Farkli Varyans

1
Farkli Varyans
Var(uiXi) Var(ui) E(ui2) s2 ? Esit Varyans
2
Farkli Varyans
Var(uiXi) Var(ui) E(ui2) si2 ? Farkli
Varyans
3
EKKYnin varsayimlarindan biri anakütle
regresyon fonksiyonu ui lerin esit varyansli
olmasidir. Her hata terimi varyansi bagimsiz
degiskenlerin verilen degerlerine göre s2 ye esit
ayni (sabit) bir degerdir. Bu nedenle esit
varyansa sabit varyans da denir.
i1,2,3,N
Esit varyans
Farkli varyans
4
X degiskeninin degeri arttikça Yi nin sartli
varyansi sabit degil veya esit degildir.
Farkli Varyans ile Karsilasilan Durumlar

• Kesit Verilerinde.
• Kar dagitim modellerinde.
• Sektör modellerinde.
• Ücret modellerinde.
• Deneme - Yanilma modellerinde.

5
Farkli Varyansin Ortaya Çikardigi Sonuçlar
Katsayi tahmincilerine etkisi.(EKKY
uygulandiginda farkli varyans varsa t ve F
testleri dogru olmayan anlamsiz katsayi
tahminleri verecektir. Standart hatalar
oldugundan daha büyük çikacaktir, elde edilen
güven araliklarina güvenilemeyecektir.
Tahminciler dogrusal ve sapmasizdirlar , ancak
etkin ve eniyi tahminci olma yani minimum
varyansli olma özelligini kaybederler. EKKY
varyans formülleri kullanilamayacaktir.
6
Parametre Tahmincilerinin Özellikleri

1. Sapmasizlik

Anakütle regresyon modeli
Sapma nedeni ile ?i nin beklenen degeri sifirdan
farkli ise.
7
Parametre Tahmincilerinin Özellikleri

1. Sapmasizlik

8
Parametre Tahmincilerinin Özellikleri

1. Etkinlik

Modelde sabit varyans varsayiminin geçerli
olmamasi durumunda parametre tahmincileri ?0 ve
?1 olsun. ?0 ve ?1 in varyanslarinn dogrusal
sapmasiz tahmin yöntemi ile belirlenmesi
Dogrusallik sarti geregi
9

1. Etkinlik

10

1. Tutarlilik

11

1. Tutarlilik

12
Farkli Varyansin Belirlenmesi

• Grafik Yöntemle.
• Sira Korelasyonu testi ile.
• Goldfeld-Quandt testi ile.
• White testi ile.
• Lagrange çarpanlari testi ile

