Tangencias

1
4. Tangencias

• Rectas tangentes
• Circunferencias tangentes conocido el radio
• Circunferencias tangentes a tres puntos, rectas o
  circunferencias
• Tres puntos
• Dos puntos y una recta
• Dos puntos y una circunferencia
• Un punto y dos rectas
• Un punto, una recta y una circunferencia
• Un punto y dos circunferencias
• Tres rectas
• Dos rectas y una circunferencia
• Una recta y dos circunferencias
• Tres circunferencias
• Créditos
• Índice

2
Rectas tangentes

• Se resuelven por lugares geométricos (arco capaz,
  dilataciones, homotecia) y aplicando las
  propiedades de las tangencias.

P
c
T1
O
P
T2

• Recta que pasa por dos puntos PP
• Recta que pasa por un punto y es tangente a una
  circunferencia
• Pc (punto exterior)
• Tc (punto de la circunferencia)
• Qc (punto impropio).
• Recta tangente a dos circunferencias
• cc (exteriormente)
• cc (interiormente)

T2
T1
T1
t1
r
c
t1
T1
t1
t2
P
O
T1
t2
T2
T2
T1
T2
O
T2
t2
c
3
Circunferencias tangentes conocido el radio

• Se resuelven por lugares geométricos y aplicando
  las propiedades de las tangencias.

• Circunferencia que pasa por dos puntos PPR
• Circunferencia que pasa por un punto y es
  tangente a una recta
• PrR (punto exterior)
• TrR (punto de la recta)
• Circunferencia que pasa por un punto y es
  tangente a otra circunferencia
• PcR (punto exterior o interior)
• TcR (punto de la circunferencia)

O1
O1
T1
O2
O2
T1
T2
O3
O2
O1
c
O2
O4
T4
T2
T3
4
Circunferencias tangentes conocido el radio
O4

• Se resuelven por lugares geométricos y aplicando
  las propiedades de las tangencias.

O1

• Circunferencia tangente a dos rectas rrR
• Circunferencia tangente a una recta y a otra
  circunferencia rcR
• Circunferencia tangente a otras dos
  circunferencias ccR

O3
O1
O4
O1
O3
O3
O4
O2
O2
c
O2
5
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. PPP

• Por tres puntos. Existe una solución única. Se
  determina por lugares geométricos.
• PPP (no alineados). El centro está en las
  mediatrices de los segmentos determinados por los
  puntos.
• PPP (alineados). La solución es una recta.

O
6
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. PPr

• Por dos puntos y tangente a una recta. Existen
  dos soluciones. Se determinan por potencia.
• PPr (general). Los centros están en la mediatriz
  de PP. PP es el eje radical de las dos
  soluciones y su intersección con r es C.
• Por P y P se traza una circunfe-rencia y se
  determina T, punto de tangencia desde C.
• Los puntos de tangencia T1 y T2 es-tán en la
  circunferencia con centro en C y que pasa por T y
  en las per-pendiculares, los centros O1 y O2.
• PPr (PP perpendicular a r). Por lugares
  geométricos.
• PPr (PP paralelo a r). Solución única. Por
  lugares geométricos.

O2
O1
O1
T
T2
T1
C
T1
7
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. PTr

• Tangente a una recta por un punto de ésta y uno
  exterior. Existe una solución única. Se determina
  por lugares geométricos.
• PTr. El centro está en la perpendicular por T y
  en la mediatriz de PT.

O
8
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. PPc

• Por dos puntos y tangente a una circunferencia.
  Existen dos soluciones. Se determinan por
  potencia.
• PPc (general). Los centros están en la mediatriz
  de PP. PP es el eje radical de las dos
  soluciones.
• Por P y P se traza una circunfe-rencia que corte
  a la dada y se determina su eje radical y el
  centro radical Cr.
• Los puntos de tangencia T1 y T2 se determinan con
  tangentes desde Cr a c y uniendo los puntos de
  tangen-cia con O, los centros O1 y O2.
• PPc (PP concéntrica a c). Se determinan por
  lugares geométricos (mediatrices).

