Transformations discr

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Transformations discrètes et relation discret -
continu
Eric ANDRES Laboratoire SIC Signal Image -
Communications Université de Poitiers

• Lyon, Juin 2006

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Applications Quasi-Affines et relation
discret-continu

• Les travaux présentés ce matin sont en grande
  partie ceux de Philippe Nehlig, Marie-Andrée
  DaCol (pour les AQAs) et Gaëlle Largeteau (pour
  les transformations discret-continues).
• Applications Quasi-Affines transformations peu
  connues liées aux pavages, à des dynamiques
  intéressantes, à la compréhension de certains
  phénomènes calculatoires.
• Transformation discret-continue définir des
  opérations en utilisant les deux espaces discret
  et continu.
• Mettre en place un cadre plus théorique pour
  parler des fondements de la géométrie discrète
  (changements déchelles, analyse non standard,
  aspect effectif des algorithmes) dans lidée
  daborder de définitions dopérations (par ex.
  les rotations par aqa) et détudier les
  propriétés.

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Le discret un monde bien étrange
4
Le discret un monde bien étrange
5
Le discret un monde bien étrange
2 droites discrètes orthogonales
Avec une intersection vide
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Relations Continu - Discret
Il existe une relation  paramétrable  entre les
deux
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Relations Continu - Discret
Taille des voxels diminue plus vite que
lépaisseur de la droite naugmente
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Relations Continu - Discret
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Relations Continu - Discret

• Continu

Objet A avec propriété 1,2,3,
Objet A1 Avec prop 1,3,15,
Objet Ak Avec prop k1, k2, k3,
Discret
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Relations Continu - Discret
Classe déquivalence
Discrétisation et Reconstruction
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Droite analytique discrète
J.-P. Reveillès (1991)
Représentation en compréhension
Equation analytique
a,b entiers, a/b pente de la droite, w épaisseur
arithmétique, c constante de translation.
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Propriétés
0 ? 5x 7y lt w
w lt sup(a,b) droite non connexe des 1-tunnels
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Propriétés de la droite
Prenons a/b 5/17 et la suite y(xi) axi / b
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
y(xi) 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
axi / b 0 5 10 15 3 8 13 1 6 11 16 4 9 14 2 7 12
4
0
16
0
14
Propriétés de la droite
5 / 17
c c c d c c d c c c
d c c d c c d
A tout rationnel a/b Christoffel associe les
lettres L1Lb à la suite r(i)ai/b avec i1,,b
où une lettre Li vaut c si r(i)ltr(i1) et d
sinon. Comme les deux dernières lettres valent
tjs dc on appelle le mot de Christoffel le mot
Ch(a/b) L1 Lb-2 On retrouve bien sur les
paliers de la droite discrète.
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Propriétés de la droite
Il existe un rapport entre le mot de Christoffel
et le développement en fraction continue de a
a/b avec 0ltalt1. Soit a s,s1, , sn le
développement en fraction continue de a/b. Le mot
de Christoffel Ch(a) est construit avec les
suites de mots gn, Cn, dn
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Propriétés de la droite
Avec
On a donc s3, s12, s22 et n2.
Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)c1 g2 g1
g avec gc2, c1c2d, d1c3d g1c1c2d,
c2c1d1c2dc3d, d2c12d1c2dc2dc3d
g2c2c2dc3d.
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Propriétés de la droite
Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17) c1 g2
g1 g avec gc2, c1c2d, g1c2d, g2c2c2dc3d.
Soit au final Ch(5/17) c2d.c2dc3d.c2d.c2 Si on
code dans c.Ch(5/17).d cccdccdcccdccdccd le mot
c3d par L et c2d par C On retrouve un condensé du
mot et surtout
5 / 17
L C
L C C
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Propriétés de la droite
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Propriétés de la droite
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Applications Quasi-Affines
Definition
Reveilles 1991
En général
Avec la matrice
et le vecteur
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Application Quasi-Affine
F(x,y)
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Dynamique

• Si pour toutes les droites Dm axby ?
  mw,(m1)w et
• Dncxdy ? nw,(n1)w ont une intersection
  alors tous les arbres de lAQA
  ne sont pas bornés
  (chaque point à un antécédent).
• Les feuilles correspondent à des couples (n,m)
  de droites qui ne sintersectent pas.

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Pavages
A(2,2) appartient à lintersection de D0 et D1.
Limage de A par lAQA est par conséquent
(0,1). Def. Pavé Pi,j Di ? Dj F-1(i,j)
Le pavé P0,0 est égal à lintersection entre D0
et D0
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Pavages
Définition 2 pavés sont arithmétiquement
identiques si leurs premiers restes sont égaux
pour chaque point des pavés. Propriété des
pavés arithmétiquement égaux sont géométriquement
égaux (la réciproque est fausse).
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Cas plus général Nombre de pavés
Le nombre de pavés différent à lordre 1 est égal
à Avec d ad-bc. Si w ad-bc Alors tous les
pavés sont identiques et contiennent w points.