Comparaison de plusieurs moyennes observes

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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Situation du problème
• On dispose dune variable qualitative nominale à
  deux classes ou plus qui permet de définir p
  groupes. On désigne cette variable comme le
  facteur étudié.
• On mesure une variable quantitative qui permet de
  calculer dans chaque groupe les différents
  paramètres de la distribution moyenne,
  estimateur de lécart type...
• On désire savoir si les moyennes observées dans
  chacun des groupes peuvent être considérées comme
  des estimateurs de la même moyenne aux
  fluctuations du hasard près. Il sagit bien, dans
  un premier temps, de comparer globalement les
  différentes moyennes entre elles et non pas
  deffectuer des comparaisons deux à deux.
• Par exemple, disposant de plusieurs traitements
  (A, B, C) de l'hypertension artérielle, on désire
  savoir s'ils entraînent la même baisse moyenne de
  tension systolique. Pour répondre au problème
  posé, on a administré de manière aléatoire un des
  traitements à 3 échantillons d'individus
  différents.

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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Hypothèses
• Hypothèse nulle
• Les moyennes observées dans les différents
  groupes xa, xb,xc,.. sont des estimateurs des
  moyennes ma, mb, mc,...
• H0 ma mb mc
• Hypothèse alternative
• Lune au moins des moyennes ma, mb, mc,..
  diffère des autres.
• Condition homocédasticité, Normalité
• Note si on est amené à rejeter H0, on accepte
  H1. On sait alors qu'une au moins des moyennes
  diffère des autres mais on ne sait pas laquelle.
  Pour répondre à cette question, il faudra
  compléter le test global par des comparaisons
  répondant au problème qui se pose.

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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Données

Soit p le nombre de traitements (ici p3). Pour
chaque traitement, on a un effectif (nj), un
total des valeurs (Tj) et un total des carrés
(Uj).
Les paramètres statistiques
- Effectif, Moyenne, Écart type estimé par
groupe...
p
å
N

N
- Effectif total
j

j
1
- Total général (de l'ensemble des valeurs)
- Total général des carrés
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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Rappel de calcul
• Pour chaque groupe on peut calculer les
  paramètres statistiques moyenne, estimateur de
  l écart type, SCE,.. Ceci à partir de
  leffectif, de la somme des valeurs et de la
  somme des carrés des valeurs
• Sous H0, on peut calculer les paramètres
  statistiques de lensemble des groupes réunis

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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Principe de la solution

H0 Vraie
La variance totale est égale à la variance de
chacune des populations
H1 Vraie
TAS 160 140
La variance totale est plus grande que la
variance de chacune des populations
Gpe A B C Tous gpes
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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Le tableau de lanalyse de la variance

Origine SCE
DDL Variance Entre groupes
p-1 Intra groupe
N-p Résiduelle Totale
N-1
Num
p-1
Dén
N-p
Num
DDL p-1
F
Dén
DDL N-p
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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Décision
• Si F dépasse le F lu dans la table au risque
  alpha choisi (5 pour 5 ), on rejette
  l'hypothèse nulle toutes les moyennes ne sont
  pas égales. Une au moins des moyennes diffère des
  autres.
• Si on rejette H0, on peut compléter l'analyse par
  différentes stratégies dont la comparaison des
  moyennes 2 à 2 grâce à un test t de student dit
  "t protégé" dans lequel on utilise comme variance
  commune la variance résiduelle calculée dans
  l'analyse de la variance.
• Sinon, on accepte H0 mais attention au risque
  Beta.
• Cas de 2 moyennes
• Le F est le carré du t de student

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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Exemple

Le F 23,42 est supérieur au F DDL 2-9 5 (4,26
lu dans la table). On rejette H0. Une au moins
des moyennes diffère des 2 autres mais on ne sait
pas laquelle.
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Comparaison de plusieurs moyennes observées

• Suite
• Comme on a rejeté H0, on peut poursuivre
  lanalyse en comparant les moyennes par un t dit
  protégé qui utilise comme variance commune la
  variance résiduelle et qui a comme DDL le DDL de
  la résiduelle

11,2-14,75
t A-B
1.28 1.28 5 4

Les t sont comparés à talpha avec DDL 9. Pour
alpha 5 on lit dans la table 2,26. Ici toutes
les comparaisons 2 à 2 sont significatives.