Cr
O1
O1
T1
T1
T2
O2
O
c
O2
T2
9
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. PTc

• Tangente a una circunferencia por un punto de
  ésta y por un punto exterior. Existe una solución
  única. Se determina por lugares geométricos.
• PTc. Su centro está en el radio que pasa por T y
  en la mediatriz de PT.

O1
O
c
10
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Prr

• Por un punto y tangente a dos rectas. Existen dos
  soluciones. Se determinan por potencia o por
  homotecia.
• Prr (por potencia). Los centros están en la
  bisectriz del ángulo que forman las rectas por lo
  que el eje radical de las circunferencias
  solución pasará por P y P, simétrico de P
  respecto a la bisectriz y cuya intersección con r
  es C.
• Por P y P se traza una circunferencia y se
  determina T, punto de tangencia desde C.
• Los puntos de tangencia T1 y T2 están en la
  circunferencia con centro en C y que pasa por T,
  en las perpendiculares los centros O1 y O2 y en
  las perpendiculares a r, T1 y T2.

T2
O2
T
T1
O1
T1
T2
C
11
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Prr

• Por un punto y tangente a dos rectas. Existen dos
  soluciones. Se determinan por potencia o por
  homotecia.
• Prr (por homotecia). Los centros están en la
  bisectriz del ángulo que forman las rectas y
  serán homotéticas de una circunferencia con
  centro en la bisectriz.
• Los homotéticos de P serán P y P y los centros
  están en las paralelas por P.
• Los puntos de tangencia T1,T2,T1 y T2 están en
  las perpendiculares a r y r,

T2
O2
P
T1
O1
P
T1
T2
12
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Trr

• Tangente a dos rectas por un punto de una de
  ellas. Existen dos soluciones. Se determinan por
  lugares geométricos o por potencia.
• Trr (por lugares geométricos). Los centros están
  en las bisectrices del ángulo que forman las
  rectas y en la perpendicular por el punto de
  tangencia.
• Trr (por potencia). Los puntos de tangencia con
  la otra recta están a la misma distancia del
  vértice que T y los centros están en las
  perpendiculares por los puntos de tangencia.

T1
O1
C
T2
O2
13
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Prc

• Por un punto y tangente a una recta y a una
  circunferencia. Existen entre cero y cuatro
  soluciones. Se determinan por inversión y
  posteriormente por potencia.
• Prc. La intersección de la perpendicular a r por
  O con la circunferencia es el centro de inversión
  positiva Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por M, M y P
  se determina P, inverso de P, por el que también
  pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de PP, eje
  radical de las soluciones y su inter-sección con
  r es C.
• Desde C se determina el punto de tangencia T. Los
  puntos de tangencia T1 y T2 están en la
  circunferencia con centro en C y que pasa por T y
  en las perpendiculares, los centros O1 y O2.

Oi
T2
M
T1
O2
O1
M
T1
T
C
T2
14
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Prc

• Por un punto y tangente a una recta y a una
  circunferencia. Existen entre cero y cuatro
  soluciones. Se determinan por inversión y
  posteriormente por potencia.
• Prc. Igualmente, la intersección de la
  perpendicular a r por O con la circunferencia es
  el centro de inversión negativa Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por M, M y
  P se determina P, inverso de P, por el que
  también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de PP, eje
  radical de las soluciones y su intersección con r
  es C.
• Desde C se determina el punto de tangencia T.
  Los puntos de tangencia T3 y T4 están en la
  circunferencia con centro en C y que pasa por T
  y en las perpen-diculares, los centros O3 y O4.

T3
M
O4
Oi
T4
O3
T
M
T3
C
T4
15
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Trc

• Tangente a una recta por un punto de ésta y a una
  circunferencia. Existen dos soluciones. Se
  determinan por homotecia, por dilatación o por
  potencia.
• Trc. Resolución por homotecia. Los puntos
  homotéticos de T están en una paralela a la
  perpendicular por T.
• Los puntos de tangencia son los centros de
  homotecia positiva y negativa.
• Trc. Resolución por dilatación. La circunferencia
  c se convierte en un punto y el punto T se dilata
  en T y en T.
• Los centros de las soluciones están en las
  mediatrices de OT y OT.

