La costante di accoppiamento aS

1
Running coupling constant aS(Q2)
La costante di accoppiamento aS è dipendente dal
momento trasferito nel processo aS aS(Q2).
Tale dipendenza è dovuta alle correzioni
perturbative di ordine superiore (nella
costante di accoppiamento) al propagatore del
mediatore dellinterazione (il gluone, per la
QCD)
L effetto è analogo alla rinormalizzazione
della carica elettrica in QED, ma con alcune
importanti differenze che vedremo.
2
Rinormalizzazione della carica elettrica in QED
aQED(Q2)
In QED, lampiezza di scattering, ad esempio,
e-e- ? e-e- , completa a tutti gli ordini
perturbativi è data dai diagrammi
km
Ogni diagramma di ordine superiore ha un
contributo più piccolo. Tuttavia la serie non
converge! Va rinormalizzata
iega
iegm
q
p-q
p
iegn
iegb
kn
e2?a
e6?a3
e4?a2
Allordine alpha è
Il propagatore nellelemento di matrice di
transizione viene modificato limitandoci al 2o
termine (in a2)
dove il loop fermionico nel propagatore Pab è
calcolabile integrando su tutti i possibili
4-impulsi p del fermione. p è arbitrario e questo
è il problema.
3
Lintegrale è e si ottiene
p-q per un e uscente equivale a q-p per un e-
entrante
da p2m2
con
(a0e2/4p)
Lintegrale diverge logaritmicamente per p??
(divergenza ultravioletta) e viene controllato
da un parametro di cut-off L, che verrà
riassorbito nella ridefinizione
(rinormalizzazione) della carica elettrica. In
definitiva, si ha la seguente modifica nel
propagatore introdotta dal 2o termine
perturbativo
e lampiezza di transizione è esprimibile in
termini dell ampiezza A0(q2) calcolata dal
diagramma lowest order (anche detto
tree-level)
dove per comodità si è introdotto
4
Inserendo i contributi negli ordini successivi
(diagrammi a più loops), si ottiene la serie
geometrica
Lampiezza completa a tutti gli ordini
perturbativi è esprimibile tramite lampiezza al
primo ordine in a , moltiplicata per la costante
di accoppiamento rinormalizzata
ossia
5
A priori la ridefinizione della carica elettrica
è affetta anche dai contributi esterni al
propagatore fotonico
vale a tutti gli ordini perturbativi!
Tuttavia si dimostra, come conseguenza della
invarianza di gauge della teoria, che i
contributi (b) (c) si cancellano col contributo
(a) (identità di Ward in QED estesa alle teorie
di gruppo non abeliane (e.g. la QCD) da
Slavnov-Taylor). Una ridefinizione della carica
elettrica (rinormalizzazione) è sufficiente
alla cancellazione. Come ha dimostrato t Hooft
nel 1971, l invarianza di gauge di una teoria di
campo è essenziale per garantirne la
rinormalizzabilità, ossia la possibilità di
riassorbire le divergenze ultraviolette in
ununica ridefinizione della costante di
accoppiamento.
6
Negli esperimenti, ciò che si misura è a(Q2) ad
una certa scala di momento trasferito. Ad
esempio, nello scattering Thomson e-e- ? e-e- o
nell esperimento che misura il Lamb-shift nella
struttura iperfina dellatomo di idrogeno, a(Q2
m2? 1eV2)1/137 . Queste misure vanno correlate
con le misure a scale diverse (ad esempio Q2
MZ2 (91 GeV)2 ) usando la relazione
precedente,
si ottiene
La relazione tra i due valori è dunque
esattamente predetta dalla teoria ed è
indipendente dalla divergenza ultravioletta (il
valore di cut-off L nellintegrale dei loop
fermionici interni al propagatore del fotone) che
è riassorbita nella costante di accoppiamento
rinormalizzata. Invertendo la precedente si ha
Si noti che abbiamo introdotto una scala
arbitraria m, alla quale rinormalizziamo
laccoppiamento. I risultati fisici non dipendono
da questa scelta!
7

• Si noti anche che in
• il denominatore in generale deve includere anche
  i fermioni più massivi dellelettrone, che
  possono circolare nei loop virtuali. In effetti
  la correzione al denominatore deve contenere un
  fattore
• Neff nl 3(4/9)Nu 3(1/9)Nd
• dove nl, Nu, e Nd sono i leptoni, i quarks di
  tipo up e down che contribuiscono ai loops.
• Simili considerazioni andranno fatte per as in
  QCD, come è chiaro dallo studio del fattore R
  (sezione durto di produzione di adroni in unità
  di sezione durto di produzione di muoni, a
  collisori ee-).
• I quarks però contribuiscono al running di
  alpha_s in modo paritario, perché sono eguali per
  la QCD (che è flavor-independent).

8
Charge screening
La costante di accoppiamento è quindi una
running coupling constant in QED, essa cresce
logaritmicamente (ma poco!) con l impulso
trasferito. Qualitativamente, la cosa può essere
spiegata dalla polarizzazione del vuoto le
coppie virtuali ee- che si formano agiscono come
i dipoli di un dielettrico, schermando la carica
elettrica nuda . Quanto più ci si avvicina ad
essa, aumentando il momento trasferito nello
scattering, tanto maggiore è la carica elettrica
vista nell interazione.
A Q2MZ2?104 GeV2
e-
e
e-
e-
9
La polarizzazione del vuoto

• Il fenomeno descritto è facilmente comprensibile
  e ha uno stretto analogo classico
• se un mezzo contenente molecole dotate di un
  momento di dipolo elettrico permanente è immerso
  in un campo elettrico, il campo viene ridotto di
  un fattore e
• Leffetto è dovuto allorientamento dei dipoli
  elettrici, che operano uno screening delle
  sorgenti del campo originario
• A scale di distanza inferiori alle dimensioni
  molecolari, la carica originaria che produce il
  campo si vede inalterata. Si ha che e(r)?1 per
  r?0, e(r)?e per r grandi. Questo effetto produce
  di fatto anche il running di aEM.

10
Anti-screening

• Fu scoperto da Gross, Wilczec, e Politzer nel
  1973 che per teorie non abeliane come la QCD il
  ragionamento visto si ribalta i gluoni,
  anchessi portatori della carica del campo,
  diluiscono la carica originaria, spargendola
  intorno ad essa.
• Il risultato è che linterazione forte aumenta
  con la distanza, mentre a piccole distanze i
  quarks risultano liberi (asymptotic freedom).
  E questo il motivo per cui a grande q2 i quarks
  appaiono come particelle libere (permettendoci di
  calcolare perturbativamente i processi di
  scattering).

