STATISTIKA U FARMACIJI

1

• STATISTIKA U FARMACIJI
• Analiza varijanse - ANOVA

2
Testovi za dve i više populacija
dve i više populacija
srednja vrednost
varijansa
broj uzoraka
2
n
F test
z-test t-test
ANOVA
3
F-test za odnos dve varijanse

• Parametarski test
• Testira razliku izmedju dve nezavisne populacione
  varijanse
• Pretpostavka za test
• obe populacije su normalno distribuirane

4
F-test - postavljanje hipoteze

• Hipoteze
• H0 ?12 ?22 i H1 ?12 ? ?22
• Izracunava se
• Dve grupe stepena slobode
• df1 N1 - 1 df2 N2 - 1
• Sledi F distribuciju

5
F-test - kriticne vrednosti
6
F-test - Rešenje

• Sd1 1,30 Sd2 1,16
• H0 ?12 ?22
• H1 ?12 ? ?22
• a ? 0,05
• df1 ? 22 df2 ? 24

0,025
0,025
2,00
F
H0 se prihvata, nema znacajne razlike izmedju
Sd12 i Sd22
7
F-test - Rešenje
F0,05, 20, 24 2,00 2,05 Fizr 1,25
Fizr lt F0,05 H0 se prihvata, nema znacajne
razlike izmedju Sd12 i Sd22
8
Testovi za dve i više populacija
Analiza varijanse (ANOVA)
Jednofaktorska ANOVA
Dvofaktorska ANOVA
F-test
Efekat interakcija
Tukey- Snedecor test
9
Student t-test

• Student t-test testiranje razlike izmedu
  srednjih vrednosti 2 grupe podataka
• H0 µ1 µ2 H1 µ1 ? µ2
• a 0,05 (nivo znacajnosti testa)
• 0,05 (5) verovatnoca da se odbaci ispravna
  nulta hipoteza
• greška tip I odbacivanje ispravne nulte
  hipoteze
• greška tip II prihvatanje neispravne nulte
  hipoteze

10
Student t-test

• Testiranje razlike izmedu srednjih vrednosti više
  grupa podataka
• potrebno izvodenje t-testa više puta
• Koliko je potrebno t-testova?
• 3 grupe podataka A, B i C 3 t-testa
• poredenja AB, AC i BC
• 4 grupe podataka A, B, C i D 6 t-testova
• poredenja AB, AC, AD, BC, BD i CD

11
Istovremeno izvodenje više t-testova

• Kod izvodenja više t-testova javlja se
  Familywise error rate problem (FWER)
• FWER verovatnoca da se neispravno odbaci
  najmanje jedna nulta hipoteza u grupi poredenja
• FWER 1 (1 a)k
• a nivo znacajnosti testa
• k broj t-testova
• Za 6 t-testova
• FWER 1 (1 0,05)6 1 0,735 0,265 27
• 27 verovatnoce da napravimo najmanje jednu
  grešku tip I

12
ANOVA

• Analiza varijanse omogucava istovremeno
  testiranje razlika izmedu više srednjih vrednosti
• Ispituje se jedna ili više nezavisnih varijabli
  faktora uticaja na zavisnu varijablu
• Jedan faktor uticaja jednofaktorska ANOVA
• Više faktora uticaja višefaktorska ANOVA
  (multipla ANOVA MANOVA)
• Svaki faktor uticaja ima više kategorija (grupa)

13
Jednofaktorska ANOVA - hipoteze

• H0 ?1 ?2 ?3
• Sve populacione srednje vrednosti su jednake
• Faktor uticaja nema efekta
• H1 ?1 ? ?2 ? ?3
• H1 ?1 ?2 ? ?3
• H1 ?1 ? ?2 ?3
• H1 ?1 ?3 ? ?2 H1 ? - nisu sve jednake
• Najmanje 1 srednja vrednost je razlicita
• Postoji efekat faktora uticaja

14
Jednofaktorska ANOVA
Sve srednje vrednosti su jednake Nulta hipoteza
je ispravna (nema efekta faktora uticaja)
15
Jednofaktorska ANOVA
Najmanje jedna srednja vrednost je
razlicita Nulta hipoteza nije ispravna (postoji
efekat faktora uticaja)
ili
16
Logika Analize varijanse

• Varijacija (varijansa) izmedu grupa uporeduje se
  sa varijacijom (varijansom) unutar grupa
• Varijacija izmedu grupa je varijacija (razlika)
  izmedu srednjih vrednosti koja je posledica
  uticaja uzorka i uticaja faktora koji se ispituje
  (ako postoji)
• Varijacija unutar grupa je varijacija koja je
  posledica uticaja uzorka
• Ukupna varijacija je zbir varijacije izmedu grupa
  i varijacije unutar grupa

