Le langage de lalgbre lmentaire

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Le langage de lalgèbre élémentaire
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ESA

• Nous appellerons Écritures Symboliques de
  lAlgèbre élémentaire ( ESA ) les objets que
  nous allons construire maintenant les fractions,
  les sommes, les produits, les racines, les
  égalités, les inégalités, les systèmes etc.
• Elles doivent être bien formées (1anest pas
  une ESA) mais pas nécessairement avoir ce quon
  appelle ordinairement du sens ( 1/0 est bien
  une ESA)?

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Langages

• Les ESA forment un langage au sens de Chomsky (et
  seulement dans ce sens) cest-à-dire des suites
  de caractères bien formées (les écritures),
  engendrées par une grammaire
• Un langage L (au sens de Chomsky) est un ensemble
  (dénombrable) décritures bien formées.
• Exemple L0 a, b  a b  b a 
  a2  b2  (a b)2

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Grammaire

• Une grammaire est un ensemble G de règles de
  réécriture, du type truc se réécrit machin ou
  chose (éventuellement, dans tel ou tel
  contexte), notées
• truc machin  chose
• permettant dengendrer un langage (au sens de
  Chomsky).

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Exemple

• Le (mini-)langage L0 ababbaa2b2(a
  b)2 peut être engendré par la mini-grammaire G0
  suivante
• lettre ab
• somme lettre lettre
• carré lettre2, (somme)2

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Génération

• Les écritures de L0 sont alors engendrées par des
  suites de réécritures notées par la flèche  ? ,
  suivies éventuellement de transformations
  typographiques (ici, transformant (truc)2 en
  (truc)2, notées par la flèche ?).

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Exemple de génération

• Carré
• ?
• (somme)2
• ?
• (lettre lettre) 2
• ?
• (a b)2
• ?
• (a b)2

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Fonctions syntaxiques
Attribut
Sujet
Déterminant
Épithète

• Les didacticiens sont une redoutable engeance.

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Fonctions syntaxiques
Facteur de
Terme de
Membre de
Chiffre des centièmes de

• 2 (2x 3) x2 lt 0,001

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Fonctions syntaxiques

• chiffre des unités, des dizaines
• partie entière, partie décimale
• terme, facteur, dividende, diviseur,
  reste,numérateur, dénominateur, radicande,
  exposant...
• membre
• ligne

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Partie transformationnelle

• Il est plus difficile encore de décrire les
  transformations des ESA rigoureusement et de
  manière didactiquement pertinente, que de décrire
  leur génération par une grammaire.
• Exemple de description non-pertinente (CAS)
• a(bc)?
• abc
• abac
• abac

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Identification des sous-écritures à transformer

• décrire les transformations dune façon
  pertinente est particulièrement ardu.
• Il faut en effet identifier les sous-écritures
  sur lesquelles porte la transformation (par
  exemple, les carrés dans une différence de deux
  carrés) dune manière qui soit suffisamment
  générale
• Or cette identification nest pas faite par
  lapplication de règles rigides mais plutôt par
  des mécanismes beaucoup plus souples de type
  reconnaissance de formes.

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Formes définies à une transformation près

• Ainsi, il est assez facile de décrire un procédé
  permettant didentifier les carrés dans
• x2 - y2
• mais cest bien moins évident dans le cas
  suivant
• - 2x - 9y2(x - y)4n 2
• En effet, dun strict point de vue syntaxique, ne
  sont carrées que des expressions de la forme A2
  ou (A)2

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Complexité de lidentification

• Plus généralement, le travail mené pour la
  réalisation du système expert de factorisations à
  la base du logiciel APLUSIX a montré quune
  modélisation didactiquement pertinente des
  factorisations (même dans le cas assez
  élémentaire des seul polynomes à coefficients
  entiers) est terriblement complexe, et utilise un
  nombre effarant de règles pas moins de 50
  transformations et 28 propriétés, sans compter
  les métarègles opérant sur ces règles et ces
  propriétés! (Nicaud, 1987, 1993).

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Sophistication des mécanismes inconscients
didentification

• En outre, ce travail a permis de voir que la
  factorisation met en oeuvre des propriétés des
  écritures qui ne sont ni conscientes pour le
  sujet, ni immédiates pour le chercheur.
• Par exemple, on est amené à considérer des traits
  qualifiés de sémiques des polynomes, qui sont
  son degré formel, son degré de factorisation
  et les multi-ensembles additifs des degrés
  formels (Gélis). Le degré usuel ne permet
  absolument pas, à lui seul, de rendre compte de
  la pratique effective des sujets.

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Sémantique

• Un lien doit être fait entre les écritures
  (définies au moyen dune grammaire) et les objets
  mathématiques quelles sont supposées désigner,
  en premier lieu les nombres.
• Pour ce faire, nous nous sommes servis de la
  distinction que Frege a posée entre Sinn (sens)
  et Bedeutung (Dénotation).

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Sens et dénotation

• Par exemple Neil Armstrong et Le premier homme
  sur la Lune ont le même dénoté (Bedeutung) 
  lhomme nommé Neil Armstrong.
• Toutefois, ces deux phrases nont pas le même
  sens (Sinn)  la seconde phrase insiste sur ce
  quil a fait, tandis que la première souligne
  son patronyme.

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Expressions et Énoncés

• Quatre cas sont à considérer
• les expressions algébriques numériques (i. e.
  sans lettre), notées ici E, p. ex.  2  3 ,
• les énoncés algébriques numériques notés ici É,
  p. ex. 2  3  5,
• les expressions algébriques littérales notées ici
  El (p. ex. 2x3)?
• et enfin les énoncés algébriques littéraux notés
  ici Él (p. ex. 2x37).

