lections locales probabilistes

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Élections locales probabilistes
SDRP MA

• A. Zemmari
• zemmari_at_labri.fr
• www.labri.fr/visidia/

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Le modèle
SDRP MA

• Un réseau asynchrone de processus anonymes
• Les processus communiquent par échange de
  messages en mode asynchrone
• Modélisation un graphe.

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Présentation
SDRP MA

• Pourquoi les élections locales
• Brique de base pour les algorithmes distribués
  codés par les calculs locaux.
• Pourquoi des élections probabilistes
• Permettent de réaliser lexclusion mutuelle et
  déviter les conflits (voir chapitre suivant).

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Présentation (2)
SDRP MA

• Un sommet change son étiquette en fonction des
  étiquettes de ses voisins

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Types de synchronisations locales
SDRP MA

• RdV dans une étape de calcul, les étiquettes de
  deux sommets voisins changent.
• LC1 dans une étape de calcul, seule létiquette
  du sommet centre de la boule change, et ceci en
  fonction des étiquettes des autres sommets de la
  boule.
• LC2 dans une étape de calcul, toutes les
  étiquettes des sommets de la boule changent

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Types de synchronisations locales (2)
SDRP MA
LC1
LC2
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Pourquoi LC1
SDRP MA

• Un algorithme de détection des propriétés stables
  (daprès Szymanski, Shi et Prywes)
• Un ensemble de processus qui réalisent chacun une
  tâche. Chaque processus est capable de détecter
  localement sa terminaison.
• Lalgorithme SSP permet de détecter à quel moment
  tous les processus ont terminé.

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Pourquoi LC1 (2)
SDRP MA

• A chaque sommet v, on associe
• P(v) un prédicat qui vaut vrai si la tâche de v
  est terminée, P(v) est initialisé à faux
• a(v) un entier qui code la distance jusquà
  laquelle v sait que les sommet ont terminé, a(v)
  est initialisé à -1.
• Dans chaque calcul local, v change la valeur de
  son entier a(v) en fonction des valeurs a(w),
  pour tout w voisin de v
• Si P(v) faux, alors a(v) -1
• Si P(v) vrai, alors a(v) 1Mina(w)w voisin
  de v
• Théorème (Szymanski, Shi et Prywes)
  Lalgorithme décrit ci-dessus permet à tout
  sommet v de savoir que le prédicat P est vrai
  pour tous les sommets dans la boule de centre v
  et de rayon a(v).

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Pourquoi LC1 (3)
SDRP MA

• Lalgorithme SSP est codé par des calculs locaux
  utilisant des LC1
• Un sommet ne change que son étiquette et non
  celles de ses voisins
• On doit interdire que deux sommets voisins
  puissent changer leurs étiquettes en même temps
  (exclusion lors du changement de létiquette).

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Pourquoi LC2
SDRP MA

• Algorithme de Mazurkiewicz pour la numérotation
  des sommets dun graphe. (A voir ultérieurement)

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Implémentation
SDRP MA

• LC1 chaque sommet v répète indéfiniment les
  actions suivantes v tire un nombre aléatoire
  rand(v) v envoie rand(v) à tous ses voisins v
  reçoit tous les nombres envoyés par ses
  voisins( v est localement élu dans B(v,1) si
  rand(v) est strictement plus grand que rand(w),
  pour tout w voisin de v )

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Implémentation (2)
SDRP MA

• LC2 Chaque sommet v répète indéfiniment les
  actions suivantes v tire une nombre aléatoire
  rand(v)v envoie rand(v) à tous ses voisinsv
  reçoit les nombres envoyés par ses voisins
• soit mv/w le max des nombres reçus par v de ses
  voisins différents de w, v envoie mv/w à tous ses
  voisins différents de wv reçoit les nombres
  envoyés par tous ses voisins( v est
  localement élu dans B(v,2) si rand(v) est
  strictement plus grand que tous les nombres que
  reçoit v )

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Questions posées
SDRP MA

• Quelle est la probabilité de succès (au même sens
  que pour le problème du rendez-vous)?
• Quel est le nombre moyen de synchronisations LC1
  (resp. LC2) dans le graphe ?
• Quelle est la performance des algorithmes
  probabilistes utilisés (en comparaison avec un
  algorithme  idéale ) ?

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Probabilité délection pour un sommet
SDRP MA

• Chaque sommet v tire un nombre aléatoire et
  uniforme dun ensemble 1,2,,N.
• Soit X ? V tel que v ? X, soit k X,
• (1)
• Et
• (2) ?v,w ? X, Pr(rand(v)rand(w))1/N.
• Preuve Exercice.

