Tableau de bord

1
(No Transcript)
2
Tableau de bord
3
QCM personnalisés
4
Cette semaineune enquête

• Pour mieux connaître votre équipement
  informatique, et votre utilisation du site web
  MathSV

5
1 seule fois, svp
6
Primitives Intégration? un dernier exemple

• La probabilité de rencontre entre deux individus
  dune même espèce

7
Probabilité de se rencontrer au temps t
8
Probabilité de se rencontrer entre t1 et t2
t1
t2
9
(No Transcript)
10
(No Transcript)
11
La modélisation

• ? Lexemple des tourterelles en Grande Bretagne

12
Croissance dune population de tourterelles

• Au début du 20ème siècle, les populations de
  tourterelles turques ont envahi lEurope dEst en
  Ouest et arrivent en Grande Bretagne 1 lieu
  recensé en 1955 501 en 1964 !
• On sintéresse à laccrois-
• sement de la population
• de ces tourterelles en GB.

13
Données de recensement
14
Un autre regard

• Variation du nombre de lieux
• DN a N Dt

15
Un autre regard

• Laccroissement du nombre de lieux
• DN a N Dt

16
Un autre regard

• Laccroissement du nombre de lieux
• DN a N Dt
• Dautres hypothèses
• Les individus sont isolés les uns des autres
• Pas de compétition intra-spécifique
• Ils sont bien représentés par leur moyenne
• Pas de variabilité individuelle

17
Accroissement
Accroissement relatif
Équation différentielle
18
Retour sur un autre exemple

• Lors de ladministration dun médicament par
  injection intraveineuse, la quantité de
  médicament dans le sang (QMS) est instantanément
  maximale, puis décroît pourquoi ?

19
Exemple en pharmacocinétique

• A chaque instant t, la variation de la quantité
  de médicament dans le sang est proportionnelle à
  la quantité de médicament dans le sang à
  linstant t

Équation différentielle
20
Les équations différentielles
21
Un peu dhistoire

• La notion d'équation différentielle apparaît chez
  les mathématiciens à la fin du XVIIème siècle.
• Leibniz sera l'inventeur en 1686, en même temps
  que Newton, du calcul différentiel et intégral.
• A cette époque, les équations différentielles
  s'introduisent en mathématique par le biais de
  problèmes d'origine mécanique ou géométrique.
• Ce nest quau XXème siècle que les équations
  différentielles trouvent de nombreuses
  applications dans les Sciences de la Vie

22
Définition

• On appelle équation différentielle une relation
  entre les valeurs de la variable x et les valeurs
  y, y, y, , y(n) dune fonction inconnue y(x)
  et de ses dérivées au point x.

23
Lexique général

• Dérivée première
• Dérivée n ième

24
Lexique général

• Résoudre (intégrer)
• Conditions initiales
• Solution particulière
• Courbe intégrale

25
Une infinité de solutions

• y ? y(x) notion de primitive
• Si y(x), alors y(x) Cste est aussi solution

26
Un exemple trivial

• On cherche y(x) telle que y (x) x
• On cherche la primitive de y(x)

27
Pour aller plus loin
? Quelques méthodes types
28
Équations Différentielles dordre 1

• À variables séparables
• Homogènes
• Linéaires
• Sans second membre (SSM)
• Avec second membre (ASM)
• À coefficients constants
• Condition initiale

29
Prochain RDVVendredi 01/10 à 8h15

• Équations Différentielles
• Suite et fin
• ATTENTION, vendredi EVALUATION TD