13
Grafik Yöntem
14
Grafik Yöntem
15
Grafik Yöntem
16
Sira Korelasyonu Testi
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab ?
2.Asama
a ?
s.d.?
3.Asama
4.Asama
thes gt ttab
H0 hipotezi reddedilebilir
17
Sira Korelasyonu Testi
Y
X
e
Xs
es
di2
di
75 88 95 125 115 127 165 172 183 225
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
7.0545 4.7091 -3.6364 11.0182 -14.327 -17.672 4.98
18 -3.3636 -7.7091 18.9455
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
-4
16
3
-1
1
2
1
1
7
-3
9
8
-3
9
9
-3
9
4
3
9
1
7
49
6
3
9
10
0
0
Sdi2112
Mutlak degerli olarak bulunduklari yer itibariyle
küçükten büyüge sira numarasi verilir
dX-e
18
Sira Korelasyonu Testi
0.3212
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab 2.306
2.Asama
a 0.05
s.d. 8
3.Asama
0.9593
4.Asama
thes lt ttab
H0 hipotezi reddedilemez.
19
Goldfeld-Quandt Testi
Büyük örneklere uygulanan bir F testidir. Bu test
s2i nin farkli varyansinin bagimsiz
degiskenlerden biri ile pozitif iliskili oldugunu
varsayar.
s2i Xi ile pozitif (ayni yönde) iliskilidir
ve s2i farkli varyansi Xin karesi ile
orantilidir. Yani Xi degerleri arttikça s2i
degeri de artmaktadir.
20
Goldfeld-Quandt Testi
Y b1 b2 X2 b3 X3 ... bk Xk u
Y X2s X3 ... Xk
I.Alt Örnek n1
YI b11 b21 X2 b31 X3 ... bk1 Xk u
Se12?
Çikarilan Gözlemler
n(1/6) lt c lt n(1/3)
II.Alt Örnek n2
YII b12 b22 X2 b32 X3 ... bk2 Xk u
Se22?
21
Goldfeld-Quandt Testi
1.Asama
H0 Esit Varyans
H1 Farkli Varyans
2.Asama
a ?
Ftab ?
3.Asama
X bagimsiz degiskeninin degerleri küçükyen büyüge
dogru ilgili Y bagimli degiskeninin degerleri de
tasinarak siralanir. Ortadan c kadar gözlem
çikarilir.
4.Asama
Fhes gt Ftab
H0 hipotezi reddedilebilir
22
Yil Tasarruf Tasarruf Gelir
1 264 8777 8777
2 105 9210 9210
3 90 9954 9954
4 131 10508 10508
5 122 10979 10979
6 107 11912 11912
7 406 12747 12747
8 503 13499 13499
9 431 14269 14269
10 588 15522 15522
11 898 16730 16730
12 950 17663 17663
13 779 18575 18575
14 819 19635 19635
15 1222 21163 21163
16 1702 22880 22880
17 1578 24127 24127
23
Tasarruf 1654 Gelir 25604
1400 26500
1829 27670
2200 28300
2017 27430
2105 29560
1600 28150
2250 32100
2420 32500
2570 35250
1720 33500
1900 36000
2100 36200
2300 38200
Gelir bagimsiz degiskenine göre tasarrufu da
siraliyoruz.
24
n1 Tasarrfuf Gelir n2 Tasarrfuf Gelir
1 264 8777 1 1829 27670
2 105 9210 2 1600 28150
3 90 9954 3 2200 28300
4 131 10508 4 2105 29560
5 122 10979 5 2250 32100
6 107 11912 6 2420 32500
7 406 12747 7 1720 33500
8 503 13499 8 2570 35250
9 431 14269 9 1900 36000
10 588 15522 10 2100 36200
11 898 16730 11 2300 38200
Gelire göre sirandi. Ortadan 31/48 veya 9 gözlem
çikarilacak. Iki alt grup olusturuldu.
25
(189.4)
(0.015)
(0.02)
(709.8)
26
f1f2(n-c-2k)/29 sd de Ftab3.18
27
Goldfeld-Quandt Test
lnMaas b1 b2 Yil b3 Yil2
Dependent Variable lnMaas Included
observations 222 Variable Coefficient Std.
Error t-Statistic Prob. C 3.809365 0.041338
92.15104 0.0000 Yil 0.043853 0.004829 9.081
645 0.0000 Yil2 -0.000627 0.000121 -5.190657 0.
0000 R-squared 0.536179 Mean dependent
var 4.325410 Adjusted R-squared 0.531943
S.D. dependent var 0.302511 S.E. of
regression 0.206962 Akaike info
criterion -0.299140 Sum squared resid 9.380504
Schwarz criterion -0.253158 Log
likelihood 36.20452 F-statistic 126.5823 D
urbin-Watson stat 1.618981
Prob(F-statistic) 0.000000
28
Goldfeld-Quandt Test
1.alt örnek sonuçlari
Dependent Variable lnmaas Sample 1
75 Included observations 75 Variable C
oefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 3.954106 0.059538 66.41324 0.0000 Yil -0
.021930 0.021019 -1.043349 0.3003 Yil2 0.004375
