Programmation Logique par Contraintes

1
Programmation Logique par Contraintes

• CHIP
• P.De Loor

2
Plan

• Limites de la programmation logique

3
Limites de la programmation logique

• Petit programme prolog
• fact(0,1).
• fact(X,Y)-
• X2 is X-1,
• fact(X2,Z),
• Y is ZX.
• ?- fact(3,X).
• X 6
• ?- fact(Y,6).
• WARNING Arguments are not sufficiently
  instanciated
• Exception ( 9) _L168 is _G123-1 ?

4
Limites de la programmation logique

•  is  n est pas qu une unification
• copie(X,Y)-
• X is Y.
• ?- copie(X,56).
• WARNING Arguments are not sufficiently
  instanciated
• Exception ( 9) _L169 is _G127 ?

5
Limites de la programmation logique

• Prolog ne  raisonne  pas sur les opérations
• fact(0,1).
• fact(X,Y)-
• X2 X-1,
• fact(X2,Z),
• Y ZX.
• ?- fact(3,X).
• Call (11)fact(3-1-1-1, _L195) ? creep
• Call (12) 3-1-1-10 ? creep
• Fail (12) 3-1-1-10 ? creep
• !!!

6
Limites de la programmation logique

• Petit programme CHIP
• fact(0,1).
• fact(X,Y)-
• X gt 0,
• X2 X-1,
• fact(X2,Z),
• Y ZX.
• ?-fact(5,X).
• X120 ?
• ?-fact(120,Y).
• Y5 ?

7
Limites de la programmation logique

• Optimiser ?
• maximiser(, Min, Max, Val )-
• XMax,
• Y is Val.

8
Généralités sur la PLC

• Origines

9
Généralités sur la PLC

• Domaines d applications

10
Généralités sur la PLC

• Ré-utilisation de la programmation logique,
  syntaxe prolog.
• CLP(X) concepts J.L Lassez et J. Jaffar 87.
• Preuves
• - Les solutions trouvées sont correctes.
• - Toutes les solutions sont trouvées.

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CHIPgénéralités

• Version industrielle de la PLC
• Prolog contraintes
• Société COSYTEC
• Contraintes sur Domaines
• Contraintes sur Rationnels
• Contraintes Booléennes
• Classes
• Interface Oracle, C, Xwindows
• Concurrents ILOG-SOLVER, PROLOG IV
• générique, I.A. (déclaratif)

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Domaines finis Applications Types

• Emplois du temps
• Planification (capacités finies)
• Placement d objets ou de formes
• Optimisation de stratégies (jeux)
• Coloriage de cartes
• Optimisation de parcours
• Problème d assignation

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Contraintes sur les domaines finis

• Un domaine
• est une variable X
• peut avoir plusieurs valeurs entières.
• le nombre des valeurs est fini.
• possède des bornes min et max
• Les contraintes peuvent être
• arithmétiques,
• symboliques,
• globales

14
Contraintes sur les domaines finis exemple

• Puzzle Cryptarithmétique
• S E N D
• M O R E
• -----------
• M O N E Y
• Chaque caractère est un chiffre (0..9)
• S,E,N,D,M,O,R,Y 0..9

15
Contraintes sur les domaines finis exemple

• Les contraintes
• Tous les chiffres sont différents
• alldifferent(S,E,N,D,M,O,R,Y)
• Les nombres ne commencent pas par 0.
• S\0, M\0
• L addition doit être satisfaite.
• 1000S 100E 10N D
• 1000M 100O 10R E
• 10000M 1000O 100N 10E Y

16
Contraintes sur les domaines finis exemple

• crypt -
• S,E,N,D,M,O,R,Y0..9,
• alldifferent(S,E,N,D,M,O,R,Y),
• S\0, M\0,
• 1000S 100E 10N D
• 1000M 100O 10R E
• 10000M 1000O 100N 10E Y,
  labeling(S,E,N,D,M,O,R,Y,0,first_fail,indomain),
  vu après
• writeln(S,E,N,D,M,O,R,Y).
• allSolutions -findall(_,crypt,_).

17
Définition de domaines finis

• X est compris entre 1 et 10
• X1..10
• Liste de variables
• X1,X2,X31..10
• Limite des domaines entre 0 et 100000 (couteux)

18
Types de domaines finis

• Suite d entiers consécutifs
• XA..B,
• (explicitement représentés en mémoire)
• Ensemble de valeurs
• XV1, V2, V3,
• (restriction a priori de domaine grande liste
  couteux)
• Intervalles
• XAB,
• (Seuls le min et le Max sont mis à jour)
• (très peu couteux pour des grands domaines)
• (impossibilité d enlever des valeurs
  intermédiaires)

19
Domaines exemples

• wflags(64). (force l affichage des domaines)
• ?- X1..5.
• X X in 1..5 ?
• ?- X15.
• X X in 1..5 ?
• ?- X5,9,2 ?
• X X in 5,9,2 ?