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Probabilité délection pour un sommet (2)
SDRP MA

• Propositions
• La probabilité pour un sommet v dêtre localement
  élu dans une L1-election est donnée par
• La probabilité pour un sommet v dêtre localement
  élu dans une L1-election est donnée par où
  N2(v) B(v,2)
• Preuve application directe de (1)

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Probabilité délection pour un sommet (3)
SDRP MA

• Corollaire Soit v un sommet de G. Le temps
  moyen dattente pour quil soit localement élu
  dans une L1-élection (resp. L2-élection) est
  d(v)1 (resp. N2(v)).
• Exemples
• Si G est un anneau de taille n, alors pour tout v
  p1(v) 1/3 et p2(v) 1/5.
• Si G est un graphe complet de taille n, alors
  pour tout v p1(v) p2(v) 1/n.

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Probabilité de succès

• Probabilité dau moins une élection locale dans
  le graphe 1
• Preuve Soient v,w deux sommets voisins,
• Pr(rand(v)rand(w)) ? 0 si N ? 8 (daprès (2))

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Espérance du nombre délections locales
SDRP MA

• Notations M1(G) (resp. M2(G)) le nombre moyen
  de sommets localement élus dans une L1-élection
  (resp. L2-élection).
• Proposition
• Exemples
• M1(Cn) n/3 et M2(Cn) n/5
• M1(Kn) M2(Kn) 1

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Espérance du nombre délections locales (2)
SDRP MA

• Définition Soit k un entier positif. On définit
  la k-densité de G(V,E) par
• En particulier

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Espérance du nombre délections locales (3)
SDRP MA

• Lemme Soit G(V,E) un graphe connexe.
• En plus, si G est un arbre, alors linégalité
  devient une égalité.
• Preuve voir le tableau.

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Espérance du nombre délections locales (4)
SDRP MA

• Théorème G (V,E) un graphe connexe avec
  V n et E m.
  Et
• Preuves (1) au tableau, (2) Exercice.
• Corollaire G un graphe de degré maximum d.
• Corollaire T un arbre de taille n.

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Analyse de performance
SDRP MA

• Définitions
• ?(G) le cardinal du plus grand ensemble de
  sommets indépendants contenu dans G.
• ?(G) le cardinal du plus grand ensemble de
  sommets à distance au moins 3 les uns des autres.
• Soit A un algorithme probabiliste quelconque
  permettant de réaliser des L1-élections. On
  définit lefficacité de A par
• Soit B un algorithme probabiliste quelconque
  permettant de réaliser des L2-élections. On
  définit lefficacité de B par

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L1 et L2
SDRP MA

• Théorème Si T est un arbre. Alors lefficacité
  de lalgorithme de LC1 est strictement supérieure
  à 1/3.
• Preuve M1(T) n/3 et ?(G) lt n donc ?LC1(G) gt
  1/3 .
• Théorème Si T est un arbre. Alors lefficacité
  de lalgorithme de LC2 est strictement supérieure
  à 1/4.
• Preuve par induction sur la taille de larbre
  T.
• Conjecture ?LC2(T) gt 1/3

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L1 et L2 (2)
SDRP MA

• Remarque Si G nest pas un arbre, alors les
  deux algorithmes peuvent avoir une efficacité
  très mauvaise. En effet, il suffit de considérer
  le graphe G2n (V,E) avec
• V u1,u2,un U v1,v2,vn
• E est tel que les sommets u1,u2,un forment un
  graphe complet et ? i,j ui,vj ? E
• Exercice calculer ?LC1(G2n) et ?LC2(G2n)

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Efficacité de lalgorithme du Rendez-vous
SDRP MA

• Définition Soit G(V,E) un graphe et K(G) la
  taille dun couplage maximal dans G. On définit
  lefficacité de tout algorithme R permettant de
  réaliser les rendez-vous par
• Exemples
• Si G est un graphe complet, alors ?R(G)
  1/(n-1).
• Si G est une étoile, alors ?R(G) 1/1 1.

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Efficacité de lalgorithme du Rendez-vous (2)
SDRP MA

• Théorème Lefficacité de lalgorithme dans le
  cas des arbres est supérieure à 1/3.
• Preuve Par induction sur la taille de larbre.

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Exercice Généralisation
SDRP MA

• k-élection un sommet est élu si et seulement si
  il tire le plus grand nombre sur une rayon k.
• Questions
• quelle est la probabilité pour un sommet dêtre
  élu dans une boule de rayon k ?
• Quel est le nombre moyen de sommets k-localement
  élus ?
• Quelle valeur faudrait-il prendre pour k si on
  veut que la k-élection devienne une élection dans
  tout le graphe ?
• Quelle est la complexité en messages de LC1 ? De
  LC2 ? De LCk ?
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