Estimaci

1
Estimación de parámetros poblacionales
2
Sumario

• Estimación puntual.
• Estimación por intervalos de confianza.
• De una media poblacional ( m )
• con s conocida .
• s desconocida.
• De una proporción poblacional ( P )
• Presición y confiabilidad de una estimación por
  intervalo.
• El tamaño de la muestra en función de la
  precisión y confiabilidad de la estimación.

3
Estimación estadística

• Operación que determina un valor numérico de un
  parámetro que caracteriza una población a partir
  del valor numérico de ese parámetro en una muestra

4
Estimación puntual

• Estamos interesados en realizar un estudio
  para describir las características del
  desarrollo físico en niñas cubanas entre 8 y 9
  años de edad, por medio de la observación de
  algunas dimensiones antropométricas.

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Estimación puntual

• La variable X (talla) se distribuye normal en la
  población cuyos parámetros µ y ??, se desconocen,
  lo expresado es común escribirlo en la notación
• X ? N (m, s)
• X se distribuye normal con media poblacional µ y
  desviación estándar poblacional ?.

6
Estimación puntual

• Para continuar se ha tomado una muestra de tamaño
  n 90 y queremos estimar la talla media y la
  desviación estándar.
• x1, x2, x3,..., xn

7
Estimación puntual

• Si al realizar los cálculos apropiados se obtiene
  que
• entonces esas cifras son las estimaciones de la
  media y la desviación estándar poblacionales, o
  sea, de ? y ?.

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Estimación puntual

• La primera suposición que se hizo fue sobre el
  tipo de ley de distribución de la variable
  aleatoria talla en la población (NORMAL).
• Sin hacer esa suposición no hubiese sido posible
  resolver el problema de estimación.
• Después se hizo la selección de la muestra y se
  sustituyeron los valores en las fórmulas.
• La utilidad práctica del estadígrafo radica en
  que por medio de un proceder de cálculo se
  obtiene un valor único, la estimación puntual.

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Estimación puntual

• La media muestral es un estimador de la media
  poblacional ?,
• La desviación estándar muestral S, sirve de
  estimador de la desviación estándar poblacional ?.

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Estimación puntual

• De igual forma, en el estudio de proporciones, la
  proporción muestral p sirve de estimador de la
  proporción poblacional P.

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Estimación puntual

• Constituye, en este esquema, un aspecto esencial
  la selección de la muestra, con la que, por
  sustitución de los valores observados en la
  expresión del estimador, hallamos un valor
  numérico (una estimación) que debe corresponder a
  un parámetro poblacional bajo estudio, descriptor
  de una propiedad de interés. Luego, por el
  momento lo que tenemos son
• estimaciones puntuales tanto de medias como de
  proporciones poblacionales.

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Estimación puntual

• La incertidumbre en el proceso de selección de
  muestras aleatorias, deja en dudas la utilidad de
  la estimación puntual.
• No se tiene información en relación con cuán
  cerca está el valor encontrado del verdadero
  valor del parámetro poblacional.
• No conocemos si la diferencia entre la cifra
  estimada y el verdadero valor del parámetro es
  admisible o no.
• ? ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

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Estimación por intervalo de confianza

• Una solución mejor, que incluye el error debido
  al muestreo.
• Se conoce como intervalo de confianza para
  estimar un parámetro desconocido ? al intervalo
  aleatorio de la forma (?1, ?2 ), donde
• ?1 Límite inferior
• ?2 Límite inferior

• Que esperamos que contenga al parámetro con una
  Probabilidad dada.
• 95, 99

14
PARA RECORDAR
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Distribución de la media muestral con varianza
conocida

• Si una variable aleatoria X sigue una
  distribución normal con media ? y ? conocida
• Entonces la media muestral de tamaño n, sigue una
  distribución también normal con media ? y
  desviación estándar igual a ? dividida por la
  raíz del tamaño de muestra n.
• Por consiguiente, la variable aleatoria Z
  obtenida mediante el procedimiento ya estudiado
  anteriormente sigue la normal estándar.

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Distribución de la media muestral con varianza
conocida

• Si X ? N (? , ? ) , entonces
• Por consiguiente, la variable aleatoria Z
  obtenida mediante el procedimiento sigue la
  normal estándar.

?
Coeficiente de confianza.
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Distribución de la media muestral con varianza
desconocida

• Si se presenta una situación similar pero con ?
  desconocida, entonces el estadígrafo definido es
  t y una distribución t-Student con n-1 grados de
  libertad.
• Recordemos también que esta distribución para más
  de 30 observaciones se aproxima a la normal
  estándar.

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Distribución de la media muestral con varianza
conocida

• Si X ? N (? , ? ) , con ? desconocida.
• Donde S es la desviación estándar de la muestra

?
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Intervalo de confianzapara m con s conocida

• Se denomina intervalo de confianza para ? con
  nivel de confiabilidad del (1-a) 100, a la
  expresión
• z1-a/2 percentil de orden 1-a/2
• de la distribución normal estándar.
• Si 1-? 0,95 Z1-?/2 1,96
• Si 1-? 0,99 Z1-?/2 2,58

20
Intervalo de confianzapara m con s conocida

• Se denomina intervalo de confianza para ? con
  nivel de confiabilidad del (1-a) 100, a la
  expresión
• z1-a/2 percentil de orden 1-a/2
• de la distribución normal estándar.
• Si 1-? 0,95 Z1-?/2 1,96
• Si 1-? 0,99 Z1-?/2 2,58

21
Intervalo de Confianza
22
Ejemplo

• Un cardiólogo desea hallar un intervalo de
  confianza del 95 para el nivel de colesterol
  promedio de todos los pacientes que presentan
  problemas cardíacos, asume que la distribución de
  los niveles de colesterol es normal con una
  desviación estándar s 0,47 y utiliza la
  siguiente muestra al azar de niveles de
  colesterol en mmol/L de 20 pacientes con
  problemas cardíacos.