20
Termes linéaires sur des domaines finis

• Un entier naturel (c)
• Un domaine (X)
• c X ou X c
• (c entier, X variable)
• X Y
• Pas de négatifs ni de signes  -  dans un terme.

21
Prédicats d information sur les variables

• integer(X)
• réussit si X est un entier
• dvar(X)
• réussit si X est une variable à domaine fini
• dvarint(X)
• réussit si X est un entier ou une variable à
  domaine fini.

22
Unification sur les domaines finis

• Domaine X et variable  libre  Y
• Y devient un domaine équivalent à X.
• Domaine X et entier c
• si c appartient au domaine, X devient l entier c
• sinon échec de l unification (fail)
• Domaine X et Domaine Y
• calcul de leur intersection
• si intersection vide, échec
• si l intersection est une valeur, X et Y
  deviennent un entier de cette valeur
• si l intersection est un ensemble, les domaines
  de X et Y sont réduits à cet ensemble

23
Contraintes arithmétiques sur les domaines

• X, Y domaines
• c variable entière
• X lt Y
• X lt Y
• X gt Y
• X gt Y
• X Y
• X \ Y
• X \ Y c

24
Contraintes arithmétiques sur les domaines

• distance(X,Y,Comp,Dist)
• distance X-Y
• Comp (gt,,lt)
• Dist entier
• notin(X, From, To)
• les valeurs de X ne sont pas entre From et To.
• X1..10, notin(X,5,9) .
• X X in 1..4,10?
• X110, notin(X,5,9).
• No (more) solutions.

25
Contraintes symboliques sur les Domaines

• allDifferent(List)
• atleast(N,List,V)
• au moins N de List ont la valeur V
• atmost(N,List,V)
• au plus N de List ont la valeur V
• maximum(X,List)
• le domaine X possède la plus grande valeur de
  List.
• minimum(X,List)

26
Contraintes symboliques sur les domaines

• circuit(L),
• - les éléments de L doivent être un circuit
  Hamiltonien.
• 38?- length(L,5), L1..5, circuit(L),
  labeling(L,0,first_fail,indomain).
• L 2, 3, 4, 5, 1 ?
• L 2, 3, 5, 1, 4 ?
• L 2, 4, 1, 5, 3 ?
• L 2, 4, 5, 3, 1 ?
• L 2, 5, 1, 3, 4 ?
• L 2, 5, 4, 1, 3 ?
• ...

1
2
4
5
3
27
Contraintes symboliques sur les domaines

• element(Index, List, Value)
• X0..10, element(X,3,5,9,C).

X
X in 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
C
C in lt2,5,8gt
28
Prédicats de Choix

• indomain(X)
• choix d une valeur de X
• par défaut commence par la plus petite valeur
  du domaine.
• indomain(X,Method)
• Method
• - min (idem que indomain/1)
• - max (la plus grande)
• - middle
• - 3 (un entier )

29

Exemple

• ex1(X,Y,Z)-
• X,Y,Z1100,
• X gt Y10,
• Y gt Z 25,
• indomain(X).
• 97?- ex1(X,Y,Z).
• X 38
• Y 27
• Z 1 ?
• 1 call(s) delayed
• X 39
• Y Y in 27..28
• Z Z in 1..2 ?
• 1 call(s) delayed
• X 40
• Y Y in 27..29
• Z Z in 1..3 ?

30
Prédicats de choix

• Assigner une liste de valeur ?
• Labeling().
• Labeling(HT)-
• indomain(H),
• labeling(T).
• Dans quel ordre évaluer les variables ?
• Quelles valeurs tester ?

31
Prédicats de choix

• Labeling(List,Arg,Method,Pred)
• List liste des variables ou terms
• Arg 0 pour liste de variable
• n du terme si liste de term
• Method voir page suivante
• Pred prédicat d affectation,
• généralement indomain
• mais possibilité de
• configuration

32
Prédicats de choix

• Les heuristiques (Méthodes) d ordre
  d affectation
• first_fail variable de plus petit domaine,
  théoriquement plus rapide (petit arbre de
  recherche)
• most_constrained comme first_fail mais si
  conflit, préférer la variable intervenant le plus
  souvent dans les contraintes, solution
  performante.

33
Prédicats de choix

• smallest variable ayant la plus petite valeur de
  son domaine économiser de la mémoire.
• Largest l inverse de smallest, utiliser si l on
  connaît une valeur max possible (?)
• max_regret variable ayant la plus grande
  différence entre la plus petite et la 2ème plus
  petite valeur de son domaine -gtpour les variables
  de type cout, ce critère est une bonne mesure du
   travail  qu il rest à faire (convergence).

