Multiple integraler

1
Multiple integraler
2
Innhold
Enkelt-integral Def Integrasjon
omvendt operasjon av derivasjon
Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært
område Generelt område Areal
Gjennomsnitt Massesenter
Treghetsmoment Polar form
Substitusjon i multiple integraler
Dobbelt-integral Trippel-integral
Trippel-integral Rektangulære områder
Generelle områder Volum Gjennomsnitt
Massesenter Treghetsmoment
Sylinderkoordinater Kulekoordinater
3
IntegrasjonAnvendelser - Areal / Volum /
Buelengde
Areal
Volum
Buelengde
4
IntegrasjonAnvendelser - Musikk
Integrasjon
Derivasjon
5
IntegrasjonAnvendelser - Sampling /
Digitalisering
Fourier
Opprinnelig funksjon
Reprodusert funksjon
Samplings- punkter
Enkelt- ledd
Shannons samplingsteorem
6
IntegrasjonAnvendelser - Mobiltelefon
7
Dobbelt-integralEks Wavelets
Gjennfinning / Skjuling
Fjerner lav-frekv. W
Fjerner høy-frekv. W
Kreftsvulster
Bomring
Video-komprimering
8
Enkelt-integralDef
y f(x)
a
b
xi
?xi
9
Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er
motsatte operasjonerF(x) f(x)
y f(x)
a
x
x?x
?x
F(x?x)
F(x)
?F
?F
x
x
10
Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er
motsatte operasjonerF(x) f(x) -
Eks Areal
11
Dobbelt-integralDef
z f(x,y)
f(xij,yij)
yij
xij
R
?Aij
12
Dobbelt-integralRektangulært område
z f(x,y)
z f(x,y)
f(x,y)
f(x,y)
c
c
y
y
d
d
a
a
x
x
b
b
dA
dA
R
R
13
Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 -
Volum - dydx
4
z f(x,y) 4-x-y
1
2
14
Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 -
Volum - dxdy
4
z f(x,y) 4-x-y
1
2
15
Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 2
16
Dobbelt-integralGenerelt område
c
d
a
g1(x)
b
h1(y)
g2(x)
h2(y)
17
Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 -
Volum - dydx
3
z f(x,y) 3-x-y
2
(1,1,1)
1
yx
3
z f(x,y) 3-x-y
2
(1,1,1)
1
18
Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 -
Volum - dxdy
3
z f(x,y) 3-x-y
2
(1,1,1)
1
yx
3
z f(x,y) 3-x-y
2
(1,1,1)
1
19
Dobbelt-integralIntegrasjonsgrenser 1/3
1
x2 y2 1
y ?1 x2
x ?1 y2
R
x 1 - y
y
y 1 - x
y 1 - x
1
x
20
Dobbelt-integralIntegrasjonsgrenser 2/3
y x2
4
y 2x
y 2x
x y/2
R
y x2
x ?y
2
21
Dobbelt-integralIntegrasjonsgrenser 3/3
y x2
y x2
y x2
y x 2
y x 2
y x 2
R
R
22
Dobbelt-integralEgenskaper
23
Dobbelt-integralAreal - Eks 1
y
(1,1)
y x
y x2
R
x
24
Dobbelt-integralAreal - Eks 2
y x2
y x 2
25
Dobbelt-integralGjennomsnitt - Innledning
2 4 9
0 1 2 10
0 100
26
Dobbelt-integralGjennomsnitt - Enkeltintegral
0 10
27
Dobbelt-integralGjennomsnitt - Dobbeltintegral
- Def
z f(x,y)
R
28
Dobbelt-integralGjennomsnitt - Dobbeltintegral
- Eks
f(x,y) xcos(xy)
29
Dobbelt-integralMasse - Massesenter - Def
M
dm
dm
ycm
r
rcm
xcm
30
Dobbelt-integralMasse - Massesenter - Eks
(1,2)
x 1
y 2x
(xcm,ycm)
31
Dobbelt-integralTreghetsmoment - Def
Treghetsmoment
y
dm
r
L
x
Gyrasjons-radius
32
Dobbelt-integralTreghetsmoment - Eks
(1,2)
x 1
y 2x
33
Dobbelt-integralPolar form - Rektangulært
område
y
? ?