11
QCD as(Q2) e anti-screening
In QCD il meccanismo è analogo a quello visto
prima, ma con limportante differenza che i
gluoni sono portatori di carica di colore
non esiste il corrispettivo in QED
(vi sono due tipi di gluoni in questi loops
trasversi e Coulomb-like i secondi dominano e
danno il contributo di segno opposto)
Risulta che il loop gluonico contribuisce per un
fattore (11/4p)ln(Q2/L2) e per ognuno degli nf
quarks che alla scala di Q2 considerata possono
essere creati (mf2lt Q2/4) vi è un fattore
(1/6p) ln(Q2/L2). In definitiva per la costante
di accoppiamento forte si ha
dove si è posto nf5 (ci sono 5 flavours di
quark q u,d,s,c,b , se si considerano le
scale m2,Q2gtmb2?25 GeV2)
12
La costante aS decresce col momento trasferito
(libertà asintotica), e varia molto più
rapidamente di aQED. Dallo studio dello spettro
degli stati legati del charmonio (stati legati
) aS(mc2 ? (3GeV)2) ? 0.278-0.014, e
propagando alla Z
in realtà si dovrebbe calcolare una doppia
propagazione a(mc2)?a(mb2) con b0(nf4)0.66,
e a(mb2) ?a(mZ2) con b00.61 la differenza è
piccola
Tale predizione è verificata molto
bene sperimentalmente, dalle misure di
aS(MZ2) ottenute, ad esempio, dalla forma
degli eventi di decadimento adronico della Z Z ?
qq tale forma dipende dal numero di gluoni
irradiati dai quarks nello stato finale, che
dipende da aS.
13
Decadimenti di quarkonio e as

• Gli stati legati q-antiq come il charmonio (Y) o
  il bottomonio (U) permettono di calcolare as a q2
  ben definito (m2)
• Prendiamo la Y è uno stato 1-- e non può
  decadere in uno o due gluoni per color
  conservation e C-parity, rispettivamente
• Si studia il rapporto fra le larghezze di
  decadimento in due muoni o in adroni,
  G(mm)/G(ggg), che non dipende dalla forma
  specifica della funzione donda dei due quarks.
  Calcoli teorici prevedono per questo rapporto il
  valore
• Esercizio 1 verificare che da
  R(1S)0.0320.001, R(2S)0.0310.008,
  R(3S)0.0320.003 si trova rispettivamente
  as0.17430.0024, 0.1750.015, 0.17420.0021.

14
as(Q2) e LQCD
La dipendenza di aS(Q2) può essere riformulata
introducendo il parametro dimensionale LQCD
dove
ovvero
Con tale definizione, si trova
e in definitiva
relazione che permette di calcolare aS senza
alcun riferimento ad una scala prefissata m2
(ovviamente LQCD viene determinata dalla misura
di as(m2) ad una certa scala il best fit ai
dati dà LQCD (205?15) MeV).
15
Come detto in precedenza nel discutere le scaling
violations, la produzione di jets nel DIS è
sensibile al valore di aS
Evento dijet in H1
aS(Q2)
Così pure la sezione durto differenziale ds/dETje
t
buon accordo con le misure di LEP negli eventi Z
? qq
16
aS(Q2) e jet production in ee-
La molteplicità dei jets è stata misurata anche
ai collisori ee-
g
e
Z/g
aS
e-
La definizione di jets (e quindi di eventi a
2-3-4..jets) dipende dall algoritmo e
dai parametri che regolano la clusterizzazione
delle particelle (gli oggetti misurati sono
gli adroni che emergono dal processo di
frammentazione del quark o del gluone originario)
Evento ee-? Z ? q q gluone al LEP (
esperimento DELPHI)
17
Frammentazione dei jets
Il processo di produzione degli adroni, con la
frammentazione dei jets primari (i quarks e i
gluoni), comprende varie fasi
decadimenti deboli degli adroni instabili
Processo di QCD, trattabile a livello
perturbativo ? informazione su as
Processo elettro -debole (QEWD),
perfettamente calcolabile
adronizzazione (formazione degli adroni in
regime non perturbativo), descritto da modelli
fenomenologici (es.parton shower) non modifica
sostanzialmente le distribuzioni dei jets primari
18
aS(Q2) e multi-jets
Esempio algoritmo di ricombinazione basato
sulla variabile
qij
energia totale visibile nellevento
Le particelle vengoni ricombinate, attuando la
sostituzione (pi,pj)?pkpipj ricursivamente,
finché tutte le pseudo-particelle hanno ykm gt
ycut
parametro fissato a priori
Le pseudoparticelle rimanenti sono i jets
dell evento Le frequenze R(n-jets)
N(n-jets)/Ntot eventi sono funzione di ycut
19
aS(Q2) e multi-jets
Ai diversi collisori ee- (PEP, PETRA, TRISTAN,
LEP) che hanno operato a diverse energie, la
frequenza di eventi a 3-jets per un fissato
valore del parametro di ricombinazione varia con
lenergia nel CM della collisione
Ciò è diretta conseguenza della dipendenza dal
q2 di aS(q2)
20

• In collisioni adroniche si usano, invece del KT,
  algoritmi a cono che cercano di massimizzare
  lenergia entro cerchi di raggio fisso nello
  spazio h-f
• Ci sono diversi problemi, sia di carattere
  teorico che sperimentale, nella connessione fra
  jet ricostruiti con questi algoritmi e i partoni
  prima delladronizzazione
• Teorici divergenze collineari e soft (infrared
  safety), separation, counting
• Sperimentali soft-gluon emissions (out-of-cone),
  instabilità della ricostruzione, contributi di
  background da multiple-parton scattering e
  pileup...
• Largomento è complicato ma molto
  interessante... forse troveremo il tempo di
  discuterne più in dettaglio più avanti.