34
Exemple

• top(L,N)-
• length(L,N),
• L1..N,
• alldifferent(L),
• labeling(L,0,first_fail, indomain).
• 99?- top(L,7).
• L 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ?
• L 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6 ?
• L 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7 ?
• L 1, 2, 3, 4, 6, 7, 5 ?
• ...

35
Prédicats d opimisation

• Recherche la meilleur solution
• Recherche rapide (un  findall  est exclu)
• min_max(Goal, C)
• Goal prédicat à satisfaire
• C liste de couts
• minimise la valeur de C.

36
Prédicats d optimisation

• Accélérer la recherche
• min_max(Coal, C, lower, Upper)
• Une solution inférieure à lower peut être
  considérée optimale.
• Une solution supérieure à Upper ne peut l être.
• min_max(Coal, C, lower, Upper, Percent)
• fixe un pourcentage Percent minimum entre deux
  solutions qui se suivent dans la recherche.
• min_max(Coal, C, lower, Upper, Percent, Timeout)
• la recherche s arrête après Timeout secondes

37
Exemple

• top -
• X1..10,
• Y1..10,
• X2 lt Y,
• min_max(labeling(X,Y,0,first_fail,indomain),XY
  ).
• 108?- top.
• THE SOLUTION IS
• labeling(1, 4, 0, first_fail, indomain)
• ITS COST IS 5
• min_max -gt proven optimality

38
Exemple

• travel(Cities, Costs) -
• CitiesX1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,
• Costs C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,
• Cities1..7,
• element(X1,0,205,377,581,461,878,345, C1),
• element(X2,205,0,882,427,390,1105,540, C2),
• element(X3,677,882,0,619,316,201,470, C3),
• element(X4,581,427,619,0,412,592,570, C4),
• element(X5,461,390,316,412,0,517,190, C5),
• element(X6,878,1105,201,592,517,0,69, C6),
• element(X7,345,540,470,570,190,691,0, C7),
• circuit(Cities),
• min_max(labeling(Costs,0,max_regret,indomain),C1
  C2C3C4C5C6C7).
• Xi sera la ième ville visitée
• Ci représente le coût pour aller de la ville i a
  j.
• Exemple pour aller de la ville 2 à la ville 3
  ça coute 882

39
Exemple

• 29?- travel(Citees,Cout).
• THE SOLUTION IS
• labeling(377, 205, 201, 427, 412, 69, 190, 0
• ITS COST IS 1881
• -----------------------------------------
• min_max -gt proven optimality
• Citees 3, 1, 6, 2, 4, 7, 5
• Cout 377, 205, 201, 427, 412, 69, 190 ?
• no (more) solutions

201
377
3
1
6
205
69
2
7
427
5
4
190
412
40
Contraintes globales sur domaines

• diffn(ListOfRectangle)
• Les rectangles ne doivent pas se chevaucher.
• Leur position et leur taille sont des domaines
• diffn(1,1,3,2,5,3).
•  Rectangles  à n-dimension (hypercubes)
• contraintes sur les volumes, les distances, les
  régions
• diffn(Rectangles, Min_volume, Max_volume,
  End, Distances, Regions)

début
taille
1 2 3 4 5 6 7 8
41
Contraintes globales sur Domaines

• Contraintes cumulatives
• entre ensembles de domaines
• basée sur un élément tache
• répartitions (temporelle, 2D, 3D)
• 20 méthodes de résolutions conjointes
• cumulative(Starts, Duration, Resources, Ends,
  Surfaces, High, End, Intermediate, Interruption).

Exemple de tâche i
Taux d utilisation
Hi
(souvent t)
Si
Ei
42
Contraintes globales sur Domaines

• Exemple d utilisation simplifiée
• Si, Di et Ri sont des domaines à définir.
• cumulative(S1,S2,Sn, D1,D2,,Dn,
  R1,R2,,Rn, unused, unused, Limit, End, unused
  unused).
• A tout instant ? Ri ? Limit

Limit
End
43
Contraintes globales sur Domaines

• Contraintes de précédence
• precedence/5
• cumulative lt
• Contraintes de cycle
• cycle/2 à cycle/12
• exemple
• 49?- length(L,3), L1..10, cycle(2,L),
  labeling(L,0,first_fail,indomain).
• L 1, 3, 2 ?
• L 2, 1, 3 ?
• L 3, 2, 1 ?
• no (more) solutions

1
1
2
2
3
3
cycle(2,L)
44
Contraintes globales sur domaines

• Among/5
• Nombre d occurrence de valeur dans une suite de
  domaines
• X1,X2,X3, X4,X51..4,
• K1..5, among(1,2,K,X1,X2,X3,X4,X5,0,0,0,0,
  0,1,2,3,1,3,4,all),
• 1 ou 2 apparaissent 1 fois
• 3 apparaît 2 fois
• 1,3,4 apparaissent entre 1 et 5 fois