17
Jednofaktorska ANOVA - osnovna ideja

• Uporedjivanje dva tipa varijacije da bi se
  ocenila razlika izmedju srednjih vrednosti
• Baza za poredjenje je odnos varijansi
• Zašto ANOVA?
• Test baziran na varijansama je osetljiviji nego
  test baziran na srednjim vrednostima
• ANOVA ima manji rizik za grešku tip I
• ANOVA ima manji rizik za grešku tip II

18
Jednofaktorska ANOVA

• Pretpostavke za test
• Eksperimentalne jedinice su slucajno odabrane
• Populacije su normalno distribuirane
• Homogenost varijansi - Populacije imaju jednake
  varijanse
• Podaci su izraženi intervalnom ili skalom odnosa

19
Varijansa
Varijansa
Suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti
(suma kvadrata, SK)
Broj stepena slobode
20
Razdvajanje varijacije

• Mere varijacije se dobijaju razdvajanjem ukupne
  varijacije

varijansa izmedu grupa
varijansa unutar grupa
ukupna varijansa
21
Jednofaktorska ANOVA F test
H0 µ1 µ2 µc H1 µ najmanje jedna
srednja vrednost je razlicita

• Stepeni slobode
• df1 m 1 (m broj grupa)
• df2 N m (N ukupan broj podataka u
  svim grupama zajedno)

22
Kriticne vrednosti F
Ako su srednje vrednosti jednake, F Vig/Vug ?
1 Odbacuje se H0 samo za veliko F
Uvek jednostrani test!
23
Razdvajanje varijacije

• Ukupna varijacija (suma kvadrata odstupanja od
  srednje vrednosti) može da se razdvoji u dva dela

SKtot SKig SKug
SKtot ukupna suma kvadrata (ukupna
varijacija) SKig suma kvadrata izmedu grupa
(varijacija izmedu grupa) SKug suma kvadrata
unutar grupa (varijacija unutar grupa)
24
Ukupna varijacija
25
Varijacija izmedju grupa
26
Varijacija unutar grupa
27
Faktori koji uticu na zakljucak
28
Razlika izmedu srednjih vrednosti
mala razlika izmedu grupa Nulta hipoteza se lako
dokazuje
velika razlika izmedu grupa Nulta hipoteza se
teško dokazuje
29
Velicina uzorka
mali broj podataka u grupi Nulta hipoteza se lako
dokazuje
veliki broj podataka u grupi Nulta hipoteza se
teško dokazuje
30
Varijacija unutar grupa
velika varijacija unutar grupa Nulta hipoteza se
lako dokazuje
mala varijacija unutar grupa Nulta hipoteza se
teško dokazuje
31
ANOVA - izrazi za izracunavanje
suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti -
SK broj stepena slobode - df
C
32
ANOVA - izrazi za izracunavanje
33
ANOVA - sumarna tabela
kriticna vrednost Fa za df1 m-1 i df2 N-m
34
Jednofaktorska ANOVA- primer
Ispitivanje toksicnog delovanja leka na tri tipa
celija Prikazano je vreme (u danima) posle koga
je ostalo 50 celija
35
Jednofaktorska ANOVA- primer
H0 ?A ?B ?C H1 ? - nisu sve jednake ?
0,05 df1 2 i df2 15
36
ANOVA primer 1
37
ANOVA primer 1
F0,05 3,68 za df1 2 i df2 15 Nulta
hipoteza se odbacuje, negde postoji razlika
izmedju srednjih vrednosti !
38
ANOVA Tukey-Snedecor test
39
ANOVA Tukey-Snedecor test
40
ANOVA Tukey-Snedecor test
41
ANOVA primer 2
grupa A grupa B grupa C grupa D
2,51 2,49 2,50 2,52
2,51 2,50 2,49 2,52
2,52 2,53 2,48 2,53
2,52 2.50 2,48 2,51
2,50 2,50 2,47 2,52
2,53 2,52 2,48 2,53
2,52 2,52
2,52
n 7 6 6 8
xsr 2,516 2,507 2,483 2,521
Sx 17,61 15,04 14,9 20,17
Sx2 44,3023 37,7014 37,0022 50,8539
H0 ?A ?B ?C ?D H1 ? - nisu sve jednake ?
0,05 df1 3 i df2 23
42
ANOVA - primer
43
ANOVA - primer
F0,05 3,03 za df1 3 i df2 23 Nulta
hipoteza se odbacuje, negde postoji razlika
izmedju srednjih vrednosti !
44
ANOVA - Tukey-Snedecor test
45
ANOVA - Tukey-Snedecor test
46
ANOVA - Tukey-Snedecor test