Evento multi-jet di CDF e diversa ricostruzione c
on due algoritmi a cono diversi
21
E a LHC...
Candidato top-antitop di CMS
Dijet event di altissima energia

• A LHC sono in uso sia algoritmi a cono che
  KT-based. Lo vedremo più avanti.
• Maggiore è lenergia dei jets, e più facile è la
  loro ricostruzione univoca, perché la dimensione
  trasversa dei jets scala con linverso del
  logaritmo del q2 ltqgtk/(log(q2)
• Questo è dovuto alla decrescita di as

22
Sommario di misure di as

• Vi sono svariati modi per determinare
  sperimentalmente la costante della QCD. Si
  sfruttano osservabili di DIS, decadimenti
  adronici del tau, forme dei jets, osservabili nel
  decadimento adronico della Z, sezioni durto di
  3/2 jets...
• Si può anche calcolare as con calcoli sul
  reticolo, e i risultati sono in accordo con
  lesperimento.
• Tutti i metodi danno valori consistenti, una
  volta evoluta as a un valore comune di Q2.

23
Una nota sulla fattorizzazione

• Le sezioni durto di processi con adroni nello
  stato iniziale dipendono, ovviamente, dalle
  parton distribution functions
• Si è visto che le PDF dipendono da x e q2
• In QCD è ben verificata lipotesi di
  fattorizzazione della sezione durto questa si
  può cioè ricavare da un integrale in cui
  compaiono le PDF come fattori, e una sezione
  durto puntuale. Le PDF sono generali, e non
  specifiche di un processo. Si possono
  fattorizzare nel calcolo
• Le previsioni teoriche per la sezione durto dei
  processi ai collider
• adronici sono quindi dipendenti dalla scelta di
  una scala di fattorizzazione mF.

24
Una misura di as a CDF

• Vediamo un po in dettaglio una misura di alpha_s
  ottenuta in collisioni adroniche al Tevatron
  collider.
• Una misura di as può essere ottenuta in
  collisioni adroniche dallo spettro differenziale
  di produzione di jet in funzione dellenergia
  trasversa.
• La misura si ottiene dal confronto dello spettro
  dN/dET osservato con le previsioni della QCD, che
  viene calcolata al next-to-leading order nello
  sviluppo di as. Data la grande energia dei
  processi studiati, i calcoli perturbativi
  funzionano bene (as è piccola al q2 in
  questione).
• Si usa lespressione ds/dET as2(mR) X(mF,ET)
  1as(mR)k(mR,mF)
• ove mR e mF sono legati al valore di ET
  indagato, e k è un fattore di correzione
  calcolabile con simulazioni Monte Carlo, che
  connettono lelemento di matrice con le quantità
  osservabili ? qui entra in gioco un parametro
  fenomenologico che descrive quando due partoni
  sono osservati come jets separati o meno.

25

• La distribuzione di dN/dET si tramuta subito in
  una misura di as, che si vede dipendere dalla
  scala del processo attraverso la quantità
  misurata, ET. Con lequazione di evoluzione si
  riporta poi la misura al q2 di LEP, preso ormai
  da tutti come riferimento (punti rossi).

Nel calcolo entrano ovviamente in gioco le PDF
dei quarks e gluoni nei proiettili (protoni e
antiprotoni) si usa fattorizzare nel calcolo
della sezione durto la probabilità di osservare
partoni di un certo valore x, e la sezione durto
puntuale del processo di hard scattering. Ciò
porta con sé una definizione di una scala di
fattorizzazione mF e relative sistematiche... La
misura di as in collisioni adroniche è resa
imprecisa dalle ineludibili sistematiche, però
ci permette di vedere in un solo dataset il
running...
26

• Il risultato è una misura di as che ha errori
  teorici confrontabili con quelli sperimentali, e
  pari allincirca al 5-6

• Gli errori teorici vengono soprattutto dalla
  scelta delle scale mF e mR, e dalle PDF (che a
  loro volta sono determinate assumendo un certo
  valore di as... la circolarità è evitata con
  studi dettagliati).
• Risulta chiaro che i colliders
• adronici hanno difficoltà a
• misurare la costante di QCD, per via del doppio
  ruolo che essa ricopre in questi processi, nello
  stato iniziale e finale.

27
La più recente misura di D0

• D0, lesperimento concorrente a CDF al Tevatron,
  ha misurato as con dati del Run II vedi
  arxiv1006.2855
• 8 anni dopo la misura di CDF, le sistematiche
  teoriche sono minori esistono calcoli che
  includono i diagrammi più importanti al NNLO, le
  PDF sono più precise.

La maggior quantità di dati e la miglior
comprensione del rivelatore che ne deriva hanno
anche diminuito le sistematiche sperimentali
D0 utilizza solo eventi con jets centrali, dove
il detector è meglio calibrato, e a energia non
troppo alta per evitare una regione dei dati ove
la sezione durto di jet production è stata
usata nel calcolo delle PDF!
28

• I risultati, una volta estratta as dalla sezione
  durto e evoluta alla scala comune MZ, sono molto
  precisi e competitivi con quelli di altri
  esperimenti
• Nel grafico sono mostrati i punti sperimentali di
  D0 confrontati con le determinazioni di as a HERA

La misura finale ha unincertezza totale del 4,
che è un ottimo risultato per un collider adronico
Notare che le barre di errore dei punti neri
sono la somma di tutte le incertezze e sono
quindi altamente correlate fra loro!
29
Il Settore di Higgs del Modello Standard

• PARTE I La Lagrangiana del Modello Standard
• Introduzione alle simmetrie di gauge
• Simmetrie esatte, rotte, nascoste
• Il teorema di Goldstone
• Rottura della simmetria di gauge e meccanismo di
  Higgs
• Lagrangiana del Modello Standard
• Accoppiamenti, masse e implicazioni

30

• PARTE II Fenomenologia del bosone di Higgs e
  ricerche sperimentali
• Considerazioni teoriche
• Correzioni radiative e constraints da fit
  elettrodeboli
• Decadimenti
• Meccanismi di produzione in collisioni
  elettrone-positrone
• Meccanismi di produzione ai colliders adronici
• Ricerche dirette a LEP II e limiti sperimentali
• Ricerche del bosone di Higgs al Tevatron
• Apparati sperimentali CDF e D0
• Sezioni durto, stati finali accessibili
• Tecniche sperimentali
• Qualche esempio in dettaglio
• Prospettive della ricerca a LHC
• Produzione a LHC e stati finali promettenti
• Tecniche di ricerca
• Alcune misure in corso
• Prospettive per il 2011