T
T1
c
O1
T
T2
T
O2
T
16
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Trc

• Tangente a una recta por un punto de ésta y a una
  circunferencia. Existen dos soluciones. Se
  determinan por homotecia, por dilatación o por
  potencia.
• Trc. Resolución por potencia. La intersección de
  una circunferencia con centro en la
  perpendicular por T corta a c en el eje radical
  er.
• La potencia de la intersección C respecto a las
  soluciones es CTCT1CT2 .

er
T1
O1
T2
O2
C
17
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Tcr

• Tangente a una recta y a una circunferencia por
  un punto de ésta. Existen dos soluciones. Se
  determinan por lugares geométricos, por potencia
  o por homotecia.
• Tcr. Resolución por lugares geométricos. Los
  centros están en la bisectriz del ángulo que
  forma la recta con la tangente a la
  circunferencia en T.
• Tcr. Resolución por potencia. La tangente a la
  circunferencia en T es eje radical de las
  soluciones. La potencia del punto C respecto a
  las soluciones es CTCT1CT2.

O1
T1
O2
C
T2
18
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Tcr

• Tangente a una recta y a una circunferencia por
  un punto de ésta. Existen dos soluciones. Se
  determinan por lugares geométricos, por potencia
  o por homotecia.
• Tcr. Resolución por homotecia. Los centros están
  en el radio OT y los puntos homotéticos de los
  puntos de tangencia T1 y T2 están en una
  perpendicular a r por O.

O1
T
T
T1
O2
T2
19
Ejercicios

1. Dibujar las circunferencias tangentes a O, que
   pasen por P y cuyo centro esté en r.

1. Dibujar las circunferencias tangentes a O y a r
   en el punto T.

20
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Pcc
Oi

• Por un punto y tangente a dos circun-ferencias.
  Existen entre cero y cuatro soluciones. Se
  determinan por inversión y posteriormente por
  potencia.
• Pcc. El centro de homotecia positiva de las
  circunferencias es el centro de inversión
  positiva Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por T, T y P
  se determina P, inverso de P, por el que también
  pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de PP, eje
  radical de las soluciones. Se determina el centro
  radical Cr.
• Desde Cr se hallan los puntos de tangencia T1 y
  T2 en la circunferencia con centro en O. Se
  determinan los centros O1 y O2 y los puntos de
  tangencia T1 y T2.

T1
T
T2
O1
O2
T
T2
Cr
T1
21
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Pcc

• Por un punto y tangente a dos circun-ferencias.
  Existen entre cero y cuatro soluciones. Se
  determinan por inversión y posteriormente por
  potencia.
• Pcc. Igualmente, el centro de homotecia negativa
  de las circunferencias es el centro de inversión
  negativa Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por T, T y P
  se determina P, inverso de P, por el que también
  pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de PP, eje
  radical de las soluciones. Se determina el centro
  radical Cr.
• Desde Cr se hallan los puntos de tangencia T3 y
  T4 en la circunferencia con centro en O y se
  determinan los centros O3 y O4 y los puntos de
  tangencia T3 y T4.

T4
T3
T
Oi
O4
T
T4
O3
T3
Cr
22
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Tcc

• Tangente a dos circunferencias por un punto de
  una de ellas. Existen dos soluciones. Se
  determinan por dilatación, por homotecia o por
  potencia.
• Tcc. Resolución por dilatación. La circunferencia
  c se convierte en un punto y el punto T se
  dilata en T y en T.
• Los centros de las soluciones están en las
  mediatrices de OT y OT.
• Tcc. Resolución por homotecia. Los puntos
  homotéticos de T están en una paralela por O.
• Los puntos de tangencia son los centros de
  homotecia positiva y negativa.

T
O2
T2
T1
O1
T
T
T
23
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. Tcc

• Tangente a dos circunferencias por un punto de
  una de ellas. Existen dos soluciones. Se
  determinan por dilatación, por homotecia o por
  potencia.
• Tcc. Resolución por potencia. La intersección de
  una circunferencia con centro en la
  perpendicular por T corta a c en el eje radical
  er.
• La intersección con la tangente a la
  circunferencia en T es el centro radical. La
  potencia de Cr respecto a las soluciones es CrT
  CrT1 CrT2.

er
O2
T2
T1
O1
Cr
24
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. rrr

• Tangente a tres rectas. Se determinan por lugares
  geométricos. Los centros están en la intersección
  de las bisectrices de los ángulos formados por
  las rectas
• rrr (rectas secantes). Existen cuatro soluciones.
  