45
Contraintes globales sur les domaines

• Utilisation de among
• top-
• X1,X2,X3, X4,X51..4,
• K1..5,
• among(1,2,K,X1,X2,X3,X4,X5,0,0,0,0,0,1,2
  ,3,1,3,4,all),
• labeling(X1,X2,X3,X4,X5,0,most_constrained,indo
  main),
• writeln(X1,X2,X3,X4,X5).
• 94?- top.
• 1, 3, 3, 4, 4

46
Prédicats d information sur les domaines

• dom(X,L)
• top(L)-
• X11..4,
• X1\2,
• dom(X1,L).
• 37?- top(L).
• L 1, 3, 4 ?
• 39?- X1..4, indomain(X), dom(X,L).
• X 1
• L 1 ?
• X 2
• L 2 ?

47
Prédicats d information sur les domaines

• domain_info(X,Min,Max,Size,Occurrence,Active)
• 43?- X1..4, X\3, domain_info(X,Mn,Mx,S,NbO,NbA
  ).
• X X in 1..2,4
• Mn 1
• Mx 4
• S 3
• NbO 0 nb de contraintes où X est utilisée
• NbA 0 ? nb contraintes utilisant X non résolues

48
Prédicats d information sur les domaines

• 46?- X1..4, Y2..6, X\3, XgtY,
  domain_info(X,Mn,Mx,S,NbO,NbA).
• 1 call(s) delayed
• X X in 2,4
• Y Y in 2..4
• Mn 2
• Mx 4
• S 2
• NbO 1
• NbA 1 ?
• 47?- X1..4, Y2..6, X\3, XgtY, indomain(Y),
  domain_info(X,Mn,Mx,S,NbO,NbA).
• X X in 2,4
• Y 2
• Mn 2
• Mx 4
• S 2
• NbO 1

49
Prédicats d information

• is_in_dom(X,V).
• Réussi si la valeur V se trouve dans le domaine
  X
• pc(Term).
• Affiche toutes les contraintes actives sur
  toutes les variables du term Term

50
Méthodes de recherche partielles

• Propagation conditionelle
• If Cond then Pred1 else Pred2
• Cond doit etre satisfait pour toutes les valeurs
  des domaines concernés.
• Démons de mise à jour
• touched(Callback, Var, Info, Type)
• le prédicat Callback(Var,Info) sera appelé
  lorsque la condition Type sera satisfaite
  (souvent utilisé avec la bibliothèque graphique
  XGIP)

51
Contraintes Rationnelles

• Les variables sont continues (nombre infini de
  valeurs)
• Résolution type simplex, Gauss
• Domaine d application
• Problèmes mathématiques
• Problèmes financiers (analyse d emprunt)
• utilisé de façon complémentaire aux contraintes
  sur domaines

52
Définition de variables rationnelles

• Nombre rationnel rapport de deux entiers a/b
• Variable rationnelle
• toute variable utilisée dans une contrainte
  rationnelle est une variable rationnelle.
• Déclaration explicite
• positive(X)
• allpositive(List).

53
Termes rationnels

• Entier ou nombre rationnel
• Variable rationnelle
• t1t2, t1-t2 (ti sont des termes)
• -t (t est un terme)
• ct, tc, t/c (t terme, c nombre entier ou
  rationnel)

54
Tests de type

• rational(X)
• réussit si X est un nombre rationnel
• rvar(X)
• réussit si X est une variable rationnelle
• pvar(X)
• réussit si X est une variable rationnelle
  positive
• rlinear(X)
• réussit si X est un term rationnel linéaire

55
Contraintes arithmétiques sur les rationnels

• X, Y termes rationnels
• XY
• XgtY
• XltY
• XgtY
• XltY
• power(X,Pow,Y)(Pow entier)
• ne permet pas le calcul des racines nième (pas
  des rationnels)
• sqrt(X,Y)

56
Optimisation pour termes rationnels

• rmax(X)
• utilisation du simplex pour trouver la valeur
  maximum de X
• rmin(X)
• valeur maximum de X
• rmax2(X,Limit)
• Limit est unifiée à la valeur maximum de X, X
  n est pas unifiée.

57
Exemple

• Page 61 user s guide

58
Regrouper plusieurs contraintes

• But optimiser la résolution
• linear_block(List)
• exemple page 62 user guide

59
Trouver les solutions entières

• Plus rapide que les domaines, mais moins de type
  de contraintes
• cutting(?Obj, List, -Ncuts,Time)
• Obj terme rationnel à minimiser
• List liste de variables
• Ncuts nombre de contraintes supplémentaires
  générées
• Time entier non utilisé

60
Arrondis et conversion
61
(No Transcript)
62
CHIPLes classes