A Transformada de Laplace

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A Transformada de Laplace







O método consiste em resolver equações
diferenciais como se fossem equações
algébricas. Definição Dada uma função f(t)
definida no intervalo 0, ?) definimos a sua
transformada de Laplace, F(s), por
Supondo que a integral convirja pelo menos para
algum valor de s.
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Transformamos através do operador L funções f(t),
na variável t, em funções F(s), na variável s
. Sabe-se que uma integral definida em um
intervalo ilimitado é chamada de integral
imprópria é definida como um limite de integrais
definidas em intervalos finitos Assim
Onde A é um real positivo. Se a integral de a
até A existe para todo A gt a e se o limite
quando A ? ? existir, então dizemos que a
integral imprópria converge para aquele valor
limite. Caso contrário, diverge.
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Exemplo 1 Seja f(t) 1 / t , t ? 1, então
Converge ?
Logo a integral imprópria diverge. Exemplo 2
Seja f(t) 1 / t 2 , t ? 2, então a integral

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Temos que
Logo a integral dada converge para o valor ½
. Teorema Se f é seccionalmente contínua em t
? a, se f(t) ? g(t) quando t ? M para
alguma constante positiva M e se
também converge. Por outro lado, se f(t) ? g(t)
? 0 para t ? M e se
também diverge.
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Teorema (Existência da transformada de Laplace)
Suponha que 1- f seja seccionalmente contínua no
intervalo 0 ? t ? A para qualquer A positivo 2-
f(t) ? Keat quando t ? M, onde K, a e M são
constantes reais com K e M necessariamente
positivas. Então, a transformada de Laplace
Lf(t) F(s), definida pela equação Lf(t)
F(s)
Existe para s gt a. Exemplo 3 Seja f(t) 1, t
? 0. Então
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Exemplo 4 Seja f(t) sen(at), t ? 0. Então
Temos integrando por partes
Finalmente, F(s) a / (s 2 a 2), s gt
0 Exemplo 5 Seja f(t) eat, t ? 0, então
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• Existem 3 propriedades extremamente importantes
  nas transformadas , como
• O sistema é linear, isto é, L(a f(t) b g(t))
  a Lf(t) b Lg(t)
• O sistema destrói derivadas, isto é, se f(t)
  entra na caixa, ela sai como sF(s) f(0)
• iii) O sistema é inversível, isto é, existe uma
  outra caixa, denominada L-1, que, se atravessada
  pela função de saída, F(s) fornece f(t) de volta,
  assim, L-1(F(t)) f(t).

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F(s)
f(t)
L
aF(s) bF(s)
af(t) bf(t)
f(t)
sF(s) f(0)
f(t)
s 2F(s)-sf(0)-f(0)
Transformada de Laplace
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Teorema Suponha que f seja contínua e que f
seja seccionalmente contínua em qualquer
intervalo 0 ? t ? A. Suponha, além disso, que
existam constantes k, a e M tais que f(t) ? ke
at para t ? M. Então Lf(t) existe para s gt
a e, além disso, Lf(t) sLf(t)
sLf(t) f(0). Corolário Suponha que as
funções f, f, f, ..., f(n-1) sejam contínuas e
que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer
intervalo 0 ? t ? A. Suponha, além disso, que
existam constantes k, a e M tais que f(t) ?
ke at , f(t) ? ke at ... f(n-1)(t) ? ke at
para t ? M. Então Lf(n)(t) existe para s gt a
e é dado por Lf(n)(t) snLf(t) sn-1f(0) -
... - sf(n-2)(0) f(n-1)(0).
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Exemplo 6 Determine F(s) se f(x) 3 2x 2. Por
definição e tabela de transformada, temos F(s)
L(3 2x 2) 3L(1) 2L(x 2) 3 (1 / s) 2
(2 / s3) 3 /s 4 / s 3. Exemplo 7
Resolva a equação diferencial y y 2y 0
com y(0) 1, y(0) 0. Facilmente pode-se
encontrar a solução y 2/3e-t 1/3e2t usando
equação característica. Usando transformada de
Laplace, temos Ly Ly 2Ly 0, s2Ly
sy(0) y(0) sLy y(0) 2L(y) 0
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ou ( s2 s 2)Y(s) (1-s)y(0) y(0)
0 Y(s) (s 1) / (s2 s 2) (s 1) / (s
2) (s 1) que acaba chegando à mesma solução.
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Exemplo 8 Usando a trsansformada de Laplace,
resolva a equação y y- 6 0, y(0) 1,
y(0) -1. Solução Ly Ly 6Ly
0 s2Ly sy(0) y(0) sLy y(0) 6Ly
0. Como L(y Y(s), temos s2Y(s) sy(0)
y(0) sY(s) y(0) 6Y(s) 0 Y(s)(s2 s 6)
1 s 1 0 Y(s) (s 2) / (s2 s 6)
(s 2) / (s 3)(s 2). Separando em frações,
temos Y(s) (1/5)/(s-3) (4/5)/(s2). Consultan
do a tabela de Laplace, temos Y(s) (1/5)e3t
(4/5)e-2t (1/5)(e3t 4e -2t )
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Exemplo 9 Resolva por Laplace a equação y y
senx, y(0) 1. Solução sY(s) y(0) Y(s)
1 / (s2 1) sY(s) 1 Y(s) 1 / (s2 1),
Y(s)(s1) 1 1 / (s2 1) Y(s) 1/(s1) 1/
(s1)(s21). Separando em frações, temos
1/(s1)(s21) A/(s1) (BsC) / (s21) Donde
A ½, B - ½ e C ½. Então Y(s) 1/(s1)
(1/2)/(s1) (½)(s/(s21)) ½
(1/(s21)). Logo y (3/2)e x (1/2)cos(x)
(1/2)sen(x) ½ ( 3e x cos(x) sen(x))
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Função Degrau A função Degrau unitário,
denotado por ?c, é definida por
A função de Laplace de ?c é determinada por
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y
y 1 - ?c
1
t
c
y
y
?c (t)
1
t
c
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Teorema Se F(s) Lf(t) existe para s gt a ? 0
e se c é uma constante positiva,
então Lµc(t)f(t-c) e cs Lf(t) e cs
F(s), s gt a. Reciprocamente, se f(t) L
1F(s), então µc(t)f(t-c) L 1e cs
F(s). Teorema Se F(s) Lf(t) existe para s
gt a ? 0 e se c é uma constante positiva, então
Lectf(t) F(s-c), s gt a c Reciprocamente,
se f(t) L 1 f(t), então ect L 1 f(s-c).
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Exemplo 10 Usando a função
Reescreva a função
Assim podemos escrever f(t) ?a(t)sen(t-a) ou
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Teorema Se f é de ordem exponencial e é de
período p, então
Exemplo 11 Ache a transformada de Laplace da
função cujo gráfico é
f(t)
1
t
4
1
2
3
Neste caso, f é periódica com período 2, donde
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Exemplo 12 Encontre a transformada de Laplace da
função f(t) t 0 ? t lt 1, f(t1)
f(t).
Integrando por partes, temos 1 (1s)e s / s2
(1 e-s)
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Definição de convolução Sejam f(x) e g(x) ?
E? . A convolução de f(x) e g(x) é dada por
Exemplo Se f(x) e 3x e g(x) e 2x,
então f(t) e 3t e g(t) e 2(x - t) e
Teorema Se Lf(x) F(s) e Lg(x) G(s),
então Lf(x).g(x) Lf(x). Lg(x)
F(s).G(s) podem ser escrita na forma L
1F(s).G(s) f(x).g(x)