31
Introduzione Simmetrie di gauge e MS

• A bassa energia le interazioni forte, em e
  debole sembrano indipendenti hanno sezioni
  durto che differiscono di 12 ordini di grandezza
  ? diverse costanti di accoppiamento
• La speranza di descrivere queste interazioni con
  un unico campo unificato, ad alta energia,
  ricevette verso la fine degli anni 60 una spinta
  dalla formulazione GSW (Glashow, Salam, Weinberg)
  dellunificazione elettrodebole.
• Il passo teorico più importante in questa
  direzione è realizzare che le interazioni
  fondamentali sono invarianti per trasformazioni
  locali di gauge
• Per formulare una teoria di gauge bisogna
  scrivere una Lagrangiana che descriva la
  cinematica e le interazioni fra i campi, e sia
  invariante sotto trasformazioni di simmetria che
  permettano la conservazione delle quantità
  rilevanti carica elettrica, colore, isospin e
  ipercarica deboli. Queste quantità sono
  conservate localmente, per non entrare in
  conflitto con la relatività speciale.
• La formulazione Lagrangiana ha il vantaggio che
  dallo studio delle proprietà invarianti di L si
  arriva naturalmente alle quantità conservate
  della teoria. La connessione per trasformazioni
  continue è data dal teorema di Noether.

32
Reminder formalismo Lagrangiano

• Classicamente LT-V permette, attraverso le
  equazioni di Eulero-Lagrange, di derivare le
  equazioni del moto.
• Facciamo alcuni esempi di densità Lagrangiane che
  useremo nella costruzione della teoria
  elettrodebole

Klein-Gordon
Dirac
Maxwell
Dalla densità Lagrangiana estraiamo regole di
Feynman che ci permettono di scrivere i
propagatori (dai termini quadratici nei campi e
derivate) e i fattori di vertice della teoria
(dagli altri termini). Con questi calcoliamo le
ampiezze dei processi da espansioni perturbative
attorno allo stato di minima energia.
33
Invarianza di gauge globale

• La Lagrangiana di elettrone libero
• è invariante per trasformazioni U(1) globali
• e questo implica che
• per arbitrari valori della fase globale L.
• Esercizio n.2 dimostrare laffermazione qui
  sopra, usando le equazioni di Eulero - Lagrange
• Ciò implica la conservazione di una densità di
  quadricorrente
• e quindi della carica elettrica q, integrando
  nelle coordinate spaziali e usando il teorema
  della divergenza

34
Invarianza di gauge locale e QED

• La Lagrangiana di elettrone libero
• rimane invariante per trasformazioni U(1) locali
  
• solo se si introduce una corrispondente
  variazione nella legge di trasformazione delle
  derivate del campo fermionico, una derivata
  covariante
• definita da e che trasforma come
• e in cui il campo vettoriale A trasforma come
  segue
• La Lagrangiana che deriva dallinserimento della
  derivata covariante D contiene ora un termine di
  accoppiamento della corrente vettoriale e il
  campo A
• e un termine cinetico
• Il termine cinetico del campo A è invariante per
  la trasformazione vista, ma un termine m2AmAm non
  è permesso perché non trasforma in se stesso
  linvarianza locale di gauge richiede che la
  carica conservata sia sorgente di un campo
  vettoriale privo di massa.

35

• Ricordiamo quindi che
• Invarianza globale di gauge ? conservazione
  carica elettrica
• Limposizione di invarianza locale di gauge per
  la Lagrangiana di un campo di Dirac forza
  lintroduzione di una derivata covariante, e un
  campo di gauge Am associato al fotone. Si ottiene
  la Lagrangiana di QED
• Invarianza locale di gauge ? introduzione di un
  campo vettoriale a massa nulla (consistente con
  il range infinito dellinterazione). Un termine
  di massa per il fotone romperebbe linvarianza di
  gauge per via delle proprietà di trasformazione
  del campo Am.
• Questo vale per qualunque bosone vettore. I
  bosoni deboli non sfuggono alla logica. Se
  vogliamo invarianza locale di gauge, i bosoni
  rimangono a massa nulla.

36

• In contrasto con la richiesta formale di bosoni
  mass-less nella teoria, lesistenza di correnti
  deboli cariche mediate da bosoni vettori massivi
  è necessaria per evitare divergenze nelle sezioni
  durto di scattering.
• Esempio ne-e scattering ? s prop. a G2s,
• mentre lunitarietà dello sviluppo in onde
• parziali della sezione durto (J1) implica
• che s sia minore di 1/s ? per
• sgt1/G 90000 GeV2
• la sezione durto viola lunitarietà.
• Invece, se il propagatore del W contiene un
  termine di massa, esso rende finita la sezione
  durto.
• Violazione dellunitarietà nei diagrammi
  allordine più basso e non rinormalizzabilità dei
  diagrammi ad ordini superiori sono strettamente
  legate luna implica laltra.
• In ogni caso, due bosoni W e W- non bastano a
  rendere la teoria consistente la sezione durto
  del processo di produzione di coppie W W rimane
  divergente, sia per interazione debole nn?W W che
  e.m. ee?W W.

n
n
n
e
W
e
e
n
e
37

• Si può osservare, dalla struttura della teoria,
  che la divergenza del processo nn?W W si può
  neutralizzare con diagrammi mediati da un bosone
  neutro massivo Z. Lo Z permette anche di
  neutralizzare la divergenza del processo
  elettromagnetico, mediante diagrammi che
  singolarmente sono divergenti.
• NB La predizione di processi con correnti deboli
  neutre (come lo scattering nm-e), che se mediati
  da scambio di un solo bosone vettore dovevano
  avere sezioni durto comparabili a quelli con
  scambio di corrente carica (come ne-e), fu uno
  dei grandi successi della teoria elettrodebole.

Gargamelle vede pochi eventi di interazione di
antineutrino-elettrone, su 730,000 fotografie.
Sono le prime evidenze sperimentali che il
modello GSW è corretto, dopo 6 anni dalla sua
pubblicazione...
38

• La cancellazione fra diagrammi con bosoni W e Z è
  possibile solo se gli accoppiamenti ai leptoni
  dei bosoni W, Z, g sono di intensità
  confrontabile g e.
• Questa unificazione elettrodebole necessita che W
  e Z abbiano masse dellordine dei 100 GeV. Ciò
  apparentemente è in conflitto con linvarianza
  locale di gauge della Lagrangiana.