R
? ?
x
a
b
?
?
G
?
a
b
r
34
Dobbelt-integralPolar form - Generelt område
y
? ?
r g2(?)
R
? ?
r g1(?)
x
y
? g2(r)
r b
R
? g1(r)
r a
x
a
b
35
Dobbelt-integralPolar form - Grenser
y
x2 y2 4
r 2
R
(?2,?2)
r ?2 / sin?
?
x
36
Dobbelt-integralPolar form - Areal - Eks1
y
2?
x
R
r
r ?
?
G
a
?
2?
37
Dobbelt-integralPolar form - Areal - Eks2
y
R
x
r
G
?/4
?
38
Dobbelt-integralPolar form - Volum - Eks1
z
z 16 x2 3y2
z 3x2 y2
y
x
39
Trippel-integralDef
T
z
Rijk
y
x
40
Trippel-integralMasse - Volum -
Gjennomsnitt
Masse
Volum
Gjennomsnitt
41
Trippel-integralRektangulært område
(b,d,v)
z
dV
T
(a,c,u)
y
x
42
Trippel-integralGenerelt område
z f2(x,y)
z
T
z f1(x,y)
y
y g1(x)
a
b
y g2(x)
x
43
Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks1
z
z
z
1
1
1
y z 1
y z 1
y z 1
1
1
1
y
y
y
2
2
2
x
x
x
1
1
1
y z 1
y z 1
y z 1
1
1
1
y
y
y
2
2
2
x
x
x
44
Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2
(0,1,1)
(0,1,1)
z
z
(0,1,1)
z
z y
x y z 0
y
y
y
x z 1
(1,1,0)
(1,1,0)
x
x
(1,1,0)
x
(0,1,1)
(0,1,1)
(0,1,1)
z
z
z
y
y
y
(1,1,0)
(1,1,0)
(1,1,0)
x
x
x
45
Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2
- Volumberegning
(0,1,1)
z
z y
x y z 0
y
x z 1
(1,1,0)
x
46
Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3
Volumberegning 1/2
z
z 8 x2 y2
z x2 3y2
y -?(4-x2)/2
y
y ?(4-x2)/2
(2,0,0)
x
47
Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3
Volumberegning 2/2
48
Trippel-integralGjennomsnitt - Eks1
z
Bestem gjennomsnittet av funksjonen F(x,y,z)
xyz over terningen avgrenset av
koordinatplanene og planene x 2, y 2, z 2 i
første oktant.
2
2
y
2
x
z
F
0
0
8
0
1
2
0
0
y
0
0
x
49
Trippel-integralEgenskaper
50
Trippel-integralMasse - Massesenter -
Treghetsmoment
Masse Første moment om koordinatplan Massesen
ter Treghetsmoment Gyrasjonsradius
51
Trippel-integralTreghetsmoment - Eks
z
c
y
a
x
b
52
Trippel-integralSylinder-koordinater - Def
z
y
?
r
x
z
dr
r
rd?
d?
dz
dV
y
x
53
Trippel-integralSylinder-koordinater -
MassesenterEks 1
z
Bestem massesenteret til legemet med konstant
massetetthet begrenset av paraboloiden z 4 x2
y2 og disken R x2 y2 ? 4 i planet z 0.
4
r
r
2
2
r
2
y
y
?
?
x
x
54
Trippel-integralSylinder-koordinater -
MassesenterEks 2
z
Bestem massesenteret til legemet med konstant
massetetthet begrenset av sylinderen x2 y2
4, paraboloiden z x2 y2 og disken R x2 y2
? 4 i planet z 0.
z x2 y2
r2
2
r
2
r
y
y
?
?
2
x2 y2 4 r 2
x
x
55
Trippel-integralKule-koordinater - Def
z
?
?
y
?
x
z
d?
?sin?
?sin?d?
d?
?d?
?
d?
?
y
?
d?
rd?
x
56
Trippel-integralKule-koordinater - Eks
Bestem volumet av iskrem-kjeglen.
z
Kule ? 1
? ?/3
y
?
x
57
Trippel-integralKoordinat-formler
Sylindrisk ? Rektangulær
z
?