• rrr (dos paralelas y una secante). Existen dos
  soluciones.
• rrr (paralelas). No existe solución.

O2
O1
O4
O1
O3
O2
25
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. rrc

• Tangente a dos rectas y a una circunfe-rencia.
  Existen cuatro soluciones. Se determinan por
  dilatación y posterior-mente por potencia.
• rrc. Por dilatación, c se convierte en un punto y
  r y r en r1 y r1.Los centros están en la
  bisectriz del ángulo que forman las rectas por lo
  que el eje radical de las circunferencias
  solución pasará por O y O, simétrico de O
  respecto a la bisectriz y cuya intersección con r
  es C.
• Por O y O se traza una circunferencia y se
  determina T, punto de tangencia desde C.
• A partir de la circunferencia con centro en C que
  pasa por T se determinan los puntos de tangencia
  T1 y T2, en las perpendiculares los centros O1 y
  O2, en las perpendiculares a r, T1 y T2 y
  uniendo con O, T1 y T2 .

T2
O2
T
T2
O1
T1
T1
c
T1
T2
C
26
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. rrc

• Tangente a dos rectas y a una circunfe-rencia.
  Existen cuatro soluciones. Se determinan por
  dilatación y posterior-mente por potencia.
• rrc. Igualmente, por dilatación c se con-vierte
  en un punto y r y r en r2 y r2. Los centros
  están en la bisectriz del ángulo que forman las
  rectas por lo que el eje radical de las
  circunferencias solución pasará por O y O,
  simétrico de O respec-to a la bisectriz y cuya
  intersección con r es C.
• Por O y O se traza una circunferencia y se
  determina T, punto de tangencia desde C.
• A partir de la circunferencia con centro en C
  que pasa por T se determinan los puntos de
  tangencia T3 y T4, en las perpendiculares los
  centros O3 y O4, en las perpendiculares a r, T3
  y T4 y uniendo con O, T3 y T4 .

T4
O4
T3
T
O3
T3
C
T4
c
T3
T4
27
Ejercicios

1. Dibujar cuatro circunferencias de igual radio
   tangentes entre si y tangentes interiores a la
   circunferencia O.

1. Dibujar tres circunferencias de igual radio
   tangentes entre si y tangentes interiores al
   triángulo ABC.

28
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. rcc

• Tangente a una recta y a dos circunfe-rencias.
  Existen entre cero y ocho solu-ciones. Se
  determinan por dilatación y posteriormente por
  inversión y por potencia.
• rcc. Por dilatación c se convierte en c1O r,
  en r1 y c en c1.
• La intersección de la perpendicular a r por O con
  la circunferencia es el centro de inversión
  positiva Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por M1, M1 y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el que
  también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1, eje
  radical de las soluciones y su intersección con
  el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determinan los puntos de tangencia T1
  y T2 y posteriormente O1, O2...

O2
O2
T2
T2
c1
Cr
Oi
c1
T1
T1
M1
O1
T1
M1
29
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. rcc

• Tangente a una recta y a dos circunfe-rencias.
  Existen entre cero y ocho solu-ciones. Se
  determinan por dilatación y posteriormente por
  inversión y por potencia.
• rcc. Igualmente, por dilatación c se convierte
  en c1O r, en r2 y c en c1.
• La intersección de la perpendicular a r por O con
  la circunferencia es el centro de inversión
  negativa Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por M2, M1 y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el que
  también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1, eje
  radical de las soluciones y su intersección con
  el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determinan los puntos de tangencia T3
  y T4 y posteriormente O3, O4

O4
O4
c1
T3
M1
T3
O3
Oi
T4
Cr
T4
M2
T3
30
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. rcc

• Tangente a una recta y a dos circunfe-rencias.
  Existen entre cero y ocho solu-ciones. Se
  determinan por dilatación y posteriormente por
  inversión y por potencia.
• rcc. Igualmente, por dilatación c se convierte
  en c1O r, en r1 y c en c2.
• La intersección de la perpendicular a r por O con
  la circunferencia es el centro de inversión
  negativa Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por M1, M2 y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el que
  también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1, eje
  radical de las soluciones y su intersección con
  el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determinan los puntos de tangencia T5
  y T6 y posteriormente O5, O6...