Vedremo che lintroduzione di un campo scalare h
e un meccanismo appropriato risolvono il
problema. In più, h permette la convergenza dello
scattering W W?W W, che rimaneva divergente
(anche se in maniera meno severa degli altri
processi discussi sopra).
39
Ma perché insistere con la gauge locale?

• Sia i fotoni che i gluoni hanno massa nulla, e
  questo si sposa bene con la struttura delle
  rispettive Lagrangiane con invarianza di gauge.
• Per le interazioni deboli, che richiedono bosoni
  vettori di massa O(100 GeV), questo è invece un
  problema. Ma perché non dimenticarsi
  dellinvarianza locale e aggiungere a L termini
  di massa?
• Se si fa questo, si finisce in una teoria senza
  senso, perché ogni quantità calcolabile da essa
  conterrà divergenze non rinormalizzabili.
• Esempio nello scattering fra due elettroni
• si hanno diagrammi come quello a fianco.
• Essi contribuiscono allampiezza con
• integrali del tipo
• Mentre in QED la forma 1/q2 del propagatore dei
  due fotoni scambiati rende finito lintegrale,
  per bosoni massivi il risultato diverge, data la
  costanza del propagatore a q2 grande
• Se poi si regolarizza lintegrale introducendo
  un cut-off, si scopre che altri diagrammi con più
  loops richiedono altrettanti cut-offs
  indipendenti. Serve quindi un numero infinito di
  parametri arbitrari, e la teoria non ha più
  senso essa è non rinormalizzabile.

e
Z
Z
q
e
40
Rottura spontanea di una simmetria discreta

• Consideriamo la Lagrangiana
  
  
• Con lgt0, essa possiede una simmetria discreta
  rispetto alloperazione di riflessione f ? -f.
• Se prendiamo m2gt0, L descrive particelle a spin
  0 e massa m il termine quartico nel campo dètta
  lautointerazione del campo con vertici a 4
  particelle, con un auto-accoppiamento di
  intensità l.
• Invece, se prendiamo m2lt0, non sappiamo come
  interpretare il
• termine f2, perché la massa della particella
  sarebbe immaginaria.
• La forma del potenziale nei due casi
• è mostrata a lato. Mentre per m2gt0 lo
• stato f0 è un minimo, nel caso m2lt0
• il minimo del potenziale si ha per

41

• Poiché in fisica delle particelle non siamo in
  grado di calcolare le quantità fisiche
  esattamente, ma dobbiamo ricorrere a espansioni
  perturbative (per calcolare le ampiezze con le
  regole di Feynman) attorno a un minimo del
  potenziale, è opportuno operare una traslazione
  del campo attorno al minimo
• Si ottiene allora una nuova forma per L (che
  descrive la stessa fisica!)
• Questa Lagrangiana ha un termine di massa del
  segno corretto per la fluttuazione h(x), mentre i
  termini di ordine superiore in h rappresentano le
  autointerazioni del campo.
• La massa del campo scalare è ricavabile dal
  termine quadratico
• Abbiamo quindi scoperto che nel caso m2lt0 L e L
  rappresentano in effetti un campo scalare
  massivo. In teoria delle perturbazioni L
  fornisce risultati sensati, mentre L no, perché
  espansioni perturbative attorno a f0 non
  convergerebbero

42
Alcune considerazioni sulla rottura di simmetria

• La traslazione operata nel campo, che trasforma L
  in L, rende nascosta la simmetria intorno al
  punto di minima energia L non è più invariante
  per trasformazioni f?-f.
• E la presenza di una degenerazione nello stato
  di vuoto che rende arbitraria la scelta di esso,
  e di conseguenza nasconde la simmetria originale
  di L.
• Tuttavia per valori grandi dellenergia (rispetto
  alla massa del campo), la teoria ritorna ad avere
  la sua simmetria per riflessione in quel caso,
  la massa della fluttuazione quantistica h(x) non
  è più rilevante per determinare la fisica, e la
  simmetria ritorna ad essere apparente.
• Vi sono in natura diversi sistemi che manifestano
  lo stesso meccanismo. Sono tutti esempi della
  stessa situazione casi in cui è energeticamente
  favorevole per lo stato fondamentale avere un
  valore non nullo di un campo.
• Ferromagneti infinitamente estesi ground state
  non simmetrico, L simmetrica
• Flessione di un chiodo di plastica L simmetrica,
  flessione no
• reticoli cristallini

43
Una nota sullenergia del vuoto

• Consideriamo V(f) ½ m2f2 ¼ lf4 i due
  minimi degeneri si trovano a Vlt0. Con laggiunta
  di una costante (che non cambia lequazione dei
  campi!) si può riscrivere V in modo che il vuoto
  si trovi a V0
• V(f) ¼ m4/l ½ m2f2 ¼ lf4 ¼
  l(f2m2/l)2.
• Notare che per le equazioni del moto conta la
  derivata del potenziale...

Dai dati sullespansione delluniverso, lenergia
del vuoto è sì negativa, ma estremamente piccola
rispetto al valore indicato da V, che per l1,
m1 GeV vale 1041 GeV/cm3 (da confrontare con
10-6 GeV/cm3 che è la densità di energia media
delluniverso). In fisica delle particelle
possiamo benissimo decidere di considerare V
invece di V. In generale vi sono diversi
contributi allenergia del vuoto da fluttuazioni
virtuali di ciascun campo, dalla loro energia
potenziale, e anche una costante cosmologica.
Tutti questi contributi sono enormemente più
grandi in valore assoluto del valore misurato.
Che si combinino per dare un numero così vicino a
zero è quantomeno sospetto. Questo è detto
cosmological constant problem.
44
Note addizionali sul valore del potenziale nello
stato di minima energia

• Se non fosse per la gravità, il potenziale
  potrebbe essere traslato senza problemi.
• Tuttavia, uno dei postulati della relatività
  generale è che la gravità interagisca con ogni
  forma di energia e momento, e quindi anche con
  lenergia del vuoto. Ciò distingue il valore
  assoluto del potenziale!
• Solo per la gravità questo è vero. Quindi ogni
  manifestazione sperimentale di una costante
  cosmologica è attraverso la sua interazione
  gravitazionale.
• Se calcoliamo ad esempio leffetto di una densità
  di energia del vuoto di 1092 g/cm3, troviamo che
  la radiazione di fondo si sarebbe raffreddata
  sotto 3K nei primi 10-41 secondi dopo il Big
  Bang.
• La piccolezza dellenergia del vuoto è un
  problema aperto in cosmologia.