0.001600 2.733929 0.0079 R-squared 0.465625
Mean dependent var 4.031098 Adjusted
R-squared 0.450781 S.D. dependent
var 0.167536 S.E. of regression 0.124160
Akaike info criterion -1.295318 Sum squared
resid 1.109926 Schwarz criterion -1.202619
Log likelihood 51.57443 F-statistic 31.3684
5 Durbin-Watson stat 1.807774
Prob(F-statistic) 0.000000
29
Goldfeld-Quandt Test
2.Altörnek Sonuçlari
Dependent Variable lnmaas Sample 148
222 Included observations
75 Variable Coefficient Std.
Error t-Statistic Prob. C 4.007507 0.976346
4.104598 0.0001 Yil 0.019928 0.060603 0.328
823 0.7432 Yil2 -0.000102 0.000920 -0.110443 0
.9124 R-squared 0.078625 Mean dependent
var 4.513929 Adjusted R-squared 0.053031
S.D. dependent var 0.231175 S.E. of
regression 0.224962 Akaike info
criterion -0.106594 Sum squared
resid 3.643762 Schwarz criterion -0.013895
Log likelihood 6.997288 F-statistic 3.07202
7 Durbin-Watson stat 1.684803
Prob(F-statistic) 0.052446
30
Goldfeld-Quandt Testi
1.Asama
H0 Esit Varyans
H1 Farkli Varyans
2.Asama
a 0.05
1.43ltFtablt1.53
3.2830
3.Asama
4.Asama
Fhes gt Ftab
H0 hipotezi reddedilebilir
31
White Testi
Y b1 b2 X2 b3 X3 u
White Testi için yardimci regresyon
u2 a1 a2 X2 a3 X3 a4 X22 a5 X32 a6
X2X3 v
Ry2 ?
White Testi Asamalari
1.Asama
H0 a2 a3 a4 a5 a60 H1 ailerin en
az bir tanesi anlamlidir
2.Asama
s.d. k-1
c2tab?
a ?
3.Asama
W n.Ry2 ?
W gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
4.Asama
32
White Testi
lnMaas 3.8094 0.0439yil - 0.0006 yil2
White Testi için yardimci regresyon
e2 -0.0018 0.0002 Yil 0.0007 Yil2- 0.00003
Yil3 0.0000004Yil4
Ry2 0.0901
1.Asama
H0 a2 a3 a4 a50 H1 ailerin en az
bir tanesi anlamlidir
2.Asama
a 0.05
s.d.5-14
c2tab9.4877
3.Asama
W n.Ry2 222(0.0901) 20.0022
4.Asama
W gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
33
Lagrange Çarpanlari(LM) Testi
Y b1 b2 X2 b3 X3 u
LM testi için yardimci regresyon
Ry2 ?
LM Testi Asamalari
H0 b 0 H1 b?0
1.Asama
2.Asama
s.d. 1
c2tab?
a ?
3.Asama
LM n.Ry2 ?
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
4.Asama
34
Lagrange Çarpanlari(LM) Testi
lnmaas 3.8094 0.0439yil - 0.0006 yil2
LM Testi için yardimci regresyon
e2 -0.2736 0.0730 (lnmaas-tah)2
Ry2 0.0537
1.Asama
H0 b 0 H1 b?0
2.Asama
a 0.05
s.d.1
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 222(0.0537) 11.9214
4.Asama
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
35
UYGULAMA 32 ailenin yillik gida harcamalari (Y)
ve aylik ortalama gelirleri (X) asagida
verilmistir.
Aile Sayisi Y X u Aile Sayisi Y X u
1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.25412
2 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.74247
3 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.41032
4 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.49313
5 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.11164
6 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.46933
7 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.90818
8 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.48841
9 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352
10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.30556
11 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.14142
12 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.2301
13 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.76094
14 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.56938
15 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.51373
16 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.30482
36
UYGULAMA Yi ?0 ?1Xi ?i modeli için sabit
varyans varsayiminin geçerli olup olmadigini