O6
O6
M2
T6
c1
T5
T5
T6
O5
Oi
T5
M1
31
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. rcc

• Tangente a una recta y a dos circunfe-rencias.
  Existen entre cero y ocho solu-ciones. Se
  determinan por dilatación y posteriormente por
  inversión y por potencia.
• rcc. Igualmente, por dilatación c se convierte
  en c1O r, en r2 y c en c2.
• La intersección de la perpendicular a r por O con
  la circunferencia es el centro de inversión
  positiva Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por M2, M2 y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el que
  también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1, eje
  radical de las soluciones y su intersección con
  el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determina los puntos de tangencia T7
  y T8 y posteriormente O7, O8...

O8
Oi
T7
Cr
T8
c1
T7
O7
T8
M2
T7
M2
32
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. ccc

• Tangente a tres circunferencias. Conocido como
  Problema de Apolonio. Existen entre dos y ocho
  soluciones. Se determinan por dilatación y
  posterior-mente por inversión y por potencia.
• ccc. Por dilatación c se convierte en c1O
  c, en c1 y c en c1.
• La intersección de las tangentes exteriores a las
  circunferencias es el centro de inversión
  positiva Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por T, T y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el
  que también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1,
  eje radical de las soluciones y su intersección
  con el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determinan los puntos de tangencia
  T1 y T2 y posteriormente O1, T1 y T1 O2, T2
  y T2.

Oi
Cr
T2
T2
c1
T1
T1
T
O1
T1
O2
T
T2
33
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. ccc

• Tangente a tres circunferencias. Conocido como
  Problema de Apolonio. Existen entre dos y ocho
  soluciones. Se determinan por dilatación y
  posterior-mente por inversión y por potencia.
• ccc. Igualmente, por dilatación c se convierte
  en c1O c, en c1 y c en c2.
• La intersección de las tangentes interiores a las
  circunferencias es el centro de inversión
  negativa Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por T, T y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el
  que también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1,
  eje radical de las soluciones y su intersección
  con el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determinan los puntos de tangencia T3
  y T4 y posteriormente O3, O4

O4
c1
Cr
T3
T
T4
Oi
T3
T4
T4
O3
T
T3
34
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. ccc

• Tangente a tres circunferencias. Conocido como
  Problema de Apolonio. Existen entre dos y ocho
  soluciones. Se determinan por dilatación y
  posterior-mente por inversión y por potencia.
• ccc. Igualmente, por dilatación c se convierte
  en c1O c, en c2 y c en c1.
• La intersección de las tangentes interiores a las
  circunferencias es el centro de inversión
  negativa Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por T, T y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el
  que también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1,
  eje radical de las soluciones y su intersección
  con el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determinan los puntos de tangencia T5
  y T6 y posteriormente O5, O6

T6
c1
T5
O5
T
T5
T6
T5
Oi
O6
Cr
T
T6
35
Tangentes a tres puntos, rectas o
circunferencias. ccc

• Tangente a tres circunferencias. Conocido como
  Problema de Apolonio. Existen entre dos y ocho
  soluciones. Se determinan por dilatación y
  posterior-mente por inversión y por potencia.
• ccc. Igualmente, por dilatación c se convierte
  en c1O c, en c2 y c en c2.
• La intersección de las tangentes exteriores a las
  circunferencias es el centro de inversión
  positiva Oi.
• Trazando la circunferencia que pasa por T, T y
  c1 se determina c1, inverso de c1, por el
  que también pasan las soluciones.
• Los centros están en la mediatriz de c1c1,
  eje radical de las soluciones y su intersección
  con el otro eje radical es Cr.
• Desde Cr se determinan los puntos de tangencia
  T7 y T8 y posteriormente O7, O8

Oi
Cr
T8
c1
T7
T7
O7
T8
T7
T
T8
O8
T
36
Ejercicios

1. Dibujar la figura a la escala más adecuada,
   resolviendo los diferentes enlaces y determinando
   centros y puntos de tangencia.

37
Créditos

• Esta presentación ha sido ideada, creada y
  desarrollada por José I. Álamo Martín. 2016.