4,7 4,8 4,6 4,9 4,5 5,0 4,4 5,1 4,3 5,2 4,2 5,2 4,
2 5,2 4,2 5,3 4,3 6,0 4,7 4,8
23

• Primer paso
• Estimar el valor de m
• Segundo paso
• Determinar el Coeficiente de Confianza Z
• Tercer paso
• Determinar el Intervalo de Confianza
• Cuarto paso
• Interpretar el Resultado

24
1
2
95 1-a 0.95 ? Z1-a/2 1,96
3
4.78 0.21 , 4.78 0.21 4.57 , 4.99
25
4
Con un nivel de confiabilidad del 95 podemos
afirmar que el nivel de colesterol de todos los
pacientes con problemas cardíacos se encuentra
entre 4.57 y 4.99 mmol / litro
26
4.99 mmol / litro
4.57 mmol / litro
Intervalo de Confianza
Nivel de confiabilidad del 95
27
Intervalo de confianzapara m con s desconocida

• Para ngt30
• z1-a/2 percentil de orden 1-a/2
• de la distribución normal estándar.
• Si 1-? 0,95 Z1-?/2 1,96
• Si 1-? 0,99 Z1-?/2 2,58

28
Intervalo de confianzapara m con s desconocida

• Para nlt30
• t n-1 , 1-a/2 percentil de orden 1-a/2
• de la t-Student con n-1 grados de
  libertad

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Ejemplo

• La distribución del total de las calificaciones
  en siete pruebas efectuadas se comportan
  normalmente.
• Se extrae una muestra de 40 estudiantes que
  realizaron las pruebas y se obtienen los
  siguientes datos

658 562 731 710 679 631 694 663 615
623 654 565 669 710 654 720 729 700 617
683 657 721 635 617 795 580 689 638 689
710 642 704 641 721 767 625 741 694 689 702
30

• Primer paso
• Estimar el valor de m y s
• Segundo paso
• Determinar el Coeficiente de Confianza Z
• Tercer paso
• Determinar el Intervalo de Confianza
• Cuarto paso
• Interpretar el Resultado

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1
2
95 1-a 0.95 ? Z1-a/2 1,96
32
3
673.10 16.59 , 673.10 16.59 656.51 ,
689.69
4
Con un nivel de confiabilidad del 95 podemos
afirmar que el total promedio en las pruebas de
ingreso de todos los estudiantes se encuentra
entre 656.51 y 689.69.
33
656.51
689.69
Intervalo de Confianza
Nivel de confiabilidad del 95
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Estimación por intervalos de confianza de una
proporción poblacional ( P )

• Al igual que sucede con la media muestral, para
  muestras grandes este sigue una distribución
  NORMAL con media P y varianza P.Q dividido por el
  tamaño de la muestra.
• Donde Q 1 P

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• Primer paso
• Estimar el valor de P
• Segundo paso
• Determinar el Coeficiente de Confianza Z
• 95 Z1-a/2 1,96
• 99 Z1-a/2 2,58
• Tercer paso
• Determinar el Intervalo de Confianza
• Cuarto paso
• Interpretar el Resultado

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Ejemplo

• Se quiere hallar un intervalo de confianza con el
  95 de confiabilidad para la proporción en la
  población, de enfermos de estomatitis
  subprótesis.
• Se realiza un pesquizaje en portadores de
  prótesis estomatológicas de Ciudad de La Habana,
  efectuándose para ello, la selección de una
  muestra aleatoria de 50 portadores, y se
  encuentra que 25 padecían de la citada
  enfermedad.

37
1
2
95 ? Z1-a/2 1,96
38
3
IC 0.36 , 0.64
4
Con un nivel de confiabilidad del 95 podemos
afirmar que la verdadera proporción de enfermos
de estomatitis subprótesis en la población se
encuentra entre 0.36 y 0.64
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TAMAÑO DE LA MUESTRA
Precisión
Tamaño de la muestra
De qué factores depende el tamaño de la
muestra?
40
FACTORES PARA DETERMINAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA
1. Variabilidad del universo que se estudia.
2. Precisión que se quiere de los resultados.
3. Confiabilidad que se desea obtener.
41
EJEMPLO
Supongamos que se quiere hacer una estimación por
intervalo de confianza para la media de la
población de tallas de niñas de 7 años. Se
selecciona una muestra aleatoria de niñas para
estimar la media poblacional y se desea alcanzar
una precisión de 1 cm. Si se conoce que la
desviación estándar de la talla en la población
es 5.53cm, con una confiabilidad del 95 . Cuál
sería un tamaño de muestra adecuado?
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TAMAÑO DE LA MUESTRA
Fórmula del tamaño de la muestra

n (z1-a/2 s / d)2
n (1,96 . 5,53 / 1)2
n 118
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Estimador y Estimación

• Llamamos estimador a una función de los elementos
  de una muestra aleatoria
• mientras que llamamos estimación a la cifra
  numérica o valor observado del
• estimador, obtenida por sustitución de los
  valores muestrales en la expresión del estimador.

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Intervalos de Confianza

• Los intervalos de confianza se construyen como
  función de los valores observados en la muestra y
  nos permiten afirmar que el parámetro desconocido
  se encuentra entre ciertos valores con un
  determinado nivel de confiablidad.