• Grafik Yöntemle.
• Sira Korelasyonu testi ile.
• Goldfeld-Quandt testi ile.
• Breusch Pagan testi ile.
• Glejser Testi ile.
• White testi ile.
• Lagrange çarpanlari testi ile
• Ramsey Reset testi ile
• Park testi ile.

37
Grafik Yöntem
38
Sira Korelasyonu Testi
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab ?
2.Asama
a 0.05
s.d.?
3.Asama
4.Asama
thes gt ttab
H0 hipotezi reddedilebilir
39
Sira Korelasyonu Testi
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab 2.042
2.Asama
a 0.05
s.d. 30
1.9454
4.Asama
thes lt ttab
H0 hipotezi reddedilemez.
40
Goldfeld-Quandt Testi
c 32 / 5 6.4 6 gözlem
atilacak. (14.-19. gözlemler)
13 gözlemden olusan iki grup için modeller
1.-13. gözlemler için
Yi 0.5096 0.6078Xi
20.-32. gözlemler için
Yi 3.8153 0.1723Xi
41
Goldfeld-Quandt Testi
1.Asama
H0 Esit Varyans
H1 Farkli Varyans
2.Asama
a 0.05
Ftab 2.82
3.Asama
4.Asama
Fhes gt Ftab
H0 hipotezi reddedilebilir
42
White Testi
White Testi için yardimci regresyon
Ry2 0.2296
e2 -0.6909 0.3498X 0.0058X2
1.Asama
H0 a2 a3 0 H1 ailerin en az bir tanesi
anlamlidir
2.Asama
a 0.05
s.d.3-12
c2tab5.99
3.Asama
W n.Ry2 32(0.2296) 7.3472
4.Asama
W gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
43
Lagrange Çarpanlari(LM) Testi
LM Testi için yardimci regresyon
Ry2 0.201
1.Asama
H0 b 0 H1 b?0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.201) 6.432
4.Asama
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
44
FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA YOLLARI
Farkli varyans durumunda EKKY tahmincileri
etkinlik özelliklerini kaybettiklerinden
güvenilir degildirler. Bu sebeple farkli varyans
ortadan kaldirilmadan EKKY uygulanmamalidir. Yi
lerin (veya ui lerin) farkli varyanslari s2i nin
bilinip bilinmemesine göre farkli varyansi
kaldiran iki yol vardir

• nin BILINMESI HALI

• nin BILINMEMESI HALI

45

• nin BILINMESI HALI

• Genellestirilmis EKKY(GEKKY)

Yi b1 b2 Xi ui
46
Genellestirilmis EKKY(GEKKY)

• Sabit terimi yoktur.

• Iki tane bagimsiz degisken vardir.

47
Genellestirilmis EKKY(GEKKY)
48
Genellestirilmis EKKY(GEKKY)
49
EKKY ve GEKKY Arasindaki Fark
EKKY
min
GEKKY
min
50

• nin BILINMEMESI HALI

1.HAL LOGARITMIK DÖNÜSÜMLER
51
(No Transcript)
52
bölünür
53
(No Transcript)
54
UYGULAMA 32 ailenin yillik gida harcamalari (Y)
ve aylik ortalama gelirleri (X) asagida
verilmistir.
Aile Sayisi Y X u Aile Sayisi Y X u
1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.25412
2 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.74247
3 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.41032
4 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.49313
5 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.11164
6 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.46933
7 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.90818
8 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.48841
9 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352
10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.30556
11 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.14142
12 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.2301
13 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.76094
14 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.56938
15 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.51373
16 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.30482
54
55
1.HAL LOGARITMIK DÖNÜSÜMLER
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.0178) 0.5696
4.Asama
LM lt c2tab
H0 hipotezi reddedilemez.
56
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.0509) 1.6288
4.Asama
LM lt c2tab
H0 hipotezi reddedilemez.
57
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.2365) 7.568
4.Asama
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir.
58
5 .HAL
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.0290) 0.928
4.Asama
LM lt c2tab
H0 hipotezi reddedilemez.