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Expressions algébriques numériques

• Si donc lon doit distinguer les signes
  numériques de leur dénotation, on doit tout
  autant accorder une même dénotation aux
  expressions  2 ,  1  1 ,  3  1 ,
   6  3  car on ne voit pas quelle serait la
  différence. On peut dire 1  1 est une somme
  tandis que 6  3 est un quotient.

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Expressions algébriques numériques

• Mais quest donc 6  3 ? Le nombre qui multiplié
  par 3 donne 6. On dit le nombre et pas un
  nombre larticle défini indique quil ny en a
  quun seul. Or (11)  (11)  (11)  6. (11)
  est donc précisément le nombre désigné par
  (6  3). Les expressions sont différentes mais
  correspondent toujours à la même chose, bien
  quelle soit saisie différemment, et sous
  différents aspects.

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Dénotation des E

• La dénotation dune expression algébrique
  numérique, quand elle existe, est un nombre
  (1  1 dénote 2).
• En termes plus rigoureux, nous dirons que limage
  d(E) par la fonction dénotation d de lexpression
  algébrique numérique E, est un nombre d
  (1  1)  2.

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Dénotation des E

• La fonction dénotation d est définie par
  récurrence sur la complexité des expressions la
  dénotation dune somme de deux termes est égale à
  la somme des dénotations des termes, la
  dénotation de lopposé dun terme est lopposé de
  la dénotation du terme etc..

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Dénotation des É

• Énoncés algébriques numériques concernant les
  énoncés É (i. e. les écritures sans lettres
  contenant des signes   ,  lt  etc.), Frege
  opère un véritable coup de force, qui consiste à
  considérer quune telle écriture désigne non pas
  un état de fait (le double de 4 auquel jajoute 3
  est égal à 11), mais une valeur de vérité 
  24311 est vrai.

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Dénotation des É

• Énoncés algébriques numériques concernant les
  énoncés É (i. e. les écritures sans lettres
  contenant des signes   ,  lt  etc.), Frege
  opère un véritable coup de force, qui consiste à
  considérer quune telle écriture désigne non pas
  un état de fait (le double de 4 auquel jajoute 3
  est égal à 11), mais une valeur de vérité 
  24311 est vrai.

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Dénotation des El

• Commençons par interroger lénoncé usuel qui dit
  quune écriture littérale désigne un nombre
  indéterminé. Quest-ce quun nombre indéterminé?
  Il ny a pas densemble I des nombres
  indéterminés!.
• Y aurait-il des nombres indéterminés? Faut-il
  partager les nombres en déterminés et
  indéterminés? Y a-t-il des hommes indéterminés?
  Tout objet ne doit-il pas être déterminé? mais,
  dautre part, le nombre n nest-il pas
  indéterminé? Je ne connais pas le nombre n, n
  nest le nom propre daucun nombre, ni déterminé,
  ni indéterminé (...)

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 indéterminé 

• Certes, il y a bien lieu de parler
  dindétermination, mais indéterminé nest pas
  un qualificatif épithète de nombre, cest
  plutôt un adverbe modifiant indiquer. On ne
  dira pas que n désigne un nombre indéterminé
  mais quil indique de manière indéterminée des
  nombres. Il en va toujours ainsi lorsque la
  langue arithmétique emploie des lettres, à
  lexception des rares cas où elles figurent comme
  des noms propres (p, e, i).

27
fonction

• Ce second coup de force de Frege consiste à
  refuser linterprétation usuelle (mais
  inconsistante) que les expressions littérales
  dénotent des nombres indéterminés. À la place,
  il propose de dire quune expression El dénote
  une fonction fonction qui à toute valeur des
  lettres associe la valeur prise par lexpression).

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nombre ou fonction indéterminée?

• Sen tenir au nombre indéterminé, cest prendre
  limage (d(El))(x) (la valeur en x du dénoté de
  El, cest à dire le nombre indéterminé) pour la
  fonction elle-même (le dénoté de El d(El)).
  Cest reproduire avec la dénotation lancien
  usage qui consistait à parler de  fonction
  f(x) .

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Énoncés algébriques littéraux Él

• La notion de forme booléenne, fonction de Rn
  dans vrai, faux, nous permet de modéliser de
  manière cohérente la notion de valeur de vérité
  indéterminée

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Utilisation du dénoté

• La pertinence didactique de cette analyse à
  première vue assez abstraite se mesure au fait
  quelle permet de repérer dans des pratiques
  dexperts (nous en avons repéré des traces dans
  des entretiens menés au GECO) le va-et-vient
  entre linterprétation dun énoncé littéral (p.
  ex. 2x  3 gt 0) comme état de fait (le double
  de x auquel jajoute 3 est positif) et comme
  dénotation en termes de fonction booléenne
  (2x3gt0 est vraie pour telles valeurs, fausse
  sinon).

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Sens

• Or, il est naturel dassocier à un signe (nom,
  groupe de mots, caractères), outre ce quil
  désigne et quon pourrait appeler sa dénotation,
  ce que je voudrais appeler le sens du signe, où
  est contenu le mode de donation de lobjet.
• (...) lidentité des dénotations na pas pour
  conséquence lidentité du contenu des pensées.

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Sens

• Or, il est naturel dassocier à un signe (nom,
  groupe de mots, caractères), outre ce quil
  désigne et quon pourrait appeler sa dénotation,
  ce que je voudrais appeler le sens du signe, où
  est contenu le mode de donation de lobjet.
• (...) lidentité des dénotations na pas pour
  conséquence lidentité du contenu des pensées.