
  ianmaths/Egyptian.htm
• http//www.forestpath.net/egypt/maths/
• http//www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fract
  ions/egyptian.html d