45
Simmetrie esatte, nascoste, e rotte

• A seconda della dinamica della teoria, le
  simmetrie della funzione L possono manifestarsi
  in molti modi diversi.
• Una simmetria di L rimane una simmetia della
  fisica che ne ha origine. Esempi sono SU(3) di
  colore o U(1) elettromagnetica
• La simmetria di L è solo apparente, perché in
  realtà essa ha unanomalia. U(1) assiale è un
  esempio nello SM. Unanomalia avviene quando una
  simmetria delllazione non è una vera simmetria
  della teoria quantistica corrispondente. Non ce
  ne occupiamo in questo corso (a parte un accenno
  nellintroduzione al top quark).
• La simmetria di L può essere rotta esplicitamente
  da termini non invarianti. Un esempio è la
  simmetria di Isospin SU(2) tra u e d, che è rotta
  dallelettromagnetismo e dalla differenza di
  massa dei due quarks. E una simmetria
  approssimativa.
• La simmetria di L può infine essere nascosta,
  ovvero loperazione può lasciare L invariante ma
  modificare lo stato fondamentale. In questo caso
  non è apparente la simmetria nello spettro degli
  stati fisici. Ci sono due modi in cui questo può
  accadere
• Uno o più campi scalari acquistano valori diversi
  da zero nel vuoto si tratta di rottura spontanea
  di simmetria, il cui esempio più lampante è
  SU(2)L rotta dal campo di Higgs nelle interazioni
  deboli
• Quando sono effetti quantistici non presenti
  nella Lagrangiana classica a rompere
  dinamicamente la simmetria, non si osservano
  corrispondenti campi scalari. Un esempio è la
  rottura della simmetria chirale di QCD,
  SU(2)LxSU(2)R.

46
Il teorema di Goldstone

• Consideriamo ora un campo scalare complesso
• e dunque la forma
• L è in questo caso invariante per una
  trasformazione di fase globale f?eiaf possiede
  una simmetria per trasformazioni U(1) e la fisica
  non dipende da a.
• Prendiamo lgt0, m2lt0 ed esplicitiamo la
  dipendenza di L dalle componenti reale e
  immaginaria di f
• Si vede che in questa formulazione il potenziale
  V(f) ha un minimo per tutti i valori del campo
  tali che f12f22 v2 -m2/l .
• Questa volta abbiamo uninfinità continua di
  minimi per V, organizzati in una circonferenza di
  raggio v attorno a f0. Come nel caso scalare
  reale, ci troviamo nella necessità di scegliere
  un valore del minimo attorno al quale operare i
  calcoli perturbativi per estrarre la dinamica di
  f da L.

47
f2
(v,0)

• Scegliamo espansioni intorno al vuoto f1v, f20
  scrivendo
• f(x) vh (x)ix (x)/2½
• e sostituiamo lespressione in L. Otteniamo una
  nuova forma L
• ove si sono espressi in forma concisa i
  coefficienti nei termini di autointerazione dei
  campi.
• Espressa con x e h L possiede due termini
  cinetici ma un termine di massa solo per h
• Il campo x tangenziale alla circonferenza di
  minimo potenziale non incorre in resistenza dal
  potenziale per piccole oscillazioni intorno al
  minimo (v,0), e rimane a massa nulla. E la
  presenza di una degenerazione dello stato di
  vuoto a mantenere nulla la sua massa.
• La rottura della simmetria di L ha
  apparentemente avuto un effetto nefasto, in
  quanto oltre al campo massivo h che volevamo
  generare, compare uno scalare massless, x. x è
  detto bosone di Goldstone.

f1
48

• Il caso considerato è solo un caso particolare
  di un teorema generale, il teorema di Goldstone
  la rottura spontanea di una simmetria continua
  genera bosoni scalari a massa nulla.
• ? Esercizio n3 dimostrare che la Lagrangiana
  per tre campi scalari interagenti
• descrive un campo scalare massivo e due campi
  scalari a massa nulla.
• (Hint trovare lespressione del minimo del
  potenziale, e scegliere opportunamente il
  valore del campo nei dintorni del vuoto.)
• Quanto visto sembra implicare che la strada che
  stiamo percorrendo per dotare la nostra teoria
  elettrodebole di bosoni massivi è destinata a
  fallire, in quanto oltre ai bosoni massivi si
  generano campi scalari a massa nulla che non si
  osservano in natura non esistono particelle
  scalari a m0!
• Tuttavia, vedremo che succede qualcosa di
  diverso quando si applica il meccanismo di
  Goldstone alla Lagrangiana SU(2)xU(1) del modello
  elettrodebole.

49
Il meccanismo di Higgs

• Il modello di Goldstone ora visto si può dotare
  dellinterazione elettromagnetica tenendo
  presente il principio di gauge e passando a una
  simmetria U(1) locale
• Prendendo lo stato di vuoto in (v,0) e
  scegliendo lespansione
• la Lagrangiana diventa
• Cè una difficoltà rispetto a prima il campo
  scalare h ha ora massa (2lv2)1/2 , x è rimasto a
  massa nulla, e il campo di gauge Am ha massa qv
  questo corrisponde a un grado di libertà in più
  rispetto alla Lagrangiana di partenza!
• In più, il termine che mescola A e la derivata
  di x ci suggerisce che non stiamo guardando gradi
  di libertà ortogonali fra loro (in teoria dei
  campi questo termine permette la transizione A ?
  x durante la sua propagazione).
• Il grado di libertà in più è fittizio una
  scelta dello stato di vuoto non introduce nuovi
  gradi di libertà! Il campo x è in effetti
  irrilevante per la fisica, e possiamo scegliere
  un particolare forma per la trasformazione di
  gauge che lo elimini.

