Modelos de Conectividad

1
Modelos de Conectividad
Grafos aleatorios
Carlos Aguirre Maeso Escuela Politécnica superior
2
El modelo de Erdos y Renyi

• Se estudia en los años 50-60
• Cada rama del grafo existe con una probabilidad p
• P suele seguir una distribución uniforme.

3
El modelo de Erdos y Renyi
4
Comparación con grafos aleatorios
5
El modelo de Erdos y Renyi

• Otra forma de definir los grafos aleatorios es
  seleccionar parejas de nodos aleatoriamente.
• Se seleccionan exactamente pN(N-1)/2 parejas.
• Ambos tipos de grafos aleatorios son equivalentes.

6
Propiedades.

• El estudio de grafos aleatorios se centra sobre
  todo en averiguar para que probabilidad p aparece
  cierta propiedad Q.
• Cuando el grafo es conexo
• Cuando la distancia media es menor que cierto
  numero.
• Cuando el indice de clusterizacion es mayor que
  cierto numero

7
Propiedades.

• Erdos y Renyi descubrieron que las propiedades Q
  aparecian de forma repentina según crecia p.
• Para muchas propiedades Q se verifica que existe
  una probabilidad crítica pc(N) tal que
• con probabilidad 0 el grafo no tiene Q si p(N) lt
  pc(N)
• con probabilidad 1 el grafo tiene Q si p(N) gt
  pc(N)

8
Subgrafos

• La primera propiedad que estudiaron Erdos y Renyo
  fue la aparicion de subgrafos
• Por ejemplo, a que probabilidad crítica p casi
  todo grafo G contiene un arbol de orden 3.

9
Subgrafos

• Se puede demostrar que el número medio de
  subgrafos con k nodos y l ramas de un grafo
  aleatorio con N nodos y probabilidad p es
• Donde a es el numero de grafos isomorfos entre si

10
Subgrafos

• Se puede demostrar que el número medio de
  subgrafos con k nodos y l ramas de un grafo
  aleatorio con N nodos y probabilidad p es
• Donde a es el numero de grafos isomorfos entre si

11
Subgrafos

• La probabilidad crítica pc(N) de encontrar
  algunos subgrafos es

12
Clusters

• Un subgrafo aislado y conexo es un cluster.
• Erdos y Renyi demostraron que la estructura de
  clusters de un grafo cambia abruptamente cuando
  ltkgt se acerca a 1.

13
Clusters.

• Si 0lt ltkgt lt 1 casi todos los clusters son arboles
  (en su mayor parte) o clusters que contienen un
  solo ciclo.
• El numero de clusters es de orden N-n donde n es
  el numero de ramas.
• El mayor cluster es un arbol de tamaño
  proporcional a N

14
Clusters.

• Si ltkgt gt 1 la estructura anterior cambia
  completamente
• Aparece un cluster gigante con 1-f(ltkgt)N nodos
  donde f es una función que decae exponencialmente
  de 1 a 0 cuando x va a infinito.
• Los demas clusters pertenecen a arboles con
  Nf(ltkgt) nodos.

15
Clusters.

• Si pc 1/N la mayoria de los nodos pasan a
  formar parte del cluster gigante.
• En esta region El tamaño del cluster gigante es
  proporcional a la distancia de la probabilidad
  critica y la probabilidad

16
Distribución de grado

• El grado de cada nodo sigue una distribución
  binomial

17
Distribución de grado

• La distribución del grado de los nodos sigue una
  distribucion de poisson.

18
Distribución de grado
19
Conexidad y diametro.

• El diametro de un grafo es la máxima distancia
  entre cualquier par de nodos.
• Si p no es demasiado pequeño los grafos
  aleatorios tienden a tener poco diametro.
• Casi todos los grafos aleatorios tienen el mismo
  diametro (mas o menos) para la mayor parte de los
  valores de p

20
Conexidad y diametro.

• Para la mayor parte de grafos aleatorios su
  diametro toma el siguiente valor

21
Conexidad y diametro.

• En general se tiene
• Si ltkgt lt 1 el grafo tiene arboles aislados.
• Si ltkgt gt 1 (aparece el cluster gigante) el
  diametro del grafo es el del cluster gigante.
  Para ltkgt gt 3.5 el diametro es proporcional a
  ln(N)/ln(ltkgt)
• Si ltkgt ln(N) el grafo es conexo y su diametro es
  proximo a ln(N)/ln(ltkgt)

22
Camino caracteristico.

• El camino caracteristico se comporta de forma
  similar al diametro. En particular

23
Camino caracteristico.
24
Indice de clusterización

• En un grafo aleatorio la probabilidad de que dos
  vecinos esten conectados es igual a la que dos
  nodos elegidos al azar esten conectados.
• El indice de clusterizacion de un grafo aleatorio
  es Crand p ltkgt/N

25
Indice de clusterización
26
(No Transcript)
27
Espectro del grafo.

• Un grafo puede ser visto como una matriz NxN.
• Dicha matriz tendra un conjunto de autovalores.
• Se define su densidad espectral como

28
Espectro del grafo.
29
Grafos aleatorios generalizados.

• Son grafos cuya distribucion del grado de los
  nodos esta prefijada.
• Se aleatorizan otros aspectos del grafo.

30
Grafos aleatorios generalizados.

• Las ramas conectan nodos al azar, pero tienen la
  restriccion que la distribución del grado es
  prefijada (usualmente libre de escala).
• La distribución libre de escala viene determinada
  por un unico parametro g (la pendiente de la
  recta).