Un Modelo Matem

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Un Modelo Matemático Para Reacciones Químicas
ReversiblesEduardo S. Pérez Cisneros y
Roberto Quezada
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Modelo Matemático

• Un Modelo matemático es una descripción en
  términos matemáticos (variables, funciones,
  ecuaciones,) de un problema o fenómeno del mundo
  real.
• Por ejemplo
• La velocidad de un objeto que cae
• El crecimiento de una Población
• La concentración de un producto en una reacción
  química
• Las Reacciones químicas que ocurren cuando se
  encuentran presentes varias sustancias

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Modelo Matemático

• El Propósito de un modelo matemático es
  comprender el fenómeno y hacer predicciones
  acerca de su comportamiento futuro. El proceso de
  modelado matemático se describe en la siguiente
  figura

Problema del mundo real
Modelo Matemático
Formular
Resolver
Probar
Predicciones acerca del mundo real
Conclusiones matemáticas
Interpretar
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Problema

• El Problema que deseamos resolver es encontrar
  las reacciones químicas que ocurren cuando en un
  recipiente se encuentran presentes varias
  sustancias.
• Consideremos el siguiente ejemplo
• Supóngase que se encuentran presentes en un
  tanque de reacción las siguientes especies O2,
  NH3, H2O, NO. Se desea conocer cuántas y cuáles
  son las reacciones posibles

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Formulación del Modelo

• Los elementos presentes en el tanque de reacción
  son   O, N, H. La siguiente tabla contiene la
  información necesaria para formular nuestro
  modelo

O2 NH3 H2O NO
O 2 0 1 1
N 0 1 0 1
H 0 3 2 0
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Formulación del modelo

• Las especies reaccionan en diferentes
  proporciones unas con otras para producir nuevas
  sustancias. Puesto que no sabemos cuántas partes
  de cada especie reaccionan con las otras, es
  natural considerar como variables de nuestro
  modelo a las cantidades de cada especie que
  reaccionan.
• Representemos por x1 a la cantidad de O2 que
  reacciona, x2 a la cantidad de NH3 que reacciona,
  x3 es la cantidad de H2O y x4 la cantidad de NO
  que reacciona.
• De acuerdo con la ley de conservación de la
  materia, las cantidades presentes de los
  elementos O, N, H deben ser las mismas antes y
  después de que las reacciones ocurran, esto lo
  expresamos mediante las siguientes ecuaciones
• 2 x1 x3 x4 0
• x2 x4 0
• 3 x2 2 x3 0

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Formulación del Modelo

• Donde permitimos que nuestras variables x1, x2,
  x3, x4, tomen valores positivos o negativos. Para
  interpretar los signos podemos convenir en
  considerar que un valor positivo de la variable
  significa que la especie correspondiente es un
  reactivo, mientras que un valor negativo
  significa que es un producto. Es decir, está en
  el lado izquierdo o derecho de la reacción.
• Nótese que el sistema de ecuaciones anterior,
  que es nuestro modelo matemático, se puede
  obtener a partir de la siguiente matriz (arreglo
  de números) de la tabla (1)

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Solución del Sistema de Ecuaciones

• Estamos en la segunda etapa del proceso de
  modelado. Resolvamos el sistema de ecuaciones
  lineales
• De la tercera ecuación tenemos que
• x3 -(3/2) x2 (3)
• Y de la segunda se obtiene que
• x4 - x2 (4)
• Sustituyendo (3) y (4) en la primera ecuación se
  obtiene
• 2x1--(3/2) x2-x2 0
• O bien,
• x1(5/4) x2 (5)
• Las ecuaciones (3), (4) y (5) muestran que x1, x3
  y x4 se pueden escribir en términos de x2. La
  variable x2 está libre, es decir, a ella le
  podemos asignar cualquier valor real. Por
  ejemplo, si tomamos x21, obtenemos que x15/4,
  x3-3/2, y x41. Esta solución se puede escribir
  como un vector de la forma (x1, x2, x3, x4), o
  así (5/4, 1, -3/2, -1) . Y si tomamos x24,
  entonces tenemos que x15, x3-6, y x4-4, el
  vector correspondiente a esta solución es (5, 4,
  -6, -4).

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De acuerdo con nuestro convenio para los signos
de las variables, la segunda solución del
sistema, es decir (5, 4, -6, -4) indica que 5
partes de O2 y cuatro partes de NH3 reaccionan
para producir 6 partes de H2O y 4 partes de NO.
Es decir, tenemos la reacción
Interpretación

• Nótese que al tomar x2-4, tenemos la solución
  (-5, -4, 6, 4) que corresponde a la reacción
• Cuál sería la reacción que corresponde con la
  solución (5/4, 1, -3/2, -1)?. Sería una reacción
  en la que 5/4 de O2 reacciona con NH3 para
  producir 3/2 de H2O y NO. Pero qué significan
  3/2 de H2O y 5/4 de O2?. Puesto que no es posible
  dar significado real a cantidades como 3/2 de H2O
  , podemos concluir que la solución (5/4, 1, -3/2,
  -1) del sistema de ecuaciones no corresponde con
  alguna reacción posible, es decir, esta solución
  no tiene interpretación (o significado) en
  términos del problema real.

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Interpretación
Las soluciones del sistema de ecuaciones que
tienen interpretación en términos del problema
real, son aquellas con valores enteros para x1,
x2, x3, x4. En otras palabras, los valores
enteros que son aceptables para x2 son aquellos
que den valores enteros para x1, x3, x4. Aún con
esta restricción tenemos infinidad de soluciones,
he aquí algunas de ellas con x28 obtenemos que
x110, x3-12 y x4-8, el vector correspondiente
es (10, 8, -12, -8) y la reacción correspondiente
sería Pero esta es la misma reacción que
obtuvimos antes, sólo que con el doble de
productos y reactivos. El lector puede comprobar
que con cualesquiera otros valores enteros
aceptables de x2 se obtiene la misma reacción o
su inversa. En conclusión Ocurre sólo una
reacción reversible
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Prueba del Modelo

• Para probar nuestro modelo necesitamos ir al
  laboratorio y realizar un experimento. El
  experimento consiste en colocar en un tanque de
  reacción las especies correspondientes y
  verificar que realmente ocurre la reacción
  reversible que ha predicho nuestro modelo
  matemático
• Ejercicio
• Encuentre las reacciones que ocurren cuando se
  encuentran presentes las siguientes especies H2,
  H2O, CH4, CO2, CO.
• Cuáles son las reacciones que ocurren entre
  todas las especies?