?
y
?
r
Sfærisk ? Rektangulær
x
Sfærisk ? Sylindrisk
Rektangulær
Sylindrisk
Sfærisk
58
Substitusjon i multiple integralerEnkelt-integral
er - Multiple integraler
Enkelt-integral


x
u
x
u
G
S
Dobbelt-integral
y
v
S
G
(x,y)
(u,v)
x
u
59
Substitusjon i multiple integralerDobbelt-integra
l - Jacobi-determinant
y
v
G
S
?u
?S
?v
(a,b)
r(a,b)
x
u
60
Substitusjon i multiple integralerTrippel-integra
l - Jacobi-determinant
w
G
v
u
z
D
y
x
61
Substitusjon i multiple integralerJacobi-determin
ant - Enkelt-integral
62
Substitusjon i multiple integralerJacobi-determin
ant - Polar-koordinater
P
y
r
?
x
63
Substitusjon i multiple integralerJacobi-determin
ant - Sfæriske koordinater
z
?
?
y
?
x
64
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 1 1/4
y
b
E
Bestem arealet av den elliptiske disken E gitt
ved
a
x
65
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 1 2/4
y
v
b
1
E
D
a
1
u
x
Den elliptiske disken E transformeres over til en
sirkelskive D
66
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 1 3/4
y
v
b
1
E
D
a
1
u
x
Den elliptiske disken E transformeres over til en
sirkelskive D
Jacobi-determinant
Invers Jacobi-determinant
67
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 1 4/4
y
v
b
1
E
D
a
1
u
x
Den elliptiske disken E transformeres over til en
sirkelskive D
68
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 2 1/4
z
T
c
Bestem masse-senteret til den halve ellipsoiden
T gitt ved Massetettheten ? er konstant.
a
b
x
y
69
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 2 2/4
w
z
T
K
1
c
1
1
a
b
v
x
u
y
Halv-ellipsoiden T transformeres over til en
halv-kule K
70
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 2 3/4
w
z
T
K
1
c
1
1
a
b
v
x
u
y
Halv-ellipsoiden T transformeres over til en
halv-kule K
Jacobi-determinant
Invers Jacobi-determinant
71
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 2 4/4
w
z
T
K
1
c
1
1
a
b
v
x
u
y
Halv-ellipsoiden T transformeres over til en
halv-kule K
72
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 3 1/4
z
T
3
y 2x (plan bak)
Beregn
4
1
y
ved å benytte transformasjonen
x
y 2x-2 (plan foran)
73
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 3 2/4
z
w
T
G
3
y 2x (plan bak)
1
2
2
1
y
v
1
x
u
y 2x-2 (plan foran)
Grenser xyz Tilhørende uvw Grenser uvw
74
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 3 3/4
z
w
T
G
3
y 2x (plan bak)
1
2
2
1
y
v
1
x
u
y 2x-2 (plan foran)
Jacobi-determinant
Invers Jacobi-determinant
75
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 3 4/4
z
w
T
G
3
y 2x (plan bak)
1
2
2
1
y
v
1
x
u
y 2x-2 (plan foran)
76
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 4 1/4
y2 x2 5
y2 x2 2
Beregn massen av området D. Massetettheten er
gitt ved ?(x,y) x2 y2
D
xy 4
xy 1
77
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 4 2/4
y2 x2 5
v
y2 x2 5
y2 x2 2
5
D
xy 4
E
xy 1
xy 4
2
y2 x2 2
xy 1
u
4
1
Grenser xy Grenser uv
78
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 4 3/4
y2 x2 5
v
y2 x2 5
y2 x2 2
5
D
xy 4
E
xy 1
xy 4
2
y2 x2 2
xy 1
u
4
1
Invers Jacobi-determinant
Jacobi-determinant
79
Substitusjon i multiple integralerTransformasjon
- Eks 4 4/4
y2 x2 5
v
y2 x2 5
y2 x2 2
5
D
xy 4
E
xy 1
xy 4
2
y2 x2 2
xy 1
u
4
1
80
END