50

• Scriviamo allora il campo nella forma
  moduloexp(fase), invece che nella
• forma solita vhix
• Se ora applichiamo al campo una gauge locale
  U(1) abbiamo
• Da ciò segue che poiché cè invarianza di gauge,
  le fluttuazioni H e q trasformano come
• E quindi chiaro che scegliendo la fase
• (chiamata gauge unitaria) abbiamo q(x)0. I
  bosoni di Goldstone corrispondono ai quanti del
  campo q(x) attraverso la scelta della gauge, li
  abbiamo eliminati dallo spettro della teoria!

il che significa che dobbiamo avere
NB nel caso del campo scalare complesso con L
invariante per U(1) globale eia, nessuna scelta
della fase costante a può cancellare Il campo
x(x), qui invece la simmetria per fasi L(x)
dipendenti da x ce lo permette!
51

• E chiaro che i bosoni di Goldstone sono
  oscillazioni nel parametro che distingue
  diversi stati di vuoto la fase qL(x). Scegliendo
  la gauge unitaria abbiamo rimosso il grado di
  libertà non voluto.
• Usando le regole di trasformazione del campo
  scalare e del campo di gauge per U(1) locale, con
  la scelta della fase vista sopra
• possiamo allora riscrivere la Lagrangiana
• Come promesso, L non contiene traccia della fase
  q(x).
• La trasformazione di L in una forma che
  esplicita il trasferimento di gradi di libertà
  associati a bosoni di Goldstone a componenti
  longitudinali di bosoni vettori è noto come
  meccanismo di Higgs.
• Quello visto sopra è il caso U(1).

L ora contiene due campi interagenti uno
scalare massivo H, e un vettore massivo A. Siamo
sulla buona strada...

• 4 gradi di libertà
• il termine misto
• è scomparso

52
Trasformazioni SU(2) e Yang-Mills

• Per introdurre il modello standard conviene
  prendere in considerazione due campi di Dirac che
  trasformino come un doppietto per una simmetria
  interna SU(2) di isospin.
• Richiediamo che la Lagrangiana sia invariante
  per trasformazioni SU(2) locali infinitesime
• I generatori di SU(2) non commutano (il gruppo
  non è abeliano)
• In analogia con la QED possiamo richiedere la
  gauge invarianza locale usando derivate
  covarianti
• I campi W devono trasformare come segue
• Il termine cinetico dei campi contiene ora
  unautointerazione dei W, in quanto

53
Il meccanismo di Higgs in SU(2)

• Prendiamo allora in considerazione la rottura
  spontanea della simmetria locale di gauge del
  gruppo SU(2)L. Questo gruppo non è scelto a caso,
  ma è il punto di arrivo dellindagine di Glashow,
  Salam e Weinberg per inserire in una teoria di
  gauge i bosoni vettori massivi W. Il fotone
  arriverà includendo U(1)...
• Si parte da una Lagrangiana che descrive un
  doppietto di campi scalari 4 gradi di libertà.
  Ci servono 3 di questi per dotare i bosoni
  vettori della teoria GSW di massa
• Scriviamo i campi come segue
• Sotto una trasformazione SU(2) globale dei campi
  f,
• L è chiaramente invariante. Per renderla
  localmente invariante introduciamo un parametro
  di gauge L(x) e rimpiazziamo la derivata con una
  covariante
• Wj è un tripletto di campi di gauge
• e per rotazioni infinitesime di SU(2)
• trasforma come segue

54

• Con lintroduzione della derivata covariante, la
  Lagrangiana gauge-invariante diventa
• Lultimo termine rappresenta lenergia cinetica
  dei campi di gauge,
• prodotto dei tre tensori Wmn
• Siamo interessati a condizioni di vuoto
  degeneri, per cui se ora poniamo come al solito
  lgt0, m2lt0, il potenziale
  
• ha un minimo in
• Scegliamo ora f32v2, nascondendo la simmetria
  SU(2)
• nello stato di vuoto. Possiamo allora espandere
  il campo
• nellintorno del vuoto scelto, scegliendo una
  fase tale che

Rappresenta una circonferenza in 4 dimensioni
Questa scelta, come al solito, nasconde la
simmetria.
55

• Il meccanismo per far quadrare i conti è lo
  stesso di quello visto nel caso U(1) possiamo
  scegliere la direzione degli assi di isospin in
  ogni punto x dello spazio-tempo per allineare
  f(x) lungo la direzione scelta, effettuando una
  rotazione SU(2) diversa a seconda di x.
• Il campo, scritto nella forma esponenziale
  fase, può essere ridotto scegliendo la gauge in
  funzione di x, come visto prima
• Con L-q/v la fase si annulla, come prima, e i
  bosoni di Goldstone spariscono.
• Inserendo nella Lagragiana lespansione di f
  intorno al vuoto, si arriva dopo un po di conti
  a

qqvL
56
La Lagrangiana del Modello Standard

• Il passo finale per scrivere una Lagrangiana
  delle interazioni elettrodeboli con tre bosoni
  vettori massivi e un fotone a massa nulla
  consiste nel considerare il gruppo SU(2)LxU(1)Y e
  richiedere linvarianza di gauge locale
  indipendentemente ai due sottogruppi.
• Per campi fermionici L si scrive allora
• In questa formulazione tutti i campi hanno
  ancora massa nulla. Termini di massa per i
  fermioni rompono anchessi linvarianza di gauge
  di SU(2)L.
• Aggiungendo a L i termini relativi a un
  doppietto di scalari complessi in forma di
  doppietto di isospin debole con ipercarica Y1,
• con la derivata covariante
• e scegliendo il vuoto e la sua espansione come
  al solito,
• troviamo che la Lagrangiana dei campi bosonici
  contiene ora i termini

(NB qui )
57

• I campi W3 e B sono mescolati dalla scelta della
  gauge unitaria. Possiamo disaccoppiarli con la
  combinazione lineare
• dove abbiamo anche definito tan(qW)g/g. Con
  questa sostituzione si trova (sempre trascurando
  i termini di interazione)

La rottura di SU(2)xU(1) ha dato vita
precisamente allo spettro che volevamo un bosone
scalare massivo, due W e una Z massivi, e un
fotone a massa nulla.
Allinizio avevamo 8 gradi di libertà dai bosoni
vettori e 4 dal doppietto scalare U(1) con Y1,
lo scalare di Higgs. Ora abbiamo tre bosoni
massivi (3x39 gradi di libertà), uno massless (2
g.l.) e un bosone scalare di Higgs. I conti
tornano! Con la scelta Y1 per il doppietto
scalare di Higgs, esso ha due componenti, una
carica (Q1) a I3 ½ e una neutra (Q0) a I3- ½
perché QI3Y/2. E chiaro che solo la
componente neutra può assumere un v.e.v. non
nullo le fluttuazioni del vuoto non generano
carica!
58
E il termine di interazione...

• La parte di interazione fra fermioni e campi
  vettoriali, introdotta dalla derivata covariante,
  si può scrivere in forma compatta come
• Il disaccoppiamento dei termini di campo neutri
  W3, B avviene attraverso la rottura di simmetria,
  che li mescola in una combinazione lineare
  massless (il fotone) e una massiva (lo Z)
• qW , introdotto da Glashow, è detto angolo di
  Weinberg, sin2qW0.23 .
• Dal termine di interazione otteniamo
• Si vede quindi, dato che QI3Y/2, che la
  corrente elettromagnetica che otteniamo è
  consistente con quella che conosciamo dalla QED
  se poniamo

termine della corrente debole neutra
59
Considerazioni aggiuntive

• Possiamo trovare una simmetria residua del vuoto,
  descritta da un sottogruppo del gruppo SU(2)
  LxU(1)Y ? In tal caso il bosone di gauge
  associato rimane a m0, come sempre.
• In effetti se applichiamo Q allo stato di vuoto
• troviamo Qf0(I3Y/2) f00 per cui il vuoto che
  abbiamo scelto è effettivamente invariante per
  una U(1) locale generata da Q
• Dei quattro generatori I e Y, solo la
  combinazione Q lascia il vuoto invariante. U(1)Q
  è un sottogruppo di SU(2)LxU(1)Y. Il fatto che il
  fotone rimanga a massa nulla non è una previsione
  del modello, ma è implicita nella scelta di uno
  stato di vuoto a carica nulla..
• Usando la massa MW ½ gv, e il valore misurato
  della costante di Fermi e della costante di
  struttura fine, troviamo
• La massa del bosone di Higgs dipende dal
  parametro lambda, e non è prevista dal modello.
• Vedremo che v è curiosamente vicino a 2½ Mtop più
  avanti

dallelemento di matrice di corrente carica per
q?0
60
La massa dei fermioni
prodotto di doppietti e di singoletti di SU(2)
? non gauge-invariante

• La Lagrangiana dei campi di Dirac
• non ammette termini di massa per i fermioni, se
  si vuole mantenere linvarianza di gauge. Per
  campi di Dirac i termini di massa sono scrivibili
  come
• Se ricordiamo le assegnazioni di isospin e
  ipercarica debole
• vediamo che il doppietto scalare scelto per
  descrivere
• il campo di Higgs ha proprio i valori giusti
  per
• accoppiare fermioni left e right
• Possiamo allora aggiungere alla Lagrangiana
• il termine gauge-invariante

H(I ½,Y1)
eL(I ½,Y-1)
eR(I0,Y-2)
61

• Scegliendo il vuoto e le sue fluttuazioni come
  al solito, la Lagrangiana viene a contenere
  termini del tipo
• ove è facile identificare con la massa
  dellelettrone il termine
• In L notiamo anche il termine di accoppiamento
  di H al campo fermionico esso è proporzionale
  alla massa del fermione.
• Questo fatto è importante per capire la
  fenomenologia del bosone di Higgs (lo vedremo
  nella seconda parte di questo capitolo).
• Va notato che il meccanismo di Higgs, che ci è
  servito a dotare di massa i bosoni vettori W e Z
  ottenendo una teoria rinormalizzabile e
  coerente ci regala automaticamente termini di
  massa anche per i fermioni. Assieme a questi
  abbiamo dovuto comprare anche i termini di
  accoppiamento, che infatti sono proporzionali a m
  (m0 ? zero accoppiamento)
• Tuttavia, i valori delle masse sono arbitrari, e
  rimangono parametri della teoria.

Abbiamo sostituito a (f,f0) lespressione nellin
torno del vuoto scelto
Notare che i neutrini sono solo left-handed per
cui non possiamo mettere un termine di massa!
62
Una rivisitazione delle divergenze

• Il meccanismo di Higgs è un metodo elegante per
  introdurre bosoni massivi nella teoria, ma non
  sarebbe obbligatorio se non fosse per la
  rinormalizzabilità della teoria
• Abbiamo già notato come i processi di scattering
  di neutrino su elettrone siano divergenti se non
  si include lo scambio di un bosone massivo W
• Lintroduzione dei W a sua volta comporta
  problemi, in quanto si dimostra che lo scattering
  neutrino-W (un processo praticamente impossibile
  da generare, ma teoricamente lecito) diverge.
  Serve un altro diagramma con scambio di Z per
  rendere la somma convergente!
• La soluzione non è unica, ma larrangiamento dei
  bosoni deboli in una struttura gruppale SU(2) è
  elegante e economica
• Lo scattering WW?WW mostra come il bosone di
  Higgs entra direttamente in gioco rendendo
  convergente il processo. Senza un bosone scalare
  H accoppiato ai W non ci sarebbe
  rinormalizzabilità della teoria GSW!

63
Masse e accoppiamenti

• Quanto visto sopra per i termini di massa dei
  leptoni carichi si può estendere ai quarks le
  masse di questi dipendono anchesse dal valore di
  v e da costanti incognite g.
• In termini del v.e.v. del campo di Higgs,
  sviluppando il termine quadratico negli spinori
  le masse dei fermioni si scrivono
• mf 2-½ gfv.
• I valori degli accoppiamenti di Yukawa gf
  dellHiggs ai fermioni coprono un vasto range di
  valori
• Il Modello Standard non solo non predice il
  valore dei parametri g, ma non ne spiega lampio
  range.
• Inoltre, la quasi esatta coincidenza di gt con 1
  è unosservazione di grande interesse

64
Esercizio per casa n5

• Partendo dalla parte di interazione nel termine
  cinetico del campo scalare espresso per mezzo
  della derivata covariante SU(2)xU(1)
• sostituire il campo scalare nellintorno del
  vuoto ,
• arrivando ad esprimere i termini di massa e di
  interazione per mezzo degli stati ruotati
  relativi ai bosoni fisici W,W-,Z, e ottenere i
  termini di massa e accoppiamenti del W,Z, e
  fotone. Commentare sulle intensità relative e la
  presenza o assenza di termini relativi agli
  accoppiamenti fra queste particelle, e le
  implicazioni.
• Ricordando che le larghezze sono proporzionali
  al quadrato degli accoppiamenti al vertice, usare
  i valori ottenuti per prevedere il rapporto fra
  le larghezze di decadimento
• (Hint il termine da sviluppare è
• usando anche e
  le relazioni fra